长方体的“角”模型

1、PB1、长方体的一角”模型新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。 - 套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条 主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借 助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完 全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何 问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！ 为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：在 三棱锥 P - A B中 ， PA_ PB,PB _ PC,PC _ PA ， 且PA = a, PB = b, PC = c.三棱锥P - ABC的高abca2b2

2、b2c2 c2a2证明：设直线定在BC上，连结PD.在厶PAD中:bc )a ( b2 c2abc：2 打 bc 、2 Q a2b2 + b2c2 + c2a2二面角P - BC - A, P -CA - B,P - AB - C的平面角分别是:aJb2 +c2bJa2 +c2cJ a2 + b2arcta n,arcta n,arcta nacbcab例1、四棱锥P-ABC中,底面ABC D是边长为 2的正方形，PA _ 面ABCD, PA = 1，求 A - DP - B 的大小.分析：考虑三棱锥A-PDB，它就是模型1长方 体的一个角”本来我们可以利用结论解：设二面角A-DP -B的大小

3、为.则:AB . PA2 AD2PA AD，故CAH交BC于D点，由于H点一定在厶ABC内部，所以46:-=arcta n 2我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体一角”做起 来就变得很轻松了 例2、直二面角D ABE中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE =BE，求B点到面ACE的距离.B分析：这是一道高考中的大题.因为D AB E是直 二面角，BC丄面ABE，当然面ABCD丄面ABE，又因 为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF 在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂 直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE

4、的所以AE垂 直于BF，又有AE = BE，所以 ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环B境的过程.图形中特殊的位置关系约束厶ABE的形状.补充图形，在正方体ABCD-ABCQ看问题.在这 里看直二面角的局部图形问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求0 点到面ABiC的距离.因为O, B到面ACBi的距离相等，所以只须求B 到面ACBi的距离即可，考虑三棱锥B ACBi,它是模型2.BC =BA 二 BR =2,.24 3所以，D到面ACE的距离为2卫.3点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和 AB

5、CD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方 体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角 B ACBi，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松例3底面为ABCD的长方体被截面AECiF所截，AB = 4, BC = 2, CCi = 3, BE =1 （见图），求C点到面AECiF的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准 中给出了很多的辅助线现在我们用典型的 空间模型，再对这道题解解看解：延长CiE交CB延长线于M，延长CD，交CiF延长线于N ， C-CiNM是模型2.因为CMCN -BCCiCBECMCM -23,CM