二项式定理复习

1、二项式定理(第一次作业)姓名： 用时： 45 分钟满分： 60 分得分:作业导航掌握二项式定理及二项展开式的性质.二项展开式具有以下特性： (1)它有 n+1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数 n； (3)( a+b)n展开式中，字母a 按降幕排列，次数由n递减到0；字母b按开幕排列，次数由0到n； (4)各项0 c1cn的系数依次为Cn、Cn、Cn . (5)公式中的a、b可以是代数式.掌握二项展开式的通项公式 Tr + i=cnan,br，r =0, 1, 2, 3,，n.一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11. (X-x)n的展开式中第r项的二项式系数是()CrCr

2、1A. CnB. Cnr 1C. CnD.以上都不是|a j x2. (& a2 )6的展开式中的第三项是()2206x_八 -33A. aB. - a15C. xD.以上都不是3. （2 ,x+五）6的展开式中的第三项系数是（）32A. C6B. C6C. 240D. 1604 .把（x-1） 9按x的降幕排列，系数最大的项是（）A.第四项和第五项B.第五项C.第五项和第六项D.第六项5 . nCN*,二项式（a+b）2n的展开式中各项系数的最大值一定是（）A.奇数B.偶数C.不一定是整数D.是整数，但奇偶与n的取值有关二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. （mHn

3、） 7展开式中，共有 项，字母 m的指数由 逐项减至,字母 n的指数由逐项增至,字母 m和n的指数和为.2. 展开（a+b）4为 2它的通项公式是 :_x3. （1- 2）10的展开式中的第五项是 .4. （1-3 x）6的展开式中含x5项的系数是.1_5. （“x 23&）12的展开式中第r + 1项是三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）“21 .求（33Jx）10的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数,第4项.12 .求（x 5.证明：20(1 + n )n<3.+ 247）10的展开式中的常数项.3 .求（*1一0x）9展开式中的有理项.14 .若（x+

4、 x-2） n的展开式的常数项为-n.、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. C 2. C 3. C 4. A 5. B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.8 7 0 0 7 7 01234r ,2. C4a + C4a b+ C4a b + C4ab + C4b Tr+1= C4a rbr（r =0, 1, 2, 3,4）10514 2r3. 8 x4 4. -1458 5. T+1=（- 2 ） rC；2 x 寸（r = 0, 1, 2,，12）三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）Tr + 1=C；0（3 x）10-r21 .解：(3 Ji-3

5、Jx)10的展开式的通项是:2（-3'x）r（r=0, 1, 2,，10）.3(1)展开式的第4项的二项式系数为：C10=1(2)展开式的第4项的系723数为：C10 3 (- 3 ) =-777601 f(3)展开式的第 4 项为：-77760( 0x)7x3 =-77760 Vx12 .解：设第r+1项为常数项，则Tr + 1=C；0(x2)10-r( 2，工),520-rr=0, 1, 2,，10Cr x 2（-）"=C10212.T9=Go( 2 )= 256 .3.解：设第r+1项为有理项，则27 _r rr -Tr + 1= C9( <x)9-r(- Vx)

6、:(-1) rC9 X 627 -r3-r令 6 CZ,即 4+ 6 Z,且 r=0, 1, 2,，9r=3 或 r = 9.27 -r -3， 当 r=3 时， 6=4, 丁4=(-1) C9x=-84x27 -r当 r=9 时， 6=3,0=(-1) 9c9x3 = -x3(、&-队)9展开式中的有理项是：第四项-84x4,第十项-x34.解：由题意可知，xw011(1)当 x>0 时，(x+ x-2) n=( Vx- Vx)2n1其通项公式为：Tr+1=C2n(爪)加(-4) r -二(-1) rC2n ( ', x)2n-2r令 2n-2 r = 0,得 n=r,

7、n展开式的常数项为(-1) nC2n(2)当 x<0 时，(x+ x-2)-x二(1-x)2n同理可知，展开式的常数项为：（-1） nCnnn无论哪一种情况都有常数项为：（1） nC2n令(-1) nC2n=-n=1, 3, 5,逐个彳t入，得 n = 35.证明：当n=1时，（1 +1）1 = 2,不等式成立.1J 2 22 n>1 时，(1 + n )n= 1+ Cn n + Cn n2 +> 1+ 1+ Cn n2>2.2<(1 + n )nk1 n(n -1) (n -k 1)1 nk T T 一又= Cn n =k!- n < k!nk 一 k!1

8、1(1 + n)n=1 + Cn n +C211111Fn Fn + Cn n <2+ 2! + 3! + + n!1 111<2+ 2 22 + 2n，=2+1- 2n<3.12<(1 + n )n<3.二项式定理（第二次作业）姓名： 用时： 45 分钟满分： 60 分得分:作业导航能区别系数与二项式系数，掌握二项式系数性质.Cn（r=0, 1, 2,，n）叫做二项式系数，这是一组仅与二项式的次数 n有关的n+1个组合数，而与 a、b无关.二项式系数有三条性质：（1）对称性；（2）增减性；（3）二项式系数之 和.一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9、1.二项式（a+b）9的展开式中（a>0, b>0）系数最大的项是（）A.第六项B.第五项C.第五项和第六项D.以上都不对2. （1-x）11的展开式中含x的奇次方的项的系数和是（）A. 1024B. -1024C. -1025D. 10233. （1+a）n的展开式中的第5项、第6项、第7项的系数成等差数列，则n 的值为（）A. 7B. 14C. 7和14D.以上都不对4. （1-2 x） 5的展开式中的第二项小于第一项而不小于第三项，则 x的取值 范围是（）1 1A. x>- 10B. x>- 4C. - 4 <x<0D. - 10 <x<0

10、15.将(| x| + |x|-2) 3展开，其中值为常数的各项之和等于()A. -8B. -12C. -D.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11. (2x+ x2 )8的展开式中的中间项是 .12. (x-3、仅)5展开式中的第三项的二项式系数为 ,第三项的系数 为.13. (2x3-1)5展开式中的常数项是 .4. 若(1 +x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，则n=.00n C1Onkon-kn5. 设 n 是正整数，则 Cn3 Cn3 + + (-1) Cn3 + + (-1) Cn =三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)0a1RR八2.化简

11、：C8(tan 0 + cot 6) + C8 (tan 0 + cot 0) + C8 (tan 8 + cot 日)十C8 (tan 26 +cot 26).1612.已知(a2+ 1)n展开式中的各项系数之和等于(5x2+队)5展开式的常数项, 而(a2+ 1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54,求a的值.123 n+ + + 3 .求(x x2 x3xn )(1 +刈”展开后经合并得到的常数项.4 . ( Vx+2)2n+1的展开式中，含x的整数次幕的各项系数之和是多少？15 .是否存在常数a、b、c,使得等式1 22 + 2 32+n(n+1)2= 12n(n + 1)( an2

12、 + bn+c)对一切正整数都成立，并证明你的结论.一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. C 2. B 3. C 4. D 5. C二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1120104n1. x2. 10 9 3. -40 4. 8 5. 2三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)0aaTnn八2/1 .解：C8 (tan e + cot 6) + C8 (tan 0 + cot 0) + C8 (tan 0 + cot 6 ) +32 .2 .、C8 (tan e + cot e). 23.5. 3 ,=C8tan日 + C8tanc

13、 cote + C8 tan 9 cot e+ C8 tan ecot e+_ 44 .4 .4 .C8tan 日 cot 日 十56784C8 tan 日 cot 6 + C8 tan c cot 日 + C8 tan c cot 日 + C8 cot - - C88 c4二(tan 6 + cot 6) - C81=sin81cos8 1 - C4=sin82u -701612.解：(5 x2 + 、. x )5展开式的通项为：r 161Tr + 1= C5( 5 x2)5-r( x)r1620 -5r=C5( 5 )5-rx 2由 r = 0,得 r = 416 4 常数项为丁5= C5

14、 5 =16又(a2 + 1)n展开式中的各项系数之和等于 2n.2n=16n = 4.由二项式系数的性质知，（a2+ 1）%勺展开式中系数最大的项是中间项,C2(a2)54,解得 a=± J33.解:n 十 nX)(1 +x)n2+2 xk .+一 +一kn .x x )(Cnc1ck k Cn+ Cnx + -+ Cnx +-+ Cnx要得到常数项,只要将第一个多项式中的kkx项,与第二个多项式中的Cnxk项相乘，再把各乘积项相加.1-Y常数项为x Cnx +Ck k一Cnx +-+ xn Cn nCnxCn +2Cn + kCncn+ -+ nCnC1n2k+ 2 2 , n+

15、2,k, nc0c1-Cn + 2 Cn + 2 C2Ck2 , n + , , + 2 , k , n + 2.Cn、n - Cn)+ (n+0)CO，)(O + n) Cn+(1+n-1)*八1八2Cn + (2 + n-2) Cn + - + (k+n-k)CkCn +二 Co2 (nCnnCo2 ( Cnnn22n2n-1C1+ nCnC2+ nCn +- +CkCn、nCn + nCn)C1+ Cn +2knCn + Cn + Cn)4 .解：展开式的通项公式是：Tr+1 = Cr2n+1X2n 1.r 2rX的幕指数要为整数，r需为奇数,所以，含X的整数次幕的各项系数之和是1C33

16、c55 C2n 1C2n+1 2+ C2n4- 23+ C2n4 25+-+ C2n用c2n+ 1-2(1 +2)2n+1C0C1C22 C33=C2n4+ C2n4 2+C2n4 2 + C2n+ 2 +. 十2n 1C2 n 12n+ 1 2 d(1-2) 2n+= C2nse2n42+C2n书- 22-C2n书- 23+ -C 2n T2n+ 1 小2n卡 2 1八3八5八2n -1-、2n+1-、2n+1z C_M _ C _M _3Cw _5C_ M2n+1、(1+2)-(1-2)=2(C2n4 2+C2n书. 2 + C2n书 2+.+ C2n书. 2 )N7-52n 1一C2n+

17、 - 2+C2n+ - 23+ C2n+ - 25+ C2n4 22n+= 2 (32n1+1)含x的整数次幕的各项系数之和是2 (32n + 1+ 1).5.解：:n(n+1)2= n(n+1) (n + 2)-1 = n(n+ 1)( n+2)- n(n+1)= 6C3 七2C2 书根据组合数的性质，原式左边=1 - 22+ 2 - 32+n(n+1)2=(6 C3 -2 C2) + (6 C3 -2 c3) + + (6 C晨-2C")= 6(C3 + C4 + + Cn42)-2( C2 + C3 + + 8巧= 6C4 3 -2C： 2C. 6项D. 7项1=12 n(n+

18、 1)(3 n2+ 11n+ 10)1原式右边=12 n(n+1)( an2+bn+c)比较左、右两式知，存在常数 a=3, b= 11, c=10,满足题设要求.二项式定理(第三次作业)姓名： 用时： 45 分钟满分： 60 分得分:作业导航利用二项式定理及特殊值，求展开式系数的和，利用二项展开式求解多项 式展开问题.一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1 .设(1 + x) (1-2 x) = ao+ ax+ &x + + ax ,则 a0+ a + a2 + + a1 年 于()A. -65B. -64C. -63D. -623 2x - 12.在(，2)开式中，系

19、数是有理数的项的项数是()A. 4项B. 5项3. (a+b+ i)10的展开式中含ab的项的系数是()A.C10B.CioC.C2oDC3o4.对3. 0026作近似计算，精确到千分位，则该位上的数字是 ()A.1B.2C.3D.45. 101尾数连续的零的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1. (1 +”反厂的展开式的系数的和大于 8而小于32,则系数最大的项是2. 在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若 实数a> 1,那么a=3. (1 +x)+(1 +x)2 + (1+x)3+

20、(1 +x)n的展开式中含 x2项的系数是1 2 n4,若< Cn Cn Cn <3000,贝U n =.5. 5353除以11,余数是.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1 .求4X6n+5n+1除以数.2 .已知 ao , a1 , a2 ,a3 ,，an-1 ,an成等差数列，求证C0a0 +C；a1 +C2a2 + +C产a+ Cnan =（我十加2 n-1.3 .求(1+2x)12展开式中系数最大的项.4 .数列an的通项an是二项式(1+x)n与(1 + Jx)2n的展开式中所有x的次 数相同的各项系数的和，试求 an的前n项和Sn.5 .已知I、mi

21、n是正整数，且1 <i &mKn. i i i i(1)证明 n Am < mAn ；(2)证明(1 +m n>(1 +n)m.一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. A 2. A 3. C 4. A 5. C二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.10 n(n -1)(n 1)1. 6x 2. 1+ 53.64. 11 5. 8三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1.解：V 4X6n+ 5n+1 = 4X6n+5X5n5+ Cn) +5X ( Cn 4n+ CW1 +=4X （5 + 1）n + 5X（4 + 1）na /

22、C0 zC1 C2 icnJ= 4X(Cn5 + Cn5 + Cn 5 + CnC2 2cn_lcnCn4- + Cn 4+ Cn)C：4012=4X ( Cn5n+ Cn5"1 + Cn 5n-2+ . 十n2 n n + Cn 4) +5X Cnn 1n01Cn 5) + 4X Cn +5X( Cn4n+ Cn4n, +C0n-1C1n-2 C2 n-3Cn 1 C0 n-1C1n-2 C2n-3CnJ= Cn5 +Cn5 +Cn5 + + Cn ) + Cn4 +Cn4 +Cn4 + + Cn ) + 90 0.1 1_2 2_n n 1/*"0/1, 1c2. 2二

23、 (Cn5 +Cn5 +Cn5 +.+ Cn )+( Cn 4n1 + Cn 4n2 + Cn 4n3 十 十 n 1Cn ) +94*6“ + 5叱1除以数为9.2 .证明：'''a。，a1，a2,a3,，an-1,an成等差数列，设 an=a0+nd, d 是公差，nCN,则，CnCnanC0, c1, c2, Cn,Cna°+Cna1+Cna2+ Cn an-1 +0 1 2 n -=Cna°+Cn(a°+d) + Cn (a° + 2d)+Cna°+ (n-1) d +nd)cn,Cn(a0+0 1 2 n- n

24、二 (Cna0+Cna0+Cna0+ +Cn a°+Cna°) + n - nCn (n-1) d+ Cn ndCn0d+ Cnd+ Cn2d+1012n _1n=a°(Cn + Cn + Cn + Cn + Cn) + 2n 1nC0 .C1 .C2 .2Cn0d + 2Cnd + 2Cn2d+- +=a02n+2 口Cn)( n-1) d+( Cn0 n 1Cn + Cn)0d+ ( Cn c0+ Cn)ndCn+ Cn )d+(2n-2njCn + Cn )2d+ - + ( Cn +n0= a02 + 2 (0 d+nd) Cnn 1(n-1) d + d Cn+ (nd+0d)+ d+(n-1) d CnCn Cn2+ 2d+(n-2) d Cn +- +=a02n+ 2 nd(C0 + Cn + C2+C+Cn)2Cn (n-1) d + 2Cnnd=a02n+ 2 nd2n= (2 a°+ nd)2 n-1=(aO+ a0+ nd)2 = (a0+ an)2