2019年吉林省中考数学试卷以及逐题解析版

1、2019年吉林省中考数学试卷以及逐题解析一、单项选择题（每小题 2分，共12分）1. （2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）F'Wo7A. 3B. 2C. 1D. -12. （2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为3. （2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）B. a 1C. aX1D. a-1第1页（共28页）4. （2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A . 30sB. 900C, 120°D, 180°5. （2分）如图，在LI。中，AB所对的圆周角 NACB

2、 =50，若P为AB上一点，/AOP =55）则ZPOB的度数为（）CA . 30sB. 450C. 55°D. 60°6. （2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光. 如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 （）BA.两点之间，线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线二、填空题（每小题 3分，共24分）27. （ 3分）分解因式：a 1 =.8. （3分）不等式3x2>1的解是.9. （3 分）计算：士Ux=.2x y10. （3分）

3、若关于x的一元二次方程（x+3）2 =c有实数根，则c的值可以为 （写出一个11. （3分）如图，E为ZABC边CA延长线上一点，过点 E作ED/BC .若NBAC = 70=,/CED =50°,贝U /B=E DB C12. （3分）如图，在四边形 ABCD中，AB=10, BD _L AD ,若将mCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为13. （3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m ,则这栋楼的高度为 14. （3分）如图，在扇形OAB中，ZAOB=90°. D , E分别是半径OA

4、 , OB上的点，以OD ,OE为邻边的|_ODCE的顶点C在AB上.若OD =8 , OE =6 ,则阴影部分图形的面积是（结果保留兀）.BD A三、解答题（每小题 5分，共20分)15. （5分）先化简，再求值:(a -1)2 +a(a +2),其中 a =J2 .16. （5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.甲口袋乙口袋17. （5分）已知y是x的反比例函数,并且当（1）求y关于x的

5、函数解析式;（2）当x=4时，求y的值.18. （5分）如图，在l_ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F ,连接BE、DF .求证:19. (7 分)ABE aiCDF .图，图均为4父4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图 中已画出线段AB,在图中已画出线段CD,其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画 第3页（共28页）图:（1）在图中，以AB为对角线画一个菱形 AEBF ,且E , F为格点；（2）在图中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G , H为格点,图图20. （7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作

6、而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串 5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹 签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂.若每根竹签串 c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）.（1） bc+d =a ; （2） ac+d=b; （3） acd =b .21. （7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离 AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角 /CAD为43t求花洒顶端C到地面的距离 CE （结果精 确到 1cm） .（参考数据：sin43 0=0.68, cos43

7、6; = 0.73 , tan43* = 0.93）B E22. （7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查.其中最具有代表性的一个方案是 ;(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：这次接受调查的居民人数为 人；

8、统计图中人数最多的选项为 ;请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人23. (8分)甲、乙两车分别从 A, B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 B地，乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距 B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.(1) m =, n =;(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；24. (8分)性质探究如图，在等腰三角形 ABC中，/ACB=120)则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用(1)若顶角为120。的等腰三角形的周长为 8+473,则它的

9、面积为 ；(2)如图，在四边形 EFGH中，EF =EG =EH .求证：NEFG +NEHG =/FGH ;在边FG , GH上分别取中点 M , N ,连接MN .若/FGH =120©, EF =10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2ot的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含a的式子表示).B FG第7页(共28页)图 图.六、解答题(每小题 10分，共20分)25. (10 分)如图，在矩形 ABCD 中，AD =4cm , AB=3cm, E 为边 BC 上一点，BE=AB, 连接AE .动点P、Q从点A同时出发，点P以V2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q

10、以2cm/s的速度沿折线 AD DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中，点P ,点Q经过的路线与线段 PQ围成的图形面积为 y(cm2).(1) AE=cm, /EAD=电；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;5(3)当PQ=cm时，直接写出x的值.4(备用图)26. (10分)如图，抛物线2y=(x-1) +k与x轴相交于 A, B两点(点 A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0, T).P为抛物线上一点，横坐标为 m ,且m >0 .(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时，求 MBP面积的最大值；(3)设此抛物线在点 C与点P之

11、间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h .m的取值范围;求h关于m的函数解析式，并写出自变量当h =9时，直接写出 ABCP的面积.2019年吉林省中考数学试卷答案与解析、单项选择题（每小题 2分，共12分）1. （2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A. 3B. 2C. 1D.第9页（共28页）C.【分析】直接利用数轴得出结果即可.【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1 ,【点评】本题考查了数轴、根据数轴 1是解题关键.6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为【分析】找到从上面看所得到的图形即可.【解答】 解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示:

12、【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.3. （2分）若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）B. a 1C. aQD.a- 1减去一正数小于【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身, 本身，减去一个负数大于本身，乘以 1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可.【解答】解：A . a +1 >a ,选项错误;B . a -1 <a ,选项正确;C . a父1 =a ,选项错误；D . a +1 =a ,选项错误；故选：B .【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1,减1,乘1,除以1,值的大小变化规律.

13、基础题.4. （2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A. 30 sB. 90°C, 120°D, 180°【分析】根据图形的对称性，用 360 除以3计算即可得解.【解答】 解：，：360 "3=120©,.旋转的角度是120©的整数倍，.旋转的角度至少是120，故选：C .【点评】 本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120 +的整数倍是解题的关键.5.（2分）如图，在L|O中，AB所对的圆周角 NACB =50）若P为AB上一点，NAOP =55）则ZPOB的度数为（

14、）CA. 30 0B. 454C. 55*D. 60 °【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出ZAOB的度数，进而由角的和差求得结果.【解答】解：；/ACB =50°,J./AOB =22ACB =1002；/AOP =55°,二/POB =45°,故选：B .【点评】本题是圆的一个计算题， 主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2信倍.6. (2分)曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于 游人更好地观赏风光. 如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是

15、 ()BA.两点之间，线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案.【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程.故选：A.【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键.二、填空题(每小题 3分，共24分)27. (3分)分解因式：a 1=_(a+l)(a 1)一.【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式.平方差公式： 22a -b =(a +b)(a -b).【解答】解：a2

16、1 =(a+1)(a 1).故答案为：(a+1)(a-1).【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键.8. (3分)不等式3x2A1的解是_x>1_.【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3,不等号的方向不变.【解答】解：，；3x_2a1,3x >3 ,x >1 ,二原不等式的解集为：x>1 .故答案为x>1.【点评】本题考查了不等式的性质: （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变

17、.9. （3分）计算：±Ux=_工2x y 2x【分析】根据分式乘除法的法则计算即可.【解答】故答案为:2x【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键.10. （3分）若关于x的一元二次方程（x+3）2 =c有实数根，则c的值可以为5 （答案不唯一,只有 c0即可）（写出一个即可）.【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式-0,由此可以得到关于 c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范围.【解答】解：一元二次方程化为 x2+6x+9c = 0,=364（9 -c） =4c 0 ,解上式得c- 0 .故答为5 （答案不唯一，只有 。-0即可）.【点评】本题主要考查根与系数的关

18、系，根的判别式，关键在于求出c的取值范围.11. （3分）如图，E为 MBC边CA延长线上一点，过点 E作ED/BC .若NBAC = 70。/CED =50*,则 /B = 60B C【分析】利用平行线的性质，即可得到NCED=/C =50，再根据三角形内角和定理，即可 得到/B的度数.【解答】解：ED/BC,./CED =/C =50 °,又；/BAC =70。.ABC 中，BB =180050 J70©=60*,故答案为：60.【点评】 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等.12. （3分）如图，在四边形 ABCD中，AB=10, BD _

19、L AD ,若将用CD沿BD折叠，点C 与边AB的中点E恰好重合，则四边形 BCDE的周长为 20 .1【分析】根据直角二角形斜边上中线的性质，即可得到 DE =BE =- AB =5 ,再根据折叠的 2性质，即可得到四边形 BCDE的周长为5X4=20 .【解答】 解：，：BD_LAD,点E是AB的中点，1; DE =BE =AB =5, 2由折叠可得， CB =BE , CD =ED ,.四边形BCDE的周长为5X4=20 ,故答案为：20.【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.13. （3分）在某一时

20、刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m ,则这栋楼的高度为54 m .【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.【解答】解：设这栋楼的高度为 hm,二在某一时刻，测得一根高为 1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一栋楼的影长为60m,. 18 =_h_ 解得 h =54（ m）.390故答案为：54.【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.14. （3分）如图，在扇形OAB中，/AOB=90, D, E分别是半径 OA , OB上的点，以OD ,OE为邻边的|_ODCE的顶点C在AB上.若OD =8 ,

21、OE =6 ,则阴影部分图形的面积是25 n -48 _ （结果彳呆留兀）.第15页（共28页）【分析】连接OC ,根据同样只统计得到LODCE是矩形，由矩形的性质得到 /ODC =90，根据勾股定理得到 OC =10 ,根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论.【解答】解：连接OC , 7 ZAOB =90°,四边形ODCE是平行四边形, jLodce是矩形，J./ODC =90*.7OD =8 , OE =6 ,90L 二 102一 3608父6=25n一48.，OC =10,，阴影部分图形的面积故答案为：25冗48.正确的作出辅助线【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形

22、的判定和性质，勾股定理, 是解题的关键.三、解答题（每小题 5分，共20分）15. （5分）先化简，再求值： （a 1）2+a（a+2）,其中a = J2 .【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果, 把a的值代入计算即可求出值.【解答】解：原式=a2 2a +1 +a2+2a =2a2 +1 ,【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.16. （5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋 中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一

23、条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.甲口袋乙口袋【分析】画出树状图，共有 4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能,由概率公式即可得出结果.【解答】 解：画树状图如下:共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，1则取出的扇子和手绢都是红色的概率为-.4开始甲名耍房子绿色扇子/、 /、乙红色手绢绿色手绢红色手绢绿色手绢【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件； 树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率

24、=所求情况数与总情况数 之比.17. （5分）已知y是X的反比例函数，并且当 x = 2时，y=6.（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值.【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x =4代入求出答案.【解答】解：（1） y是x的反例函数，所以，设 y=k（k=0）, x当 x =2 时，y =6 .所以，k =xy =12 ,所以，y=12； x（2）当 x =4 时，y =3 .【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键.18. （5分）如图，在|_ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧

25、，交边BC于点F ,连接BE、DF .求证： MBE主ACDF .A ED【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案.【解答】 证明：由题意可得：AE=FC ,在平行四边形 ABCD中，AB =DC , /A=NCAE =CF在 MBE 和 ZiCDF 中， Ua =/C ,AB =CD所以， MBE 三 ACDF （SAS）.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键.四、解答题（每小题 7分，共28分）19. （7分）图，图均为4M4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图 中已画出线段AB,在图中已画出线段CD,

26、其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画 图:(1)在图中，以AB为对角线画一个菱形 AEBF ,且E , F为格点；(2)在图中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G , H为格点,第17页（共28页）图图0【分析】(1)根据菱形的定义画出图形即可(答案不唯一)(2)利用数形结合的思想解决问题即可.【解答】解：(1)如图，菱形 AEBF即为所求.即为所求.(2)如图，四边形CGDH【点评】本题考查作图应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.20. (7分)问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖

27、制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串 5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签.这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂.若每根竹签串 c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是(填写序号).(1) bc+d =a ; (2) ac+d=b; (3) acd =b .5x 4 = y【分析】问题解决 设竹签有X根，山楂有y个，由题意得出方程组：5 y ,解方程8（x7） =y组即可；反思归纳由每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，得出ac + d=b即可. 【解答】问题解决解：设竹签有x根，山楂有y个，由题意得：！5x+4=y

28、 ,8（x -7） = yx =20解得：W , y =104答：竹签有20根，山楂有104个；反思归纳解：每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则 ac +d =b ,故答案为：（2）.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键.21. （7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离 AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角 /CAD为43t求花洒顶端C到地面的距离 CE （结果精 确到 1cm）.（参考数据：sin43©=0.68, cos43° = 0.73 , tan43° =

29、 0.93）B E【分析】过C作CF _L AB于F ,于是得到/AFC =90°,解直角三角形即可得到结论.【解答】 解：过C作CF _L AB于F ,则 ZAFC =90©,在 RtMCF 中，AC =30 , /CAF =43 ）AF*cos/CAF =,ACAF =ACpos/CAF =30x0.73=21.9,CE =BF =AB +AF =170 +21.9 =191.9 忠 192(cm),答：花?S顶端C到地面的距离CE为192cm.B E【点评】本题考查解直角三角形， 解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的 定义，本题属于中等题型.22. (7

30、分)某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.(1)该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查.其中最具有代表性的一个方案是方案三 ;(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查.供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项.现根据调查结果绘制如下 统计图，请根据统计图回答下列问题：这次接受调查的居民人数为 人；统计图中人数最多的选项为 ;请你估计该地区居民和农村居民将“电

31、脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人【分析】(1)根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可;(2)把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；从统计图中找出人数最多的选项即可；用80父该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所 占的百分比即可得到结论.【解答】解：(1)最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；(2)这次接受调查的居民人数为 260 +400 +150+100+90=1000人;统计图中人数最多的选项为手机;260 4001000= 52.8万人,答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”

32、的总人数52.8万人.故答案为：1000,手机.【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体.五、解答题(每小题 8分，共16分)23. (8分)甲、乙两车分别从 A, B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲 车继续以原速行驶到 B地，乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距 B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.(1) m = 4 , n =;(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；(3)当甲车到达 B地时，求乙车距

33、B地的路程.（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x=3代入（2）的结论即可.【解答】 解：（1）根据题意可得 m=2M2=4, n =280 280 + 3.5 =120 ;故答案为：4; 120;（2）设y关于x的函数解析式为 y =kx（0颈X 2）,因为图象经过（2,120）,所以 2k =120 ,解得k =60 ,所以y关于x的函数解析式为y =60x ,设y关于x的函数解析式为y =（x+b（2mx 4）,因为图象经过（2,120） , （4,0）两点，所以解得所以2kl b =12014kl b = 0卢=-60b =240 'y关于x的函数解析式为 y = -60 +

34、240（2殛 4）;当 x =3.5 时，y =-60父3.5+240=30 .所以当甲车到达 B地时，乙车距 B地的路程为30km.【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式.24. （8分）性质探究如图，在等腰三角形 ABC中，/ACB =120 口，则底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用(1)若顶角为120。的等腰三角形的周长为 8+4通,则它的面积为 ；(2)如图，在四边形 EFGH中，EF =EG =EH .求证：/EFG +/EHG =/FGH ;在边FG , GH上分别取中点 M , N ,连接MN .若/FGH =120©

35、;, EF =10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为20f的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为(用含a的式子表示).图图，【分析】性质探究作CD 1AB于D ,则/ADC =ZBDC =90°,由等腰三角形的性质得出AD = BD ,乙A =/B =30 * ,由直角三角形的性质得出A C=2 C D AD = J3CD ,得出A B=2 A D 2 - 3 C D可得出结果；理解运用(1)同上得出则 AC =2CD , AD =J3CD ,由等腰三角形的周长得出 4CD +273CD =8+46,解得：CD =2,得出AB=4V3,由三角形面积公式即可得出结果；(2 ) 由等腰

36、三角形的性质得出 /EFG =/EGF , ZEGH =/EHG , 得出/EFG +/EHG =/EGF +/EGH =/FGH 即可；连接FH ,作EP _L FH于P ,由等腰三角形的性质得出PF = PH ,由得：/EFG +/EHG =/FGH =120*,由四边形内角和定理求出 /FEH =120、由等腰三角形的性质得出/EFH =30°,由直角三角形的性质得出PE =- EF =5 , PF=J3PE=5，3,得出2FH =2PF =10。3,证明MN是AFGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD _lBC于D ,由等腰三角形的性质得出BD =CD

37、, /BAD =NBAC =a ,由三角函数一2得出BD =ABxsina ,得出BC =2BD =2ABxsina ,即可得出结果.【解答】性质探究解：作CD _LAB于D ,如图所示：则 ZADC =ZBDC =90 H*'AC=BC,2ACB=120©,j.AD=BD,2A=/B=30,AC=2CD, AD=V3CD,AB =2AD =2s/3Cd ,生包3AC 2CD故答案为：点；理解运用(1)解：如图所示：同上得： AC =2CD , AD = V3CD ,A AC +BC +AB =8+473 ,二 4CD +2J3CD =8+4点，解得：CD =2,二 ab =

38、473, 11J.ABC 的面积=AB MCD =父4。3父2=4%；3； 22故答案为：4 .3(2)证明：7 EF =EG=EH ,J./EFG =/EGF , /EGH =NEHG ,二/EFG +/EHG =/EGF +/EGH =/FGH ；解：连接FH ,作EP_LFH于P ,如图所示：则 PF=PH ,由得：ZEFG +/EHG =/FGH =120)J./FEH =360©120©1200=120、第21页(共28页)'；EF =EH ,./EFH =30°,1, PE =EF =5, 2j.PF =y/3PE =533 ,F FH =2P

39、F =105二点M、N分别是FG、GH的中点,MN是AFGH的中位线，MN =1FH =5点； 2类比拓展解：如图所示：作AD _LBC于D ,Tab =ac , BD =CD , /BAD J/BAC =a , 2BDsin、工=AB: BD =AB xsinot ,j. BC =2BD =2AB Msinot ,BC 2ABiin :.=2sin a ;AB AB故答案为：2sina.B D图D B图【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、 就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30口角的直角三角形

40、的性质是解题的关键.六、解答题(每小题 10分，共20分)25. (10 分)如图，在矩形 ABCD 中，AD =4cm , AB = 3cm, E 为边 BC 上一点，BE=AB, 连接AE.动点P、Q从点A同时出发，点P以J2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q 以2cm/s的速度沿折线 AD DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中， 点P ,点Q经过的路线与线段 PQ围成的图形面积为 y(cm2).(1) AE=_3V2_cm, NEAD=°(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;一5(3)当PQ=cm时，直接写出x的值.4(备用图)【分

41、析】(1)由勾股定理可求 AE的长，由等腰三角形的性质可求/EAD的度数;(2)分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；(3)分三种情况讨论，由勾股定理可求解.【解答】 解：(1) ，: AB=3cm, BE=AB=3cm, AE =JaB2 +BE2 =3J2cm , /BAE =/BEA =45°B BAD =90DAE =45故答案为：3 72, 45第25页(共28页)(2)当0<x, 2时，如图，过点 P作PF_LAD,C E8D Q F AAP="x, /DAE =45，PF _L AD, PF =x =AF , 12y =Srqa = A AQ m PF =x ,(2)当2 <x, 3时，如图，过点 P作PF _L AD ,0C EBD F A7 PF =AF =x , QD =2x-4二 DF =4 -x ,1 212.y x (2x -4，x)(4 -x) = -x，8x -82 2当3<x, 7时，如图，点P与点E重合.2*：CQ =(3+4) -2x=7-2x , CE=4-3=1cm1 1.y = (1