《平行线的证明》知识回顾

1、平行线的证明”知识回顾平行线的证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概 念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明.通过本章的复习，要 掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算.一、定义与命题1 .定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们 的定义.如两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是两点之间的距离的 定义.2 .命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成 如果，那么”的形式，如果”引出的部分是条件， 那么”引出的部分是结 论.3

2、 .真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的 条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4 .公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）.A.两个钝角三角形一定相似8 .两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论 正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：有 两组对应角相

3、等的两个三角形相似； 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角 形相似；三边对应成比例的两个三角形相似. 所给的选项中只有两个等边三角 形满足以上条件.所以选（D）.说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题 为主要形式.二、平行线的判定和性质1 .平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2 .平行线的判定定理1:同旁内角互补，两直线平行.3 .平行线的判定定理2:内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1:两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2:两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条

4、件和结论，平行线 的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系， 平行线的性质是由平行线的位 置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言， 两直线平行”是结论，对平 行线的性质而言， 两直线平行”是条件.因此，不能随便说 同位角相等”同旁内 角互补”.例 2 如图 1, AB / CD , EF 分别交 AB, CD 于 M , N , / EMB = 50 , MG平分/BMF, MG交CD于G .求/ 1的度数.分析：要求/ 1的度数，根据两直线平行可得 /1 = /BMG ,所以只要根据 已知条件求出/ BMG的度数即可./解：因为 ab / cd ,“ vy s所以/1=/BMG （两

5、直线平行，内错角相等）."又/EMB=50°, MG 平分/BMF,修I所以 / BMG =-ZFMB =1（180-501）=65 .22所以71=65.说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同 位角相等，内错角相等或同旁内角互补） 解决问题，有时还要用到三角形的外角 性质等.三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角 凑”在一起，拼成一个平角， 从而得到三角形的内角和等于 180°,这里体现了一种重要的数学思想一一转化 思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用构造周角”的方法以及 两直

6、线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.例 3 如图 2,已知 4ABC 中，/BAC=90。，AD _L BC 于 D , E是 AD 上点.求证：/ BEDa/C .分析：/BED与/C没有直接的联系，但 /BED、/C都与/BAC有关,因此可以用/BAC作中间量进行过渡.证明：在 4ABC 中，/ABC+/C=90）因为 AD _L BC ,所以 / ADB =90c ,在 ABD 中，/ADB=90,，所以 / ABC +/ BAD =90 ,所以 /C =/BAD .因为/ BEDBAD （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），所以 /BED >ZC .说明：证明角的不

7、等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关 系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .推论2三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角 .关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了 一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问 题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3,点P是4ABC内的一点，连接BP、CP.求证：/ BPC>/ BAC.分析：要求证明/

8、 BPC>/BAC,通常有两种方法：一是找到第三个角，利 用不等式的传递性得证；二是将/ BPC和/ BAC都分成两个角，利用同向不等 式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3(1)所示，延长BP交AC于点D.由于/ BPC是4DPC的外角，所以/ BPC>ZCDP.由于/CDP是4ABD的外角，所以/ CDP>/BAC.所以/ BPC>BAC.图3证法二：如图3 (2)所示，连接AP并延长AP.因为/ 1是4ABP的外角，所以/ 1>/3.因为/ 2是4APC的外角，所以/ 2>/4.所以 / 1 + /2>/3+/4.又因为/ 1 + /2=

9、/BPC, /3+/4=/BAC,所以/ BPC>ZBAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转 化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.练习1、写出下列命题的条件和结论.(1)如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.(2)对顶角相等.2、如图，在 AFD和4BEC中，点A, E, F, C在同一直线上，有下面 4 个论断：AD=CB ;BE=DF;/ B=/D;AD/BC.请用其中三个作为条件， 余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.D3、在AABC 中，/B-/C=4(J, / A=80° ,求/

10、A、/ B、/ C 的度数，并 判断 ABC的形状?2=140°,那么 / 3=1、解析：（1）命题一般写成 如果A,那么B'的形式，A部分为条件，B 部分为结论，所以（1）中的条件"个三角形中有两条边相等”，结论为 这个三 角形是等腰三角形” .（2）对于命题本身不含 如果“，那么"词语，此时需将其改写成 如果， 那么”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成 如果两个 角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为两个角是对顶角”，结论为这两个 角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简 单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF, /B=/D, AD=CB.求证：AD/BC.证明：因为 AD=CB, /B=/D, BE=DF,所以 ADFACBE.所以/ A=/C,所以 AD/BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180。.构造方程求解.解：因为/ A+/B+/C=180 , /A=80°,所以/ B+ZC=10O ,又/ B-/C=40 ,所以/ B=70° , / C=3