直线与双曲线位置关系典例精析(1)

1、直线和双曲线的位置关系、要点精讲1 .直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离V(Xi +x2 2 - 4XiX2 ,2 .弦长公式：设直线 y=kx+b交双曲线于 R(x1,y1), P2(x2,y2),则 P1P2I =N -X2|x'1 +k2 =« +k2或 |pF21 = yi1.21 + T(y1 +y2) -4y1y2(k、0). k二、基础自测1.经过点p 11,2 i且与双曲线2.22,4x -y =1仅有一个公共点的直线有(A) 4 条(B) 3 条(C) 2 条(D) 1 条)2.直线y= kx2与双曲线4x2y =16不可能(A)相交(B)只有一

2、个交点(C)相离(D)有两个公共点3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,则双曲线2y162=19的通径长是9(A)-49(B)-2(C) 9(D) 10选H双曲或的焦忐坐标为B士3 io 9当y5时±-； ,此时通校长为3.4.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相25.经过双曲线X2_ . - y2 = 8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是6.直线l在双曲线22-y- =1上截得的弦长为 4,且l的斜率为2,求直线l的方程.三、32 1，得

3、 IOj?d-12fr,r+3 + 6=0T题型，:：直线与双曲线的在置关系剪导1所以就甚221.如果直线y=kx-1与双曲线x - y =4没有公共点，求 k的取值范围.有两个公共点呢？解，所以 = (b)2 4=0,所以 b = 2 , aaa2 b22.（2010安徽）若直线y=kx+2与双曲线则k的取值范围是（）ax2 y2 =1 + (B)2 = J5,故选 D.6的右支交于不同的两点,A.1515一行,丁B. 0，T3 岳0C. 一丁°D 15 dD. , -1y = kx + 2, 由f ° ox y = 6(1 k2)x2 4kx 10 = 0 ,1 -k,

4、=16k2 -4(1 -k2)x(-io)>0x1 +x2 >0、x1x2 >0解得一N15<k< 1.3、过点P（",5）与双曲线22r 1有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.5.2_过双曲线x2 匕=1的左焦点E,作倾斜角为 三的弦AB ,求|AB ；AF2AB的周 36CO武出战甯（一工闻）,凡即如，才熏4B才租出，（52为双曲线的松景产”网界卡谀内（妁,QM-" ., I132/总：=2 F" 1如 厂.：.；-二已知双曲线万程为 3x y =3,求以定点A（2,1）为中点的

5、弦所在的直线万程.=2石石尸石而值由K馆山蝶塾同姓点得I AFt I =-G =口n 1 -2xi,II =皿a-Ex； LtI心|二|必入| = 一：2丸+2益一】乱片一hC解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根.与系数的关系或“平方差法”求解.此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式 >0进行验证即可.226.双曲线方程为3x -y =3.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存

6、在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由.7、已知中心在原点，顶点 A,A2在x轴上，离心率为 手的双曲线经过点P(6,6)(i)求双曲线的方程;(n)动直线l经过aa PA2的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M , N , G平分线段MN o试证明你的结论。问是否存在直线l使题型三： 求双曲线方程8.已知焦点在x轴上的双曲线上一点 P ,到双曲线两个焦点的距离分别为=x -2被双曲线截得的弦长为 20J2 ,求此双曲线的标准方程.9、2x 2设双曲线C : - - y =1(a>0力直线l:x+y a=1相交于不同的点A、B.求双曲线 C的离心率e的取值范围;5 一设直线l与y

7、轴的交点为P ,且PA =/PB ,求12a的值。解：(1)将 y= x+ 12代入双曲线_y2=1 中得(1 a2)x2+2a2x2a2=0D 由题设条件知,a才L又双曲线的离心率e=；1a2 才 04a4+8a21 a2>01 + a2 1丁=W+1,' 0<a<-2JeL a乎 Ie>当且 e/2.(2)设 A(xi, yi), B(x2, y2), P(0,1).一 5 一.PA = 12PB,yi 1)2a21 a2'5_ 212x2一5.5=12('2，y2 1) , x1 12x2 ,217Xi、x2是万程的两根，且1a2才0,12

8、x22a21 a2' 八.17- a>0, . . a=行消去X2得,_ 22a22891-a2 = -60-,10.已知双曲线的焦点为Fi(-c,0 ), F2(c,0 ),过 F2且斜率为3的直线交双曲线于P、Q5两点，若OP _OQ（其中。为原点）， PQ = 4,求双曲线方程。11.双曲线的中心为原点 O,焦点Gx轴上，两条渐近线分班为11vl2，叁过右焦点. F垂宜于' 因由£年网过庄*京糖总0曲言睚为3=Q心-/1代K0*京才连文国为 OQ1FO.所以工:无+m=口用江出一立+：）+%FK-城=。,此勺灯匕一"以人可用而 3奉第BFjzMf

9、A-； 方 £*#*所以即求风由蛆才程为/-g=L域去F# （弭-+6£、工一f'J 如济）Q讲一加IW611的直线分触森力极止先施A,下忠 两点3戊病b f I而）产由一 WIT（b求双曲线的沸邺产鹿产生心"上-（n）设 AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解：(I)设 OA = m-d ,OB = m + d由勾股定理可得:22(m -d) m2二(m d)tan AOFtan AOB =tan2 AOFABOA由倍角公式2b a1-r2a ,、x（n）过F直线方程为 y =-一（x-c）,与双曲线方程 ba2 y b2=1 联立，将 a

10、 = 2b, c = J5b代入,15 2 8.5化间有一2 x x4b2b21 =04 Y1%x1 - x2卜到将数值代入，有5 32 5b15以21,28b2-45,解彳导b=3故所求的双曲线方程为22土-J36 92212、已知双曲线% b2=1（b>a>0）, O为坐标原点，离心率e=2,点M（g姆）在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若直线l与双曲线交于P,Q两点，且OP OQ = 0.|OPj2+|oQ|2的值.2解：（1）。启=2,c=2a, b2=c2a2= 3a2,双曲线方程为 与一 a23r 1,即 3x2y2=3a2.二点M（45,、/3）在双曲线上， 1

11、53= 3a2.a222所求双曲线的方程为上=1.2X（2）设直线OP的万程为y=kx（k乎0）,联立4 上23 k222212k +13一k2 .|OP|2 = x2+y2 =匕12k23k23 -k2则OQ的方程为y= ：x, k12 1同理有|OQj12k2+ 113-k2+3k2-133k21,3 k2',|OP|2+|OQ|2=-12k2+1_ 22 + 2k2112k2+ 1- 6.13. （2012上海）在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 G： 2x2 y2=1.过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1

12、的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2 + y2= 1相切，求 证：OPLOQ;设椭圆C2： 4x2+y2 = 1.若M、N分别是 G、C2上的动点，且 OMLON,求证：O到直线MN的距离是定值.解：双曲线Ci： £_y2=1,左顶点A 也 0，渐近线方程为：y=2 1I 212x.过点A与渐近线y=2x平行的直线方程为y=&x + ? j,即y=V2x+ 1.2、一 y - - 2xy 一 一 丁i解方程组? :，得，4 .所求三角形的面积为S=1”,2xTy=12y 22OA|y|=T(2)证明：设直线 PQ的方程是y=x+b, 直线PQ与已知圆相切，号=1,即 b2

13、 = 2., y=xb22、一由« 2 2 得 x22bxb21 = 0.设 P(xi, y> Q(x2, y",则2x -y =1产+"=幼2俨乂2 1 _ b又 y1y2= (x1 + b)(x2+ b),OP OQ = x1x2 + y1y2 = 2x1x2+ b(x1 + x2)+ b2 = 2( 1 b2)+ 2b2 + b2 =b2 2 = 0.故 OPLOQ.2(3)证明：当直线 ON垂直于x轴时，|ON|=1, |OM| = 1",则O到直3线MN的距离为学当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx(显然k|>2),

14、则直线OM的方程为y= ，x.由<ky = kx22 可4x y =114 k2k24 k2222 1 + k2 = e 21 + k2|ON| =477.同理|OM| =2737.设O到直线MN的距离为d.丁（|OM十|ON|2）d2= |OM|jON|2,一孑=|OM十|ON|23k2十3-= PTT =3，3即d =苛.3综上，O到直线MN的距离是定值.2y2 = 1总有公共点，则 b的取值范围是五、能力提升21 .右不论k为何值，直线 y=k(x-2)+b与双曲线x( )(A)-,3,3(B)- 3,3(C)-2,2(D) 1-2,212 y22.过双曲线x 一彳 =1的右焦点F

15、作直线l交双曲线于 A、B两点，若|AB|=4 ,则这样的直线l有()(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条2. y223,过点P -1,一一 的直线l与双曲线 二 一与=1(a > 0, b a 0且仅有一个公共点，且这< a)a b个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()(A)2(B)4(C) 1 或 2(D) 2 或 4x2y24.已知双曲线 =1(a >0,b >0附右焦点为f,若过点f且倾斜角为45的直线与双 a b曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()(A) (1 ,2(B) (1, 2)(C) 2, +8)(D) (2, +8)226 .直线l : y =kx +2与双曲线C : x - y =6的右支交于不同两点，则 k的取值范围是.7 .已知倾斜角为 土的直线l被双曲线x2 4y2 =60截得的弦长 AB =&，吃，求直线l的方4程.8.设直线l : y = 3x 1与双曲线于t-谀支线1的方程为学=上+也由:丁 ,=浦去丁,得m/+E狂+超+酊二口 d-侬）乂制邮+弛>0储的>必,且5,凶,85,货）,财力.我是方程的两极.二为+羯=祟不融=坦要2及|AB=出