随机变量方差附其性质

1、殳随机变量的方差及其性质数学期望从一个角度描述了随机变量的特征.但是对一 个随机变僉来说，仅仅知道它的数学职望是不够的，我们还 常常需要知道它的取值关于数学期望的偏离程度.例如， 甲.乙两个工入生产同一种零桦，已知他们生产的零件的长 度X与的分布律分别为X、.丄2829303132Pk0.10J50.50 J50.1x22829303122Pk0.130.170J0.170,13容易算出EX产EX尸込这说明仅由零件农度的均值还 无法判断两工人的技术水平的嵩低.此时，可M选一步考虑 零件长度X与其均值EX的偏离程度| X-EX 的夬小. 而I X EX |也垦詭机变虽”因而可以用I X-EX I

2、的 均值即E|X-EX|来衡量X与EX的偏离程皮.经计算 得E 1 X-EX、I =0.7, E | XlEX, | =0.86 可见，甲生产的零件长度偏离其均值的程度较小，所以甲生 产的零件花度比较均匀.从这个意义上说甲的技术水平较乙 为亂然而穩由于绝对值以一EX|的数学期望E X-EX 在计算上不方便，所以通常用EXEXy来度量随机变量 与其数学期望的偏离程度.1-为X的方差，记作D(XX即D(X) = EXE(X)T.由定义可知* n(xo.如果它不存在，则说;V没有方差。(1)若人为叩;汕应杜炉二为则D(X)=!& E(XR朴2设连续型随机变量X的密度是fiU).则称r I曲Gr-E(

3、X)F0Cr)dHJ g为x的方差己作Dg方差D(X的算术平方根/Z5面称为X的标准差或均方 差.方差D(X)表示了随机变量X取值时以E(X)为中心的分 散程度。但是，它的单位是丸的单位的平方申为了单位一致还 经常使用DCX)的算术根/页石来计量随机变量无取值时以ECX)为中心的分散程度.【例】測w乙羽认的脉搏(伙W英分布情况 如下脉搏WS57060*Q.150.2Q,30.30.0&SO60TO90too率OH0*150,050*30.15甲:乙*问谁的健康状况要好1些.M用X表示甲的脉搏数。用F表示乙的脉搏数.则 DZ-E(%)1 -(EX)1 -80* XO. 15 + 652 XO.2

4、 + 7O1X03 + 752 X 0.3 + 6沪 X0* 0569.52 = 32. 25or=E(y)*-(Er)t =sol xo.35+601 x 0.15+70*X0.05 + 901 XO.3 + 100 XO J5-722=a 406他DXVDY即得宇甲的健康状况比乙的要好些【例门若随机变量兀服从于拉普拉斯分布，其柢率整度 为q 3 =命 e I I (入0)求DX* 解：2_氐_讪/入EX= J击凉2-DOe_ll!曲+ 00 LIJ普 -w十dt + fdiQO-HeDX= (x- EX)2q(x)dxt = (x)/-CO: 2 2 t 2t2edt =22一1玄一4|/

5、入c+sct2edt =【例3】 设门从干儿何介和，旧F =q*x P1, 2)qp,求DX.解:EX = Pfe-100/)=2k(4i)+ AJ i丈Th=工 A(fe l)q0 hTp+2 Hq ih=lpq5如)；a=iDX=E(Q - (E“ =為 +才一(才)2.方差的计算公式乂关于方差的计算，除了直接用定义外，还经常采用下面 拔公式：D(X)二 E(灯)一 E(X)N= EF-2XE(X)+ (=E(屮)一 C2X(X) + IE(X)22= E(X2)-2ECX)EQX) + LE(X)T= Xa) -) 0.ft慶2当C是常数时，D(CX)=ODx)性质8 设X与/互相独立，

6、则d(x + y=dcy)+ d(f)iiE D(X + )=Cr+10 EGV + F)F= E(X-E(X) + (E(F)F= ECX-ECX)+ECY-E(Y)+2E(K E(X)(F-E(y)R式中第三项为零，因为于是得出D(X + Y) = D (X) + D(F)ttifciDX-Y)DQX) D(.YK请拄意两边的符号iECCV-W)(F-E。)HE+E(X)E(P) XE(#m pE(X)E(E + EG)E(F)EQOE(F) -(X)Etr)- 0推论2设斤个机变量Xt(i = 12)互相独立则D(去兀=丈DZ * = 1/ z 1n个相互独立随机变量算术平均数的方差等于

7、其方差算术平均数的1/n倍.性St 4 D(X) = EX。亠匚厶弋无)尸M1 设X眼从两点分布#分布律为jp(x= 1 ) = PX = 0 ) 1 P Q则因Ecn=p故有D (A) = CX- E (X)J1 - E (X-=(1 一 +( Q -P)X1 -P)9lt 设X与卩互相独立，其分布律分别为X91011P43 Q + 502K070.40+6求 D(X + Y解因?(X)=9.9# E(Y) = 6.6,所以JXX)=( 9 -9.tt)aXQ.3 + (10-9,9)aXO+ (11 9.92 X 0 * 2= 0.49D( Y) = ( 6 亿6严 0/ (x)=其它解：

8、 以X亠再求厂s利用性质4,士 E(卅) = 例 4】已知 EX 3, CX 5 刚 E1X - 2):才解:E(X 2二 E(X2 4X 4) = EX2 4EX 4二(DX (EX)2) 4EX 4= 30【例5】已知DX：=8小丫 = 4,且乳独立,则D(2X Y) =?解D(2X 一Y) = 4DX + DY = 4 X 8 + 4 二二 36【例6】设XBgR、求 D(X)解匕令&表示第/次贝努里试验中成功的次数，则&的分布律为;Q(X = /(1 pX业目阳XQ二厂厂F)宰雲用Xk 工;X,因为x“x沙，&相互独立，故由方基的性就D(X) = SO(X； = ”(1 一 必此题若是

9、直接计算D(X)，则比较麻烦(参看 PP.8 8 - 8 9 )另外卫() = ( VxJ 0 m!则X的数学期望为)= S- = 5)7Af 9 0M 務9=Ae_J eA A另外,= EXX-1)+E(XR 1)CO=為Pk 2A*-2(人一2)!=Aze* r一+ 人=护 + A所以 D(X) = (X)5 一 C(X)3Z = A因为泊松分布只含一个参数4,因而知道了它的数学期望或方差就能完全确定它的分布.【例7】xh独立，求D(xn解 D(XY) = E(XY)9 - (XY33二 EX1 EY1 一 (EXYkEY)2=(2 + P)(3 十 32) -(IX 3)工-36 9 =

10、 27(4)超几何分布若随机变量X眼从超几何分布弄#其分布列为尸X=jk =匸更餐二(那=0爭1,2十“ “)Z=min(Afirt)则X) =nMD(X) =nM M)(Nf2(AT 1)其中为自然数(5)几何分布若随机变量X服从几何分布，即其分布列为尸X=R = (1刃 4亠=?1户(*=1,2.-|01-?(工=bat0,口冬无冬矢其它.E(X) =a+b2D(X) =(0小12证明:EX=沪一 a、30-)=4(护+砒+於九0D(X=Egm=(沪+砒+巧一三-(沪子2切+川)34詁(对于区间匸為幻上的均匀分布来说，区间长度越长，方差DOO越大.指数分布若随机变量X的密度为户(w) =o

11、*x0(AD)EX?DX(8)正态分布：X U N(2),EX JDX匚2证明:DCX)=71h0c-“)2e8Vr 2 九,2r 4 co,1 F 2 a-Q 2jt IU C()# r * 2022兀at W1JI一 .亠2o2teJ 2 * t 2dtu2tze a(I)2a2a2也可以用下面方法来证明:与P.8 5习题九一4类似，I MOI）,（皿，那么心制=严服从 畑即E（g则 E（X2） = E（z+ 灯）=E（/?+2rF+ ,护） “ + 2诫+ /E（护） =/ 斗 2/wj *0 + ?11,2丄2=“ -D（X）= E（x2）_（E（X）2由此，我们知道；正态分布川（宀，）的两个参数恰为X的数 学期望和方差.对一般的随机变靈牙，作变换仁疋-E（X）/TO *那么E詞斥骨）=-! ：（E（X）-E（X） =0.D( Y) = D(/DU) fe(x-e(；O)2D(