线性代数模试题试题库

1、、填空题（每小题4分，共24分）1、若aa23a35a5ja44是五阶行列式中带正号的一项，则2、3、4、5、6、令 i 1, j 2,(12354)(13524) 1 3 4,若将n阶行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式即行列式D的每一行都有一个（-1）的公因子，所以A2取正号。D ,则 D=( 1)nDD= ( 1)nD,则 A1001 100,A331 ,L可得设A为5阶方阵,5,则 5A5n由矩阵的行列式运算法则可知：5A 5n A由已知条件:而：A E设三阶方阵A5nAATAATE且A 0,则A EAAT0.可逆，则行列式不等于零:二、单项选择题7、设ana12a 21a 22a

2、 31 a 32A.AATA ATA2A EAT可逆,（每小题4分，共24分）a13a23a331,1,Al A E0。x, y应满足条件3x 2y 。M 0，则行列式B. 2MC.2 (3x 2y) 03x2y2MD. 8M2a112a122a132 3a11a12a13a11a12a132a312a322a33a31a32a338 ( 1)a21a22a232a212a222a23a21a22a23a31a32a338M由于Dn0的必要条件是D 。8、设n阶行列式Dn,则A Dn中有两行（或列）元素对应成比例B . Dn中有行（或列）.主人4圣儿案至为令c. Dn中各列元素之和为零D .以

3、Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意同阶方阵 AB，下列说法正确的是C 。A. (AB)1 A 1B 1 B.B c. (AB)TBTATD. AB BA10、设 A,B为同阶可逆矩阵,0为数，则下列命题中不正确的是A. (A1)1 A B. ( A) 1A 1 C.(AB) 1 B 1A 1D.(AT) 1 (A1)T由运算法则，就有（A） 11A1。11、设A为n阶方阵，且A a0,则AA. a因为AAA1AnA1An1。112、矩阵 31的秩为2,A. 2 B. 3C.4通过初等变换，由秩为2可得:、计算题（每小题7分，共42分）41113 11 15 21 4 2 59

4、1913、计算行列式:解:41111411114114、计算行列式:解:15、问解:0=1114各列加到 第一列上a10b4先按第一行展开,a2b3b2a37777a2 b30141111411114!=>= 71111141111411114第一行乘-1 加到各行上1000130010301003=73。3 =189b2a30a4再按第三行展开,有:=aia2b3b2a3a4取何值时，齐次线性方程组(12x1b1a2t3b2a3(a1a4bb4)(a2ab2t3)。b4)X1(3X22x2)X2(14x3X3 )X300有非零解。齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零:=0r2 23

5、1 (1 )34 (1)21+20, 22, 316、设矩阵01，B，计算B2A2(B 1A)解：因为A2, B7 ,所以都可逆，有B2 A2(B 1A) 1 B2 A2A1B B2 AB (B A)B0101117、解矩阵方程AX解:AX B(AE)X18、设 A四、19、解:证明题20、(AE)2. 32. 31 31 31： 313(A,利用分块矩阵计算A1。A2E) 1B,(AE)1B0A2 1（每小题共10分）设n阶方阵A满足A证明:因为从而若矩阵矩阵。证明:0131302313A(13132 3130,证明矩阵A可逆,并写出A逆矩阵的表达式。A33A23A EA(A23A 3E)

6、E ,A2 3A3E)A,则称矩阵 A为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩设A为n阶反对称矩阵，n为奇数，则AATAT(1)n ATA 0,所以A不可逆，即A不是满秩矩阵。1、2、第二套线性代数模拟试题解答、填空题（每小题4分，共24分）A为3阶方阵，且A2. A是A的伴随矩阵,则4A1A*-4 o3、4、5、因为：A A A1 2A1A为5X3矩阵，秩（A）=3, B因为B可逆，AB相当于对1, 2,如果14A1 A114A1 2A112A18A14。1 0 2020 ，则秩（AB尸 3。A作列初等变换，不改变 A的秩。3均为4维列向量，A （4，则 A B =40。2,2 1,2

7、 2,22, 1, 2,n元非齐次线性方程组<n 时有无穷多解。3)3)AX1, 1 ,A B |(1 , 1, 2, 3B有解,非齐次线性方程组有解的定义。6、设四元方程组 AX B的3个解是2, 3)， B (2,2 1,2 2,22, 1, 2, 3t 4。R(A) r ,则当2, 1, 2 , 3)，3)o8(1 4) 40n 时有唯一解;13。其中11 , 215R(A)11°1103 ,则方程组AX B的通解是 1k2321012101t 1220t 600因为R(A)3 ,所以AX 0的基础解系含4-3=1个解向量;都是AX0的解，相加也是AX0的解,从而可得AX

8、0的一个解为:于是AXB的通解为:二、单项选择题（每小题4分，共24分)7、对行列式做 D种变换不改变行列式的值。A.互换两行B.非零数乘某一行C.某行某列互换D.非零数乘某一行加到另外一行8、n阶方阵A,B,C满足ABCE ,其中E为单位矩阵,则必有A. ACB E B. CBA EC. BAC E D. BCA E矩阵乘法不满足变换律，而D 中 ABC EA 1ABCA A 1EA BCA E。9、矩阵 302 的秩为2,贝U t= DA. 3 B. 4C.5通过初等变换,1由秩为 2可得：310、若方阵An n不可逆，则 A的列向量中C 。A.必有一个向量为零向量B.必有二个向量对应分量

9、成比例C.必有一个向量是其余向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合方阵Ann不可逆，则 A的列向量线性相关，由定义可得。11、若r维向量组1, 2m线性相关，为任一 r维向量，则 A 。A. 1，2 m，线性相关B.1, 2 m,线性无关C. 1 , 2 m，线性相关性不定D. 1 , 2m中一'定有零向量由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵A45有一个3阶子式为0,则 CA.秩（A）W2 B. 秩（A）W3 C.秩（A）W4 D.秩（A）W5由矩阵秩的性质可知：R A4 5min4, 5,而有一个3阶子式为0,不排除4阶子式不为0。三

10、、计算题（每小题7分，共42分）10013、计算行列式b101c101 da 11 b解：01001 ab1 abb10ada 010c 11 d1 ab a01c101 d1 ab a ad1 c 1 cd01011 cd（1 ab）（1 cd） ad abcd ab cd ad 114、设 A 0AYBY。解：y A1CB15、已知三阶方阵 AA2AB计算矩阵B o|A|1,A可逆,ABA2解：B16、求矩阵3解：2的秩,并找出一个最高阶非零子式。R(A) 3,最高阶非零子式是1, 2, 52x1X2X3X417、写出方程组X12x2X3X4解:211133112722X1X22X3 X4

11、12的通解。31 11 1 212:011130 15131 021:01150 03341 0 0 32 11 21:010 32 06 3 60 0 11 2 1X1=-32X31X2 = 3, 2X3X3=- 1. 2X313. 23. 21.2(cR)1018、已知R3中的向量组3线性无关，向量组bik 2 ,b2ba1线性相关,k值。解:1匕2 b23b3四、19、3线性无关,因为b，b2，b3相关，所以证明题（每小题5分，共10分）设A,1k1 k1k2,3有非零解,故系数行列式B为n阶方阵，若 AB 0,则秩（A）秩（B）二0,0,同理，可证明k2 0，k3 0，k4 0。证明:

12、因为线性方程组Ax 0,当秩A时，基础解系为n r个,AB A（b1，b2，bn） （Ab1，Ab2，Abn） 0则有Abj 0（j 1,2，n）,即B的列均为Ax 0的解，这些列的极大线性无关组的向量个数W n r，即秩（B） n r ,从而秩（A）秩（B） n。20、如果1， 2， 3,4线性相关，但其中任意 3个向量都线性无关，证明必存在一组全不一为零的数匕*2*3*4 ,使得k1 1k2 2k3 3k4 40。证明：因为1， 2， 3,4线性相关，所以存在一组“不全为零”的数k1，k2，k3，k4,2， 3， 4使彳导兄1 k2 2k33k4 4 0，如果K 0，则k2 2 k3 3

13、k4 4 0,且由于 k2，k3，k4不全为零，所以线性无关，与题设矛盾，所以k10;第三套线性代数模拟试题解答、填空题(每小题4分，共24分)1231、已知三阶行列式D456,Aj表示它的元素aj的代数余子式，则与789aA2i bA22 CA23对应的三阶行列式为由行列式按行按列展开定理可得。 1,1 一2、AB 均为 n 阶方阵，A B 3,则1 AB 1 =(1)n。22由于:AB 1 (2)n A|B 1(1)n A| B(1)n °3、 A3 0 01 4 0 ,则(A 2E) 1 =0 0 31001 2 1 2 0 <001111001 2 00 0 11001

14、21200014、向量组 1 (1,2,3), 21因为：23(1, 2,1), 3 (2,0,5)线性 无 关。1120410。0045、设6阶方阵A的秩为5,是非齐次线T方程组 Ax b的两个不相等的解，则Ax b的通解为X k,故有上通解。由于R(A) 5 ,所以Ax 0的基础解系只含一个向量:16、已知x 1 为A23 的特征向量，则aAx x21211115a3112aa31b2111bb0O二、单项选择题（每小题24分)a12a13a21a22a237、 Aa21a22a23,Bana12a13，PP2A.AP1P2a32a33a31a11a32a12a33a13B B . AP2

15、R BRP2A对A作行变换，先作P2,将第一行加到第三行上,再作P1,交换一二行。8、n元齐次线性方程组 AX 0有非零解的充分必要条件是A. R(A) n B . R(A) n C . R(A) n D.R(A) n齐次线性方程组AX0有非零解的定理。9、已知m n矩阵A的秩为n1， 1,2是齐次线性方程组AX 0的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX0的通解为D 。A. k 1 B . k 2 C. k( 12) D . k(基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是B 。A.秩(人)=秩(8) B. A=B C. AD.A

16、与B有相同的特征值相似不是相等。11、若n阶方阵A的两个不同的特征值1,2所对应的特征向量分别是x1和x2,则B。A. x1和x2线性相关B.X1和x2线性无关C. x1和x2正交 D.X1和x2的内积等于零特征值，特征向量的定理保证。12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是 A与对角矩阵相似的C 条件。A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7分，共42分)2 0113、设A与B均为3阶方阵，E为3阶单位矩阵，AB E A2 B,且A 0 2 01 01求B。解：因为 AB+E=A+B (A E)B (A E)

17、(A E)2101021010111010 10, A E 1 , A E 可逆1003 01所以B A E 0 301 0214、k满足什么条件时，方程组x1 x2 2x3kx1 2x2 kx3 k2有唯一解，无解，有无穷多解? 22x x? k x3 0解:1 1 21 2 k22 1 k2k1k2 00012 k 121 k 2 k2k 021 k2 4 2k 0121 k 20 (k 2)(k 3)kk2kk(k 3)当k 2且k3时，方程组有惟一解。当k2时方程组无解。当k(k 3) 0时方程组r(A)r(B),当 k这时方程组只有零解。1当k 3时，1236这时方程组有无0穷多解。

18、15、向量组 1(1,3,2，0)t，(7,0,14,3) T,(2,1,0,1)T,(5,1,6,2)T,5(2, 1,4,1)T , (1)计算该向量组的秩,(2)写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：R( 1,2, 3,4,5)3,1,2,3为一个极大无关组,16、设矩阵A解：| A 3E|117、计算矩阵4解：|A E|的一个特征值为3,8 (2y)0 ， y 2.的特征值与特征向量。(2)(3) 4(2)(1)2，102所以得：特征值121 ,解方程组 A E X 0,只得一个对应特征向量为:1, 2,1 T；解方程组A 2E X0 ,可得特征向量为0,0,1

19、T 。18、当t为何值时,f (X1,X2,X3)2X14x22tx1X22X1 X34X2X3为正定二次型?解：f0；t20;t4 t2123t2(2t)22(2t)(1t)解不等式:t2(2 t)(1t)四、证明题（每小题5分,共10分）19、设向量b能由3这三个向量线性表示且表达式唯一,证明:向量组性无关。证明：（反证法）如果a1,a2, a3线性相关，则有一组不全为的系数20、设但12a2由于3a3=(1),由已知设b 1 12(11 )a1 ( 22 )a2( 33)a31， 2,3不元全为零，则 11 ,22 ,样b已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。3 3 ,结合（1 ）式得

20、(2)3必与2 , 3不同,3是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记证明不是A的特征向量。证明：假设AA A 123 A1A 2A 3又:从而:3 0,由于特征值各不相等，所以1、3线性无关,所以的、填空题。（每小题5分,在四阶行列式中,包含因子共30分）a12a13a142xa31的项是1a31a22a42a23a43a24a442、一 -4,则x项的系数为84x3、已知4是线性无关的4维向量,k11k22k3 3 k4水/2*3*4R ，则 V 是一维向量空间。4、已知阶3方阵A的3个特征值分别为1,2, 3,则A15、若x是方阵A的特征向量，那么P x是方阵p 1AP的特征向量。6、线性方程组x1x2 x3x4x5x60的基础解系含有5个解向量。二、选择题。（每小题5分，共30分）1、设A, B为n阶方阵，满足AB0,则 CA B 0。AAB0, BAB02、已知A为n阶方阵，且满足关系式A2 3A4E 0,则1 B E -A23、A为3阶可逆方阵，且各列