难点自选专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略讲义理

1、难点自选专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018直线的方程、直线与椭圆 的位置关系、证明问题T 19直线的方程、直线与抛物 线的位置关系、圆的方 程T 19直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明T 202017椭圆的标准方程、直线与 椭圆的位置关系、定点问 题T 20点的轨迹方程、椭圆方程、向里的数里积等 T 20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T 202016轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题20直线与椭圆的位置关系、面积冋题、范围冋题T 20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系T 20解析几何是数形结合的典范， 是高

2、中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现.解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明.考法策略(一)依据关系来证明2X2典例(2018 全国卷I )设椭圆C： 2 + y = 1的右焦点为F,过F的直线l与C交 于A, B两点，点M的坐标为(2,0) (1) 当I与x轴垂直时，求直线 AM的方程；(2) 设O为坐标原点，证明：/ OMA / OMB解 由已知得F(1,0) , I的方程为x = 1.则点A的坐标为1, -2或1, -2

3、 .又 M2,0),所以直线AM的方程为y= -x+ ,2或y=#x , 2,即 x + 2y 2= 0 或 x 2y 2= 0.(2)证明：当I与x轴重合时，/ OM=Z OM=0°当I与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/ OM=Z OMB当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y= k(x 1)( k丰0), A(xi, yi), B(x2, y2),则 x書， X2< '2,直线 MA MB的斜率之和为yiy2klMA+ klMB='+.xi 2 X2 2由 yi= kxi k, y2= kx2 k,/口2kxiX2 3kxi + X2 + 4k得

4、 kiw+ klMB=xi 2X2 22X 2将 y = k(x i)代入+ y = i,2222得(2 k + i)x 4k x+ 2k 2= 0,所以Xi + X2 =4 k22k2 + i，XiX2 =2k2 22k2+ i.则 2kxiX2 3k( xi + X2)+ 4k=0.4k3 4k i2k3 + 8k3 + 4k2k2 + i从而 kMA+ kMB= 0 ,故MA MB的倾斜角互补.所以/ OM=Z OMB综上，/ OM=Z OM賊立.题后悟通 几何证明问题的解题策略(1) 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位 置关系，如：某点在某直线上、

5、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直 线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2) 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等， 通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.应用体验2 2x yi 设椭圆E的方程为孑+舎=i(a>b>0)，点O为坐标原点，点 A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0 , b)，点M在线段AB上，满足|BM = 2|MA，直线OM勺斜率为请(1) 求E的离心率e；(2) 设点C的坐标为(0， b) , N为线段AC的中点，证明： MNL AB一 2 1解：(1)由题设条件知，点

6、M的坐标为3a, 3b ,又10 '从而2a=諾c =a2- b2 = 2b, 故 e= Cab，可得-Nm= 6,罟.又么B =a 证明：由N是AC的中点知，点 N的坐标为2，(a, b),从而有 TB "NM=- 1a2 + 5b2 = 1(5 b2- a2).6 6 6由(1)可知 a2= 5 b2,所以 N 1IM= 0，故 MNL AB考法策略(二) 巧妙消元证定值典例已知椭圆C:2x2 +a2y詁=1(a>b>0)，过 A(2,0) , B(0,1)两点.(1) 求椭圆C的方程及离心率；(2) 设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与 y轴交于点M

7、直线PB与x轴交于点N,求证：四边形 ABNM的面积为定值.解(1)由题意得，a= 2 , b= 1 ,2xo所以椭圆C的方程为-+ y2= 1.4又c = '吗、5 b =宴3 ,所以离心率 e= a= -.2 2 证明：设 P(x° , y°)( X0V 0 , yov 0),贝U x°+ 4y0= 4.又 A(2,0) , B(0,1),y° 所以直线PA的方程为y= x (x 2).X。一 2令 x = 0,得 yM=-x2，Xo 2从而 | BM = 1 yM= 1 +2y°X0 2y 0 1直线PB的方程为y = =x+ 1

8、.人X。令 y = 0,得 Xn=- y -,y0 1从而 | AN = 2 xn= 2 +"y0 11所以四边形 ABNI的面积S= 2IAN |BM1Xo=2 2+ 尸2yo1 + xx2 + 4y0+ 4x°yo 4xo 8yo+ 42 xoyo xo 2yo+ 22x°yo 2xo 4yo+ 4 xoyo Xo 2yo + 2 2.从而四边形 ABNI的面积为定值.题后悟通解答圆锥曲线的定值问题的策略(如本例)、选择消元、(1) 从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2) 采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元对称消元等.应用体验一

9、 12. (2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线 x2 8 : 3y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图，已知 P(2,3) , Q(2, 3)是椭圆上的两点, 圆上位于直线 PQ两侧的动点.当 A, B运动时，满足/ 试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由.解：(1)由题意知椭圆的焦点在 x轴上,2 2设椭圆C的方程为x2+右一1(a>b>O),a b则 b 2 ,：3.由 a 2，a2 c2 + b2,得 a 4,a 222椭圆c的方程为1"6+121.(2)直线AB的斜率是定值，理由如下：设 A(X1,

10、y1) , B(X2, y2)./ APQZ BPQ 直线PA PB的斜率之和为 0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为一k，直线PA的方程为y 3 k(x 2),y 3 k x2由 x2亦 + 12 1，2 2 2得(3 + 4k)x + 8k(3 - 2k) x + 4(3 - 2k) 48= 0,8k 2k - 3二 X1 + 2= 3T4F，将k换成k可得X2 + 2=-8k - 2k- 33 + 4k2_8k 2k + 33+ 4k216k2- 12- 48kX1 + X2 =齐矿，X1- X2= 3T4F，yi- y kXi - 2+ 3+ k X2- 2- 3-kAB=Xi

11、- X2Xi-X2kxi + X2 4k1Xi X22，直线AB的斜率为定值2.考法策略(三)构造函数求最值典例在 Rt ABC中，/ BAC 90° A(0,2 返),巳02述),&动点P3的轨迹为曲线E,曲线E过点C且满足|PA + |PB的值为常数.(1) 求曲线E的方程.(2) 过点Q(-2,0)的直线与曲线 E总有公共点，以点 M0, 3)为圆心的圆 M与该直线 总相切，求圆 M的最大面积.解(1)由已知| AB = 4 .212/2&abc= ABI AC = 3，1所以| AQ =-.3因为 | PA + I PB = I CA + I CB = 6&g

12、t; I AB = 4 ,.;2,所以曲线E是以点A, B为焦点的椭圆且 2a= 6,2 c = 4 ,;2.所以 a= 3, c= 2 ,;2? b= 1,2所以曲线E的方程为X2+眷=1.(2)由题意可设直线方程为y = k( x+ 2),22 y .x + = i联立 9'消去 y,得(9 + k2)x2+ 4k2x+ 4k2- 9 = 0,y = k x+2则 a = (4 k2)2- 4(9 + k2)(4 k2- 9) >0,解得 k2< 3.因为以点MO, 3）为圆心的圆M与该直线总相切,所以半径|2k + 3|_1 + k22令 r = f (k)=2k+

13、31+ k2，则 f'(k) = 42k+ 321 + k 2k 2k + 31 + k22k + 34 6k1 + k2由(k) = 0,得 k= I或 k = 3,当k = 2时符合题意，此时可得3|2 k + 3|1 + k2即所求圆的面积的最大值是13 n.题后悟通最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的 （如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择 题、填空题中经常考查）代数法建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值解决的（普通方法、基本不等式方法、导数方法 （如本例）等）应用体验3.

14、 （2018 合肥一检）在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1, F2,交y轴于点B1,B2.以B, B2为顶点，F, F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点1, -孑.（1）求椭圆E的方程；（2）设经过点（一2,0）的直线I与椭圆E交于M N两点，求 F2MN面积的最大值.解：（1）由已知可得，椭圆 E的焦点在x轴上.2 2x y设椭圆E的标准方程为+ 2= 1（a>b>0）,a b焦距为2c,则b= c,二 a = b + c = 2b ,2 2椭圆E的方程为 冷+ £= 1.1x/21 2 2又椭圆E过点1, -牙， 2尺+序=1,解得b令 1 + 2k = t，贝

15、U t (1,2),= 1.2X 2椭圆E的方程为-+ y2= 1./点(一2,0)在椭圆E外，.直线l的斜率存在.设直线 I 的方程为 y = k(x+ 2) , Mx1, y1), N(X2, y2).y = k x+ 2,由X 2消去y得，2 + y = 1 2 2 .2 .2(1 + 2k )x + 8kx + 8k 2= 0.2 1由 A> 0，得 0<kv ,从而X1 + X2 =8k21 + 2k2，8k2 2X1X2 =1 + 2 k2， | MN = .1 + k2| X1 X2| = 2 1 + k2 2 4k21 + 2k22.Smax=孚，此时 k=

16、7;46当直线l的斜率为土可使 F2MN的面积最大，其最大值为3.24.点F2(1,0)到直线I的距离d= 2,V1+ k1/ k2 2 4 k2 F2MN的面积 S= MN d= 3 .1 + 2k2 2考法策略(四)找寻不等关系解范围2 2x y典例已知点A, B分别为椭圆 E二+ 2= 1(a>b>0)的左、右顶点，点 R0 ,a b2)，直线BP交E于点Q,"PQ = 2"QB，且 ABP是等腰直角三角形.(1)求椭圆E的方程;设过点P的动直线I与E相交于M N两点，当坐标原点 O位于以MN为直径的圆外时，求直线I斜率的取值范围.解 由厶ABP是等腰直角

17、三角形，知a= 2, B(2,0),> 3>64设 Q(xo, yo)，由 PQ = 2 QB，得 Xo= 5， yo= 5， 代入椭圆方程，解得 b2= 1,2X 2椭圆E的方程为丁 + y = 1.4(2)由题意可知，直线I的斜率存在，设方程为 y = kx 2, Mxi, yi) , Nx2, y",y = kx 2,2 2 2由 x 2消去 y，得(1 + 4k)x 16kx +12= 0,4 + y =1小16k12贝U X1+ X2=2, X1X2=2.1 + 4k1 + 4k由直线I与E有两个不同的交点，得A > 0,2 2则(16k) 4x 12X

18、(1 + 4k) > 0,2 3解得k2> .4由坐标原点 O位于以MN为直径的圆外，> >贝U OM - ON>0, 即卩 X1X2 + y1y2>0,则 X1X2 + yw = X1X2 + (kx1 2)( kx2 2)2=(1 + k )X1X2 2k(X1 + X2) + 421216k=(1 + k2) 2 2k 2+ 4>0,1 + 4k1 + 4k解得k2v 4.32联立可知-< k < 4,解得 _23< k< 2 或2< k< -3,故直线I斜率的取值范围为2, -2 U -2, 2 .题后悟通范

19、围问题的解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系, 其方法有：(1) 利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围，(如本例)；(2) 利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3) 利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；(4) 利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围;(5) 利用函数值域的求法，确定所求范围; 利用已知，将条件转化为 n个不等关系，从而求出参数的范围 (如本例).应用体验2X 24.已知A, B分别为曲线C： r+ y = 1(y >0, a> 0)与x轴的左、右两个交点

20、，直线Ia过点B且与x轴垂直，M为I上位于x轴上方的一点，连接 AM交曲线C于点T.(1) 若曲线c为半圆，点t为Ab的三等分点，试求出点 m的坐标.4(2) 若a> 1, SA尸2，当 TAB的最大面积为3时，求椭圆的离心率的取值范围.3解：当曲线C为半圆时，得a= 1.由点T为Ab的三等分点，得/ BOT= 60°或120°当/ BOT= 60°时，/ MAB= 30° 又 | AB = 2,故厶 MAB,有 | MB T AB tan 302.、3 3，所以M1,手3当/ BOT= 120。时，同理可求得点 M坐标为(1,2 . 设直线AM的

21、方程为y= k(x + a)，贝U k> 0, | MB = 2ka,1 1联立1尸 a2 x+a ,2a2x 2“孑+y=1,解得yT= a才,所以&2 a 2ka = 2，所以k=孑，所以解得21v aw 2,所以椭圆的离心率 e=112<a12a& TAB= 2 2 a _ 2a 4 a2 + 1 = a2 + 1W 3即椭圆的离心率的取值范围为0,考法策略(五)确定直线寻定点2 2典例(2017全国卷I )已知椭圆C：右 + 春=1(a>b>0) ，四点 R(1,1) , R(0, 1),P3 1 工,F4 12-2中恰有三点在椭圆C 上.(1)

22、求C的方程;(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A, B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：I过定点.解(1)由于P3, P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆 C经过P3, P4两点.，椭圆C不经过点P1,又由g +所以点P2在椭圆C上1解得2=4,b2= 1.b2= 1, 因此13-2+ 2= 1 , a4bx 2故椭圆C的方程为7+y2=1. 证明：设直线 P2A与直线P2B的斜率分别为k1, k2.如果I与x轴垂直，设I : x = t，由题设知t丰0,且| 11<2，可得A, B的坐标分别为4 t2 24 t2+ 22t = 1，得t = 2,不符合题设.从而可设

23、 I : y= kx +1).2X 2将y = kx + m代入4 + y = 1得2 2 2(4 k + 1)x + 8km好 4m 4 = 0.由题设可知 = 16(4 k m+ 1)>0.设 A(x1, y" , B(x2, y2),2山8 km4m 4贝y X1+x2 =, X1X2= 9 .4k + 14k + 1y1 1y2 1而 k 1 + k2 =+X1X2kxi+ m- 1 kx2 + m- 1 +XiX22kxiX2 +m- 1xi+ X2X1X2由题设ki + k2= 1,故(2 k+ 1) X1X2 + (m-1)( X1 + X2) = 0.即(2k+

24、 1) 24m-44k +1卜(m-1) 8 km4k2+ 1=0.解得 m= 2k 1.当且仅当 m> 1 时，A >0,于是 I : y= kX 2k 1 = k(X- 2) 1, 所以I过定点(2 , 1).刑用址鳖求宜热摇方程犠騰意条件设岀相关的畚載如设出直蜒的题后悟通直线过定点问题的解题模型紙"肖蜒勺卿输曲慢剧用根可系數的关贏. 瑕出Jfe点的唯标判析电点的芈心満足所丈的点址果方穏.即 可证出肖线经过谀定点应用体验5. (2018 贵阳摸底考试)过抛物线C: y2= 4x的焦点F且斜率为k的直线I交抛物线C于A B两点，且| AE| = 8.(1) 求I的方程；

25、(2) 若A关于x轴的对称点为 D,求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标.解：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y= k(x 1)，代入抛物线方程 y22 222=4x 得 k x (2 k + 4) x+ k = 0,由题意知 k丰0,且 A = ( 2 k + 4) 4k k = 16(k + 1) >0,设 A(X1, yd , B(x2, y2),X1 + X2 =2k2+ 4X1X2= 1 ,由抛物线的定义知|AB = X1 + X2+ 2 = 8,22k + 4.2 ,卄.= 6 ,二 k = 1，即 k =± 1,直线l的方程为y =±

26、(x 1),即 x y 1 = 0 或 x + y 1= 0. 证明：由抛物线的对称性知， D点的坐标为(xi, yi),直线BD的斜率kB= Sy2 + yi_42 一y2yi y2 yi4 一 44直线BD的方程为y+ yi = y_ (x xi), y2一 yi即(y2 yi)y+ y2yi yi = 4x 4xi ,2 2/ yi = 4xi , y2= 4X2 , XiX2 = i, (yiy2)2= 16xiX2= i6 ,即 yw = 4( yi,异号),直线 BD的方程为 4(x+1) + (yi y2)y= 0,恒过点(1,0).考法策略(六)假设存在定结论(探索性问题)2

27、2x , y典例已知椭圆C：孑+苗1(a> b> 0)的左、右焦点分别为Fi , F2 ,其离心率为2,短轴长为2 3.(i)求椭圆C的标准方程;(2)过定点M0,2)的直线I与椭圆C交于G, H两点(G在M H之间)，设直线I的斜率 k> 0,在x轴上是否存在点 P( m,0),使得以PG PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.c ia= 2，解由已知，得 b=书2 2 . 2c = a b ,解得a= 2,b= , 3,c = i,2 2所以椭圆C的标准方程为x4 + 3 = 设直线I的方程为y= kx + 2( k> 0

28、),联立y = kx + 2 ,2 2x y = i4十31消去y并整理得,(3 + 4k2)x2+ 16kx+ 4= 0，由 A >0,解得 k>设 G(xi, yi) , b(X2, y2)，贝y yi= kxi+ 2,i6ky2=kx2+2，xi + x2=4.假设存在点P(m,0)，使得以PG PH为邻边的平行四边形为菱形,则"Pg+"PH = (Xi+ X2 2m k(Xi + X2)+ 4),>GH=(X2 Xi, y2 yi) = (X2 Xi, k(X2 Xi),> > >(PG+ PH) GH= 0,2即(1 + k )( Xi + X2) + 4k 2m= 0,2 16k .所以(1 + k) 4k2+ 3 + 4k 2m= 0,解得m=2k4k2 + 33'4k + k因为k>1所以 J W RK 0，当且仅当3= 4k时等号成立，26k故存在满足题意的点 P,且m的取值范围是 厂，0 .6题后悟通探