(有答案)浙江大学-常微分春

1、浙江大学2007 - 2008学年春学期重修考试常微分方程课程试卷开课学院：理学院 ，考试形式：闭卷，考试时间：4月12日,所需时间：120分钟考生姓名：_学号： 专业： 任课教师： 题序-一-二三总分得分签名(每题7分，共42分)求解下列方程:21. y = 2xex J ； y(1) =1(ey)F)'yx2e e cc =02y 二 x2. y y = x ；dx1dxxxxxy 二 e C xe dx c)二 e (xe -e c)二 ce x _ 13. f(x) = : f&dt e2x ；3x2f (x) = 3 o f (x)dx e2xf '(x) =

2、3f (x) 2e2x, f (0) =1 f '(x) -3f(x) =2e2x, f (0) =1 舟=3, f (x)u-2e2xf (x)二 c1e3x -2e2xc1 =3f (x) =3e3x -2e2x4.虬 tgy dx sin y -xdx sin y - xdytan ydxxcosydy tan y(tady诰dyx = e ( cos ye dy c)siny . c2 sin y.ln(sin y) /ln(sin y)1x = e ( cos ye dy c)=旳(cos ys in ydy c)25. (2xy-cosx)dx (x -1)dy=O;22x

3、ycosx (x -1)y 02(x _1)y二 cosx2(x -1)y 二 sin x csin x c(xy -2y y = cosx ； -1)226. yy'-(y) =y"yy(1)= V )yyJ(y')2y, 2 y =y1y =c xc =22 x（每题7分，共42分）求解线性方程:1. y 2y 5y = 0 ；225 =0=一1 =2iy =e(c1cos2x c2sin 2x) 2一2$、仁 0xy = (cl c2x)eyt1 . sin x2xy =(c1 c2x)e1 . sin x23. y -3y 2y =xe2x；2-3 亠 2 =

4、 0 = 1/ =2yu 二 c1ex c2e2x122xyt =(尹-x)e论泊(夕-卅4. x2y - xy 2y = 0 ；y = u , x2“5小x u u = 0 4u =、x(c1xi c2x_L).1 +丄 _1 -Ly = c1x c2x我太弱了，居然忘了这个可以这么做，悲剧啊，不过两种方法的解是一样的!tx =edy dyxdx dt2 2x2 d y d y dydx2dt2dt与-2鱼2厂0 dt2 dt-2止八2= 0 =1 _iy = d (c1cost c2sin t)y=x(c1cosln x c2sin In x)5.2 $、- 仁 0=1y = (c1 c2

5、x)exxyt =ueyt'=(u)ex,yt2u' u)ex3u ” = x 2 ,u - 4、xy - -4ex . xy = (cl c2x)ex -4ex . xy(1) =0,y(1)=1.6.xy'' (x 2)y'1 -2x y =1, u =xyu' =xy' y, u” =xy” 2y' u'' u' 2u =1u =c1ex c2e2x121/Ax_2x1y (c1e c2e )x2,2 c e2 c1 ,c2 二3e61/2 (x4)1 J2(xJ)y(eex 36（16分）求解方程组

6、ddt'40_tx = 4x yy' =x 4y e丄yx'x”_4x' =x 4x'_16x eJ x''8x' 15x=e2815=0=3,，=5人 =c1e3tc2e5t3t5t 1 _tx = c1e c2e e243t5t 5-ty = -c1e c2e e24浙江大学2007 - 2008学年秋学期重修考试常微分方程课程试卷开课学院：理学院 ，考试形式：闭卷，考试时间:所需时间:120分钟dy.y 1=2xdx厂（x1 2 c）2考生姓名：_ 一 学号:_ 一 专业：_ 一题序-一-二三总分得分签名四.（每题7分，共4

7、2分）求解下列方程:y'yx匕代1)(xe2xdx c)=(22x xee2x c)23. y 1 = (2x 1)ex2(y' 1)ey =(2x - 1)exx2u' u =(2x 1)e|.1dxx2 1dxx2，x x2 ，xx2u =e ( (2x 1)e e dx c) = e ( (2x 1)e dx c) = e (e c) = e cey 二 ln(ex2ce)4. xy 二 y(1 In y - In x);u = I n yxu' =1 u -1n x,11 -In xu u 二x x1dx 1lnx 一：血1 lnxu = e (e dx

8、 c) = x( 2 dx c) = I n x exxL xIn x -cxcxy 二 e xe5. (2xy2 2xy cosx)dx (2x2y x22)dy 二 0;2 2 2d(x y x y-2y)二-cosxdx2 2 2x y x y - 2y - -sinx c x2y2 (x2 _2)y 二 c _ sin x2-x2 二.(x2 -2)2 -4x2(sinx-c)6. yy”-(y)2 =12xy2y(1) = y, '(1).yy-(y')2= 12x(/)' =12x yy 26x c yc = 5(In y)' =6x2 -52x3

9、_5xy =ce3c =e2x3 _5x书y = e五（每题7分，共42分）求解线性方程:1. y -2y 4y = 0 ；2 -2 '4 =0二仁、3iy =ex（c1cos 3x c2sin、3x）2. y _4y -5y =5sin x；2 _4，_5=o=-1, =5. x5xyu = c1e c2e5 3yt( sin x- cosx)5x 5 3y =c1e c2e ( sin x-cosx)13 23. y -5y 6y =e3x ；2 _56=0 - 2, 1 - 3 yu 二 c1e2x c2e3x3xyt =xe2x3x3xy = c1e c2e xe4. x y

10、4xy 2y =0 ；u =xy二 xy y,u” 二 xy” 2yxu'' 2u' =0 u'' 2u' =0 uc2cl c2 y 2x x5已知 =3, y2 = 3 x, y3 = 3 ex是二阶线性非齐次方程的解，求方程的通解及该 方程y'' p(x)y' q(x)y = f (x)3q(x) = f (x)-p(x) +(3+x)q(x) = f (x)E 十 p(x)ex +(3+ex)q(x) = f (x)P(x)二x1 -xy(x)=1x-1f(x)二3x1(x -1)y”-xy' y =3 y

11、 = 3 clx c2ex另解：通解 y=k1y1+k2y2+(1-k1-k2)y3=3+k2x+(1-k1-k2)ex记c仁k2,c2=1-k1-k2,于是有通解y=3+c1x+c2eAx，方程略6.求方程 y”-y=|x1|在-2,2上满足 y(0)=0，y (0) =1 的解.T恳 y=y NX 主 y "CCDX +C2ek (X±)3 2 2y H exeR (X 主)2 2y (1) He e y- (1) He匕十 e12 2 2 272 丄yry H (X +1)y "CCDX +C2ea +(x +_k)3 ytTy+(THe3 L cl H eb2 He1 3 1-MTlzTYL+T3 x 1 XyA3e)e;(es)e¥(x+)7be)ex +(eL l)eL +(x+l)2 2y H亠3x lx 、卜2e e (X-M)azww n 2?=yJ 3x = 3x 2y yx 2y ety、1x2'