与球有关的高考试题

1、2016年高考数学微专题：与球体有关的问题一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。二、基础知识点拨：1 .长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.2 .正方体的内切球其棱长为球的直径.3 .正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.4 .正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 ： 1.方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用d2 =00； = R2-r2，构造直角三角形建立三者之间的

2、关系。三、高考试题精练1. （2015高考新课标2,理9）已知A,B是球。的球面上两点，/AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-AB平积的最大值为36,则球。的表 面积为（）A. 36 兀 B.64 兀 C.144 兀 D.256 兀【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面HOB的直径端点时，三棱锥。的体积谖大，设球。的半 径为此时工亚=二4% 二1> 1尺之乂田=氏'=36 ,故五二6 ,则球。的表面积为5 =4依二=144人故选 C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.2. （2015 辽宁高考）已知直三棱柱 ABG ABC的6个顶点都在球。的球面上，若AB

3、= 3,44, ABJ±AC AA= 12,则球。的半径为（）A.3 172B. 2 1013C.万1 5 又 AM= 2BG= 2,答案:D. 3 10解析：选C如图，由球心作平面ABC勺垂线，则垂足为BC的中点M_1 一，_。阵2AA= 6,所以球O的半径R= OA=3. （2016 长春模拟）若一个正四面体的表面积为 S,其内切球的表面积为S,则曰=S2解析：设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S = 4，、4 - 3=y/3a2,其内切球半径为正四面体高的4，即r = 1W6a=得a,因此内切球表工小、，-2 兀 a2wSx/3a26/3面积为S2=4兀r =,则三=.6S

4、2兀 2 兀"6a4. 四棱锥P-ABCD勺五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E, F分别是棱AR CD勺中点，直线EF被球面所截得的线段长为2啦，则该球的表面积为（）A. 9兀B. 3兀C. 272%D. 12 兀解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC由直 线EF被球面所截得的线段长为2，2,可知正方形ABCD寸角线AC的长为 2啦，可得 a= 2,在PAB PC= <22 + ?272?2 = 2，3,球的半径 R= 木, S 表=4 兀 R2 = 4 兀 X （yj3） 2= 12 兀.四、典型例题精析

5、类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）1.15.如图球O的半径为2,圆Oi是一小圆，OO=T2, A B是圆Oi上两 点，若A, B两点间的球面距离为 空，则/AOB =.（2015年理3科）2.15 .如图球。的半径为2,圆O1是一小圆，OQ=&, A B是圆O1上两 点，若/AO1B = ：,则A,B两点间的球面距离为 （2014年文 科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径上=2r,从而解决问题。sin C3.15.直三棱柱ABC -ABC的各顶点都在同

6、一球面上，若AB = AC = AA=2, /BAC=120>则此球的表面积等于 。 （2014年理科）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R,与R相关的是重要性质R2 =r2 +d2。1 AA=2, . d =OO1 =OO2 = _ AA1 二1。2现将问题转化到。Q的半径之上。因为 ABC是。Q的内接三角形，又知 AB=AC=2 /BAC=120 ,三角形可解。由余弦定理有 BC = JAB2+AC2 2AB AC cos/BAC = J4 + 4 + 4 = 2黎, 由正弦定理有BC=2r = r=BC=2sin BAC2sin. BACR2 =r2 +d2 =4 +1 =5.

7、S =4nR2 =20兀。4.14.正三棱柱ABC - AB1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为冗，则正三棱柱的体积为 8. (2013年理科)5.12. 已知球的直径SC=4, A, B是该球球面上的两点，AB=收，zasc=/bsc=30 1则锥S ABC勺体积为C(2014年理科)A 33B. 23C. .3D. 16. (11)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点，SA_L 平面 ABC , AB_L BC , SA= AB = 1 ,BC =72,则球。表面积等于 A (2015年文科)(A) 4n(B) 3n(C) 2n(D)n类型三：通过线线角、线面角、面面角

8、之间的平面的转化，构造勾股定理 处理问题。7.15.设OA是球。的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面 截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于 号，则球O的表面积等 于(2015年文科)析：问题的解决根本求球半径 R = OB。与R相关的重要性质R2=r2+d2中，r2可求(: 一 一二二) 44问题转化到求d=OC上充分运用题目中未用的条件，om =R, /OMC=45, .一= R 22.22于是 R2 = 7 + R-求得 R2 = 2 , S = 4R2 =8几488 .（11）已知平面截一球面得圆 M过圆心M且与成二面角的平面B截 该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的

9、面积为4n，则圆N的面积为D （2014年理科）（A）7 二（B）9 二（C）11 二（D）13 二9 . （5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬600纬线长和赤道长的比值为C （2015文科）（A） 0.8（B） 0.75（C） 0.5（D） 0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.13.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球 的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示 ）， 则球的半径是4 cm . （2010年理科）11.16 .长方体ABCD -A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB = AA1=1 ,bc=5/2,

10、则a, B两点间的球面距离为 - （2015年文科）12.14 .体积为8的一个正方体，其全面积与球。的表面积相等，则球。的 体积等于 4<3n（2009年文科）13.16 ,已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这'匚一个球面面积的则这两个圆锥中，体积较小者的16高与体积较大者的高的比值为 1/3. （2015年文科）14.15.如图，半径为R的球。中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求 的表面积与改圆柱的侧面积之差是2职2 .类型五：平面几何性质在球中的综合应用。15. (16)已知球。的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，A

11、B为圆M与圆N的公共弦，AB=4.若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN =. (2015年理科)析：由OM=O即，OM与。No为等圆，根据球中的重要性质r2 =R2 -d2 =16 -9 =7又 MKAB得 H为 AB中点，BH=AH=2： mh = NH =Jr2 BH2 =43./ OMH = ONH=90 / MON = / MHN由余弦定理有 MN=OlM+ON- 20M ON cos/MN2=MI2+NH 2MH NH- cos（兀解得 cos/MON=，即/ MON= 23三角形OMNI等边三角形，. MN=3.类型六：性质的简单应用16. (15)已知OA为球O的半径，过OA的

12、中点M且垂直于OA的平面截球面 得到圆M ,若圆M的面积为3兀，则球O的表面积等于 16兀.(2009年文科)17. (15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球。的球面上，且AB=6,BC=2V3, 则棱锥O - ABCD的体积为 24 。(2011年理科)18. (9)高为立的四棱锥S-ABCD勺底面是边长为1的正方形，点S、A、4B、G D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD勺中心与顶点S之间的 距离为C (2011年理科)(A)叵(B)左 (C)1(D)尤42五、模拟试题精练1. （2015高考新课标2,理9）已知A,B是球。的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面 上的动点，

13、若三棱锥O-AB平积的最大值为36,则球。的表面积为（）A. 36 兀 B.64 兀 C.144 兀 D.256 冗【答案】C2. （2015 辽宁高考）已知直三棱柱ABC ABC的6个顶点都在球。的球面上，若B. 2 10D. 3 10AB= 3, AG= 4, AB±AC AA= 12,则球。的半径为()13C.万答案：选C3. （2016 长春模拟）若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S,则S -.4. 四棱锥P-ABCD勺五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E,F分别是棱AB CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2/，则该球的表面积为A. 9九B. 3九C. 2427tD. 12 九答案：选D .5 .如图所示，已知 E, F分别是棱长为a的正方体ABCD-ABGD 的棱AA, CC的中点，则四棱锥C BEDF的体积为.1 3答案 (1) 6a36 .已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上， A