2019北京市12区高三一模(3、4月)数学理试题圆锥曲线

1、2019北京市12区高三一模（3、4月）数学理试题 圆锥曲线、选择、填空题21、（朝阳区2019届高三一模）双曲线 上_y2 =1的右焦点到其一条渐近线的距离是42、（东城区2019届高三一模）已知直线l过抛物线y2=8x的焦点F,与抛物线交于 A , B两点，与其准线交于 点C .若点F是AC的中点，则线段 BC的长为3、(A)(B) 3（丰台区2019届高三一模）已知2XF1，F2为椭圆M：, m(C)1632+上=1和双曲线2(D)2N：3y2=1的公共焦点, nP为它们的一个公共点，且 PFi _LFiF2 ,那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（A）衣（B） 1（C） （D）-2222

2、2x2xy4、（海江区2019届图二一模）椭圆C1： + y=1与双曲线C2:-2 22= 1的离心率之积为1,则双曲线C2的4ab两条渐近线的倾斜角分别为二 二 二 二二 5 二一、 二2 二（A） , - （B）, - （C）, ）, 5、（怀柔区2019届高三一模）已知抛物线y2=2px的准线方程为x = 1,则p=6、（门头沟区2019届高三一模）双曲线 C :2x2 y2 =1的渐近线方程是227、（石景山区2019届高三一模）13.过双曲线4=1的一个焦点F作其渐近线的平行线l,直线l与y轴交a b于点P,若线段OP的中点为双曲线白虚轴端点（ O为坐标原点），则双曲线的离心率为 .

3、28、（顺义区2019届高三第二次统练（一模）设双曲线C经过点（4,0 ）,且与双曲线 上 y2=1具有相同渐近4线，则C的方程为 ；渐近线方程为.22x y9、（西城区2019届图二一模）设 Fi, F2为双曲线C:二、=1（a A0,bA0）的两个焦点，若双曲线 C的两个顶 a b点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线 C的离心率为 .22x y10、（平谷区2019届局二一模）设双曲线 C经过点（4, 3）,且与一-工=1具有相同渐近线，则 C的方程为49;离心率为.1 / 18数学试题答案3 / 181、12、C3、4、C5、26、7、8、22、一匕二11641y = -x.29、10、

4、依题意，设双曲线C的方程为:=k ,经过点（4,3 ）,16 9所以，16_9=k49解得：k = 3,所以，C的方程为:12 27离心率为：e = c a392、解答题21、(朝阳区2019届高三一模)已知点 M(x0,y0)为椭圆C：X- + y2=1上任意一点，直线l: x0x+ 2y0y = 2与圆222(x1) +y =6交于A, B两点，点F为椭圆C的左焦点.(I )求椭圆C的离心率及左焦点 F的坐标；(n)求证：直线l与椭圆C相切；(出)判断/AFB是否为定值，并说明理由. 22x y _2、(东城区2019届局二一模)已知椭圆 C：十=1(m0)与x轴交于两点A,A2，与y轴的

5、一个交点为B, 4m m BA1A2的面积为2.(I)求椭圆C的方程及离心率；(n )在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆C交于不同的两点p,P2 ,直线A1P1与直线A2P2交于点P.以原点。为圆心，以AB为半径的圆与x轴交于M ,N两点(点M在点N的左侧)，求|PM PN的值.23、(丰台区2019届局二一模)已知抛物线 C:y =2px过点M (2,2) , A,B是抛物线C上不同两点，且 AB/ OM (其中O是坐标原点)，直线 AO与BM交于点P ,线段AB的中点为Q.(I)求抛物线C的准线方程；(n )求证：直线 PQ与x轴平行.4、(海淀区2019届高三一模)已知抛物线 G:y2

6、=2px,其中p0 .点M(2,0)在G的焦点F的右侧，且M 到G的准线的距离是 M与F距离的3倍.经过点M的直线与抛物线 G交于不同的A, B两点，直线 OA与直线 x = -2交于点P,经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q.(I) 求抛物线的方程和 F的坐标；(n)判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由.225、(怀柔区2019届高三一模)已知椭圆 E:与+与=1(ab 0)的右焦点为F(1,0),点B(0, b)满足|FB |=2. a b(I)求椭圆 E的方程;(n)过点F作直线l交椭圆E于M、N两点，若ABFM与&BFN的面积之比为2 ,求直线l的方程.22x y6、(

7、门头沟区2019届局二一模)如图，已知椭圆C :+JCy=1(ab0), E,F2分别为其左、右焦点，过a bFi的直线与此椭圆相交于 D,E两点，且AFaDE的周长为8,椭圆C的离心率为 2(I)求椭圆C的方程;7 / 18(n)在平面直角坐标系 xOy中，已知点P(0,1)与点Q(0,2),过P的动直线1 (不与x轴平行)与椭圆相交于A,B两点，点Bi是点B关于y轴的对称点求证:(i) Q,A,Bi三点共线.QAQBPAPB7、(石景山区2019届高三一模)已知椭圆x2y21C : -2 + -2 =1(a b 0)的离心率为，右焦点为F(c,0),左顶点为2 b22A,右顶点B在直线l

8、: x=2上.(I)求椭圆C的方程;(n)设点P是椭圆C上异于A, B的点,直线AP交直线l于点D,当点P运动时，判断以 BD为直径的圆与直线pf的位置关系，并加以证明.M , N为抛物线C : y2 =4x上两点，M , N的纵坐标之和8、(顺义区2019届高三第二次统练(一模)已知 为4, O为坐标原点.(I)求直线MN的斜率;(II )若点B(2,0 )满足NOBM =NOBN ,求此时直线 MN的方程.29、(西城区2019届高三一模)已知椭圆 W :4m2+ =1的长轴长为4,左、右顶点分别为 A, B ,经过点 mP(n,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点 C, D (不与点A,

9、B重合).(I )当n =0 ,且直线CD _L x轴时， 求四边形ACBD的面积;(n )设n =1 ,直线CB与直线x = 4相交于点M ,求证：A, D, M三点共线.,左、右焦点分别为(一c,0)、(c,0),若点M(c,1)在椭圆上.(n)若直线l : J2x_2y+m =0(m*0)与椭圆G交于两个不同的点 A, B ,直线MA , MB与x轴分别交于P, Q两点，求证：PM|=QM .22(x y 1 . 一，. 一11、(房山区2019届高三一模)已知椭圆 _2十22 =1(aAb;0)的离心率为，左顶点为A,右焦点为F,且 a b2AF| =3.(I)求椭圆的方程；(n) 过

10、点F做互相垂直的两条直线11 , 12分别交直线l : x = 4于M,N两点，直线AM, AN分别交椭圆于P,Q两点，求证：P, F,Q三点共线.数学试题答案.14分1、解：(I)由题息 a =2 , b=1, c=Ja -b =1所以离心率e=c =巡,左焦点F(1,0) . .4分a 2(n )当y0 =0时直线l方程为x =夜或x =t/2 ,直线l与椭圆C相切.-2r.y2=1当 丫0#0 时，由2y 信(2y0+x0)x 4x0x+44y0 =0,XoX 2yy =2由题知，_ +y2 =1 ,即 x2 +2y2 =2 , 2所以：=(4xo)2 -4(2y2 x2)(4-4y2)

11、22=16x2 -2(1-y2)二 16(x2 +2y2 -2)=0.故直线l与椭圆C相切. .8分(m)设 AMw) , B(x2，y2),当 y0 =0 时，X =x2 , y1 = y2 , x1 =V2 ,I 222222FA FB =(x1 +1)2 -y2 =(x1 +1)2 -6+(x1 -1)2 =2x2 -4=0 ,所以 FA _LFB ,即 ZAFB =90 .(x-1),V=6,2222当 y0#0 时，由 V得(y2+1)x2 2(2y2+x0)x + 210y2=0,xx 2y0y = 2则x12(2y2 %)2-10y(2x2 x1x2=Fyy2x0、，、，x0 /

12、、. 1_2 x1x2 12 (x1 x2) 4y02 yy0_ -5x2 -4xq 4一 2 2y2因为FA FB =(x 1,y1) (x2 1,y2)= x1x2 x1 x2 1 y1y2_4 -20y2 8y2 4x。2 2y2 .七x2 -4% 4-2 2y22 2y2节(x0,由椭圆方程知：a2 =4m,b2 = m,a =2jm,b = jm ,_1 S店a1A2 = / 父 2ab = 2y/m /m = 2m = 2,所以 m = 1.2所以椭圆C的方程为x- + y2=1.4由 a=2,b=1, a2 =b2+c2,得 c = 5/3,所以椭圆C的离心率为2(n)设点 P(

13、xp,yp), P(xo,y。)，P2(x。，y0)(xo 0),不妨设 A(2,0), A2(2,0),设 PA ： y =y0(x+2 ), p2A2 : y = ：y-(x-2 ), x0 2x0 -211 / 18由yV0x0 2(x+2 ),4xp 二二 一 y0x0 -2得x -2yp -x02 y0xo4x0 二一xp4-Vp;xp 2yP2xP2又也y02 =14(-)2得244yp22 xp=1 ，2化简得红42一 yP=1(xp0).因为 A(2,0), B(0,1),所以AB即 m(-75,0), n(75,0).所以点P的轨迹为双曲线，-2-v =1的右支, 4M ,

14、N两点恰为其焦点， A1, A2为双曲线的顶点，且A1A2 =4 ,所以 PM PN =4.133、解：（I）由题意得 22=4p ,解得p=1.所以抛物线C的准线方程为x2(n)设 AI y y12 ,y1由 AB/ZOM 得 kAB =kOM =1,则、2 y12 =_2_ = 1,所以 y2 + y1=2. y2 yiy2 yi2 一2所以线段AB中点Q的为纵坐标Vq =1 .直线AO方程为y =21rx =2x- yiyi2直线 BMtT程为 y _2 = y；_2 （x -2 ）=2一（x -2 厂-y2 2y2 22x-X联立解得x - 2 ，即点P的为纵坐标yP=1.V =1如果

15、直线BM斗率不存在，结论也显然成立.所以直线PQ与x轴平行.4、解：（I ）抛物线y2 =2px的准线方程为x =匕 焦点坐标为F（-p,0） 22所以有2+E =3（2 卫），解得p=1 222所以抛物线方程为 y =4x,焦点坐标为F （1,0）（n）直线 PQ J AB方法一：设 A（x1，），B（x2，V2）,设直线AB的方程为x = my+2x =my 2,联立万程2y =4x,消元得，y2-4my-8=0所以 v1 +y2 =4m, y1y2 =-812 2川二二丫1丫2 =4显然 x1 x2 V1 V2 *0 ,直线OA的方程为y=xXi令 x = N ,则 y =y1 ,则 P

16、(-2,y4 XiXi因为 OA_LBQ ,所以 kBQ =_二 yi直线BQ的方程为y -y2 =_(x -x2), yi令 y=0,则 x=+x2 = yiy2 +xix2 =_g,则 Q(g,0) xiXXxi当m =0时，直线AB的斜率不存在，xi =2 ,可知，直线PQ的斜率不存在，则PQ J AB2yi当 m0时，kpQ= =y=2，kAB=-,-4-2 xi -2 (myi 2) m m2xi则 PQ AB综上所述，PQ l. AB方法二：直线PQ AB(i)若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设A(2, -2拒)，B(2,2j2)直线AO的方程为y = J2x,则P(2,2

17、&)-2直线 BQ的方程为 y -2V2 =(x-2),即 y =x +V2 , 22令y =0 ,则Q(-2,0),则直线PQ的斜率不存在，因此 PQ3：AB(2)设 A(x1，yi), B(x2,y2),当直线AB的斜率存在，设直线 AB的方程为y=k(x2), k#0- 2y =4x联立万程，)y =k(x -2)消元得，k2x2 -4k2x +4k2 -4x =0 ,整理得，k2x2 -(4k2 4)x 4k2 =02由韦达定理，可得X+x2 =生一，x*2 =4 k22 2yi y2 =16x1x2 =64 ,因为 丫佻 b 0)的右焦点为 F (1,0),点 B(0, b)满足 |

18、 FB |= 2 , a b则 Ji +b2 = 2 ,解得 b = J3(b 0).由公式 c2 =a2 -b2,得 a2 =1 + 3 =4,a = 2(a 0)b = . 3.13 / 18所以a =2,5分所以椭圆E的方程为+ =143(n)直线1的斜率不存在时，FM二FM , S BFM = S BFN , 不符合题意;15 / 18设直线1的方程为y=k(x-1),=k(x _ 1)由 x2 y2 得，(3+4k2) x2 8k2x + 4k2 12 = 0=143设 M(xy i), N( X2, y2), 0包成立。x x28k2 x 1x24k2 - 12 -含3 4k24k

19、2由 S BFMS BFN=2 ,得 | FM |二2|FN |即 FM -2NF.可得(x 1, yi ) = 2(1 -x2, -y2)，即 x i2x2由得,xi4k2 - 92 , x24k24k2934k2代入得,4k24k294k2 - 1234k234k234k2136、解：(I)由题意知：4a =8,e=、2c222a2_22a=2,b =、2 - - = 1425所以，所求直线l的方程为l : y = )5(x-1).(n) ( i)当直线1的斜率不存在时，满足题意19 / 1822上X 一当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y = kx+1, A B的坐标分别为(x1,

20、y1),(x2,y2).联立( 42y = kx+1得(2k2 1)x2 4kx -2 = 0 .x1 x2 ;4k2一 2, xix2 = - 22k2 12k2 1yi - 2y2 - 2(kx1 - 1)x2 (kx2 - 1)xixi x2kQA 二,kQB/ 二：kQA -kQB/ 二=2k 二 0x1QB -x2QBxx2x#2所以，Q,A,B1三点共线。区QA QA|x1| |PA(ii )由(i )可知，= p = Hqb| |qbJ 网 |pb|7、解：(i)依题可知 B(a,0), a =2因为e = a 2所以 c=1b=、322故椭圆C的方程为+L=1.43(n)以BD

21、为直径的圆与直线 PF相切.证明如下：由题意可设直线AP的方程为y = k(x+2)(k #0).则点D坐标为(2,4k) , BD中点E的坐标为(2,2k),y =k(x - 2), _2222(3 十 4k )x + 16k x + 16k -12=0 .设点P的坐标为(x0,y0),则2x06k 一产3 4k2所以Xo6 -8k22 ，3 4kyo=k(xo 2)12k3 4k2因为点F坐标为(1,0),当k=l时，点P的坐标为(1 -),直线PF的方程为x = 1,22点D的坐标为(2, 2).此时以BD为直径的圆(x-2)2+(y,1)2 =1与直线PF相切.1当k 黄 土，时，直线

22、PF的斜率kPF 2yo _ 4kx0 -1 1 -4k2 一,，、4kr所以直线PF的方程为y = 4k 2 (X-1),即X1 -4k1 -4k2.八y -1 = 0 .4k故点E到直线PF的距离1 -4k2|2- 2k-1|d ：=4k1 (1小214k2(4)24k二|2k|(或直线PF的方程为 4k 2 x _y _ 4k o , 1 -4k 1 -4k故点E到直线PF的距离8k1-4k2-2k4k1-4k22k 8k31 - 4k216k2(1 -4k2)214k22-|1 - 4k |PF相切.又因为BD|=2R=4k ，故以BD为直径的圆与直线 综上得，当点P运动时，以BD为直

23、径的圆与直线 PF相切.解法二：(n)以BD为直径的圆与直线 PF相切.22证明如下：设点P(x0, y0),则区+区=1(y0 # 0)433当Xo =1时，点P的坐标为（1, 士一），直线PF的万程为x = 1 , 2点D的坐标为（2, 2）,此时以BD为直径的圆（x 2）2十（y ,1）2 =1与直线PF相切， 当Xp #1时直线AP的方程为y = y0 (x + 2),”Xo 2点D的坐标为D(2,刍0), BD中点E的坐标为(2,-2y),故|BE|=|2y-| x0 2x0 2x0 2直线PF的斜率为kPF =一比 xo -1故直线PF的方程为y =(x1)，即x3二1 y1=0,

24、 xo 1yo|2 一上三_1|所以点E到直线 PF的距离d =yx= 斗一2y1=| BE |x0故以BD为直径的圆与直线 PF相切.综上得，当点 P运动时，以BD为直径的圆与直线 PF相切.228、斛：（I ）设 M （x1, y1 i N （x2,y2 ）,则依题意可知： y =4x1，y2 =4x?相减可得：y； _y =44-4x2 即（y1 y2 X y1 +y2 ）=4（x1 -x2）又y1 +y2 =4,所以k =y2=1，即直线MN的斜率为1.x -x2-4分（II ）由（I ）知直线MN的斜率为1,所以可设直线 MN的方程为y = x + a讨论：M(x1,yJ,N(x2,

25、y2 )在 x 轴异侧时由/OBM=/OBN 知 kBM +kBN =0,当(1)分又kBMy1y2x2 2所以上+上=0即约.+2)72氏口=07分x1 2 x2 2x1 2 x2 2又 yi =整 +a, y =x2 +a ,所以(x +a x x2 +2 )+(x2 +a /为 + 2)= 0化简得2%十伊十2;(、十乂2)+42=0(1)8分j y = x a22联立方程组2 2“消去y得x +(2a-4)x + a =0I y = 4x2八所以 xi+x2=4-2a, x1x2 =a 12分代入(1)式可得a = 2所以直线MN的方程为y = x 213分当 M (x1，y1 1 N

26、 (x2, y2 )在 x 轴同侧时，由OBM = -OBN 知 kBM =kBN即直线MNi点B,所以此时直线方程为 y = x+2 ,经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去 14分综上可知：直线 MN的方程为y=x-2 9、解：(I)由题意，得 a2 =4m =4 , 解得m=1. 2分2所以椭圆W方程为 +y2 =1. 3分4当 n=0,及直线 CD_Lx 轴时，易得 C(0,1), D(0, -1).且 A(2,0), B(2,0).所以 |AB|=4, |CD|=2,显然此时四边形 ACBD为菱形，所以四边形 ACBD的面积为1M4父2=4.5分 2(n)当直线 CD的斜率k不存在时

27、，由题意，得 CD的方程为x=1,代入椭圆W的方程，得C(1,g), D(1-3),易得CB的方程为y=Y3(x2).2则 M(4, - .3), AM =(6, - 3), AD =(3=j),-I所以am =2AD ,即A, D, M三点共线. 7分当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y =k(x1)(k 00), C(x1,y1), D(x2, y2),9分y =k(x -1),联立方程 X x22 消去 y,得(4k2 +1)x2 8k2x+4k2 4=0.7 y =1，由题意，得Aa0恒成立，故x1+x224k 14k -4xix24k 110分21 / 18直线CB方程为y=(

28、x-2).2y、11分令 x=4 ,得 M(4,).x -2又因为 A(2,0), D(x2,y2),则直线AD , AM的斜率分别为kAD =y , kAM 二一y , 12分x2 23(x1 -2)所以 kAD - kAMy2x2 23(x1 -2)= 3y2(x1 -2)-丫1的 2)=3(x1-2)(x2 2)上式中的分子3y2由-2) y。 2) =3k(x2 -1)保-2) k(x -1)(x2 2)=2kx1x2-5k(x1 x2) 8k=2k4k2 -44k2 1-5k8k24k2 18k=0 ，所以 kAD - kAM =0 .14分所以A,D,M三点共线.10、解：(I )

29、M M (c,1)在椭圆22L .上a22=1上2 c2 a所以，椭圆的标准方程为x y=12由-b2 =2、2x -2y m =0,_(11)由 22 得 4x解得 . a =4+2T2mx + m2 8 = 0 . 5分一 二1,426分m2 -8x1 x2 ;410分则 k1k2 =y1 -1 y2 -1x1 - 2x2 - 211分因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线 l不过点M ,8m2 -4 4(m2-8) . 0,屈所以解得一4 cm0或0m4.m :0.设 A(x,y1) , B(x2, y2),则 xi +X2 = -m ,2、.2x1 - m、2x2 - myi , y2 22显然直线MA与MB的斜率存在，设直线 MA与MB的斜率分别为k1, k2,由(I)可知 M ( .2,1)23