难点01_利用导数探求参数的取值范围

1、难点01利用导数探求参数的取值范围学案利用导数探求参数的取值范围是近几年高考的重点和热点，由于导数是高等数学的基础，对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点，成为每年高考的压轴题，因此也是学生感到头 疼和茫然的一类型题，究其原因，其一，基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导数的应用)，其二，没有形成具体的解题格式和套路，从而导致学生产生恐惧心理，成为考试一大障碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结1.与函数零点有关的参数范围问题函数f(x)的零点，即f(x)=O的根，亦即函数f(x)的图象与X轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单

2、调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与X轴的位置关系，进而确定参数的取值范围2例1设函数f (x) =2ln X _x .(I)求函数f(x)的单调递增区间；2(II)若关于X的方程f(x)-x-2-a = 0在区间1,3内恰有两个零点，求实数a的取值范围.思路分析：(I)求出导数，根据导数大于0求得f (x)的单调递增区间2 2(n)令g(x)二f(x)x -x-2-a .利用导数求出g(x)二f(x)，x -x-2-a的单调区间和极值点画出其简图，结合函数零点的判定定理找出a所满足的条件，由此便可求出a的取值范围.点.评；该题主雯若察函数的零点的概念和导数的应用

3、，考察学生逻辑思维能力和数册结合思想的灵活运用 的能力，属于中档题，利用导数判断函数册犬致图僚是解题关键.2.与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数y=f(x)在点X=Xo处的导数f(X0)就是相应曲线在点(X0,f(X0)处切线的斜率，即f (xo)，此类试题先求导数，然后转化为关于自变量 X。的函数，通过求值域，从而得到切线斜率 k的取值范围，而 切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题例2.若点P是函数y = ex _e* -3x( x )22图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为?,则的最小值是()B.JIJTC. 4思路分析：先求导函数f(X)的值域，即切线斜率范围

4、，而k = ta:二)，再结合y = tanx371T点评；该題痔察号数的几何)8义、斜率的定义荐基础知识.看察学生戛本运算能力、灵活运用号数知识处 理问题的能力，需要注意的是如果只求出斜率疋的最小值为不能说明顒斜角的最小值为3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式f(x) g(x)恒成立的处理方法：y=f(x)的图象永远落在y = g(x)图象的上方；构造函数法，一般构造F(x)二f(x) -g(x)，F(x)min 0二参变分离法，将不等式等价变形为a h(x)，或a : h(x)，进而转化为求函数h(x)的最值.3.1参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离

5、开,转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循 知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则.af (x) =xIn x,a >0例3.已知函数X.(I)讨论f(x)的单调性；(H )若 f(x)x-x2在(i, +：)恒成立，求实数a的取值范围.思路分析：(I)首先应明确函数f(x)的定义域为(°厂二),其次求导数，讨论当时，当厶“-4a 0时，导函数值的正负，求得函数的单调性.2 a2 x lnx 0/、3|(II)注意到f(x) 'X-x，即 x，构造函数g(x)二X -xlnx，研究其单调性3g(x)=x _x| nx在

6、1，址)为增函数，从而由g(x>g(11，得到0<a1.蛊仗)Ag(i)=i,点评：该題着察导数的应用、二谀函数的图象和性质等基础知识，考察学生迸辑思维能力、基本的运算能 力、数形结合思想朗运用，综合性较高，需要具备艮好的数学素质，第一问中，要注意二次函数判别式、 毛达定理、对称轴在图象中的重雯作用；第二间参变分离后，对右侧函数的二次求导.3.2构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法1 2f(x) =-x -ax + (a_1)lnx, a> 1例4.已知函数2(1)求f(x)

7、的单调区间；若g(x)珂2 -a)x Tn x, f (x) 一 g(x)在区间e,=)恒成立，求a的取值范围.a-x2ax a1-(x 1)(x _a)思路分析：(1) f (x)的定义域为(0,")注意分以下情况讨论导函数值的正负 ，确定函数的单调区间.a=2，1<av2,ar>2等.(2) 由题意得 f( x)2x) x Ian x- 2恒成x立0.引入函Fx(= )f x(x () x aF'(x) =x显-22需-2>0，得到F(x)在区间， 则xF(e)=e2+a-2ee,' -)上是增函数，从而只需2a>2e-°,求得2

8、.力、故形结合思邃的运用.综舍性钱高.需要具备良好的數学素萌，第一I肛 分子二沈式可以分解因式，方程的根耍与定义蛾吮较且两損之厦还矍注意比枝犬小< 幫二问，不扇夢变分离，利用枸诘函数法处理"4.与函数单调区间有关的参数范围问题II若函数f(x)在某一个区间 D可导，f(x)弋二.函数f(x)在区间D单调递增；f (x)：°=函数 f(x)在区间D单调递减.I若函数f(x)在某一个区间D可导，且函数f(x)在区间D单调递增=f (x) - °恒成立；函数f(x)I在区间D单调递减=f(X)- °恒成立.4.1参数在函数解析式中II转化为f(X)-&#

9、176;恒成立和f (x)乞°恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理2例5.已知函数f(x)=x +2alnx.(1)若函数f (x)的图象在(2, f(2)处的切线斜率为1，求实数a的值(2)若函数g(x)二2 f(x)x在1,2上是减函数，求实数a的取值范围思路分析：(1)先求导数，再由函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为1 ,令f'(2)=1求解；(2)求出g322x2x2a由函数g(x)为1,2上的单调减函数，得出g(X)- °在1,2上恒成立，构h(x)x2造x判断h(x)在1,2上为减函数，从而求解.点评：该题考察导数的几何意义和导数的应用等基

10、础知识，考察基本的运算能力，属于容易题，在第二问中，转化为恒成立问题，利用参变分离的方法求参数的范围是解题的关键4.2参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中例6.已知二次函数 h(x)=ax2+bx+c(其中c<3)，其导函数y二力(x)的图象如图，f(x)=6lnx+h(x). 求f(x)在x=3处的切线斜率；1 若f(x)在区间(m,m+ 2 )上是单调函数，求实数m的取值范围; 若对任意k 1,1,函数y=kx(x (°,的图象总在函数y= f(x)图象的上方，求c的取值范围./ -8)，才能保证不等式恒成思路分析：根据图

11、像求出一次导函数的解析式 ，那么函数f（x）的导函数就很容易得到了 ，所求的切线 斜率即是其所对应的的导函数值；根据函数的单调性与导数的关系求出函数的三个单调区间 ，使得所给 的区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围 ：由已知条件先导出和 k有关的不等式，将k 放在不等式的一边，那么就有k的最小值也要大于等于不等式另一边式子的最大值立，由函数的单调性和导数的关系求最值即可点评该題琴藝了尿数的几何蕙义、导费的应用粵察了逹辑思维虢力、综合运用数苧知识解诀问题的挺 力，是难度很丸的试题，第二问中，因为函数解挤式确定，战可先求岀且单调区间具次令(楓，柳十£)世 于单矚区间即可，在第

12、三间中.是含肓两个变重的恒成立问题，分两次恒廉立处理.是一道值猜反思和胡 究的題目*i5与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义1 2f (x) =ax2 (2a+1)x+21 n x(a R)例7.已知函数2.(i)求f(x)的单调区间；(n)设g(x)二x-2x，若对任意x1(0,2，均存在x2 (0,2,使得f (xi)v g(X2),求a的取值范围.思路分析：（I ）求f X的单调区间，常利用f X的导数来判断，本题由 f Ix）=（ax1）（x2）（x 0），

13、由于a的值不确定，需对a的取值范围进行分类讨论，从而求出f X的 单调区间；（n）对任意xi （0,2，均存在x2 （°,2，使得f（xi） v g（x2），等价于在0,2】上有 f X max ' g x max,只需分别求出f x与g x的最大值，利用f x max * g x max，就能求出a的取 值范围.点评，该题老察导数的几何為t义和导討的应用、蔺易逻辑等基础知识.垮痉逻辑思维能力、运用分突讨恩想解袂间題的能力+第一何中耳函皺分子二次函数解析式可分解因式.赛注意比较棍朗丈/片同时畫根弓定义域的位胃关系、并结合二茯函数图鑿判断导函救哥号】第二间中正碣理解持称崑词和存在重词含义、并能转化为j <5解題的关鶴综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在 单调性上的应用、函数的极值