人教版八年数学上册竞赛专题：分式的化简与求值(含答案)

1、人教版八年数学上册竞赛专题：分式的化简与求值(含答案)3 2a例1已知a -3a+1=0,则代数式 F一的值为a6 1(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：目前不能求出a的值，但可以求出 a + =3, a【例 2】已知一列数 a1,a2, a3,a4,a5, a6,a7，且 a1 =8, a7a1a2a3a4a5a6，贝U a§ 为（）a?a3a4a§a6a?A. 648B. 832C. 1168D. 1,需要对所求代数式变形含“ a + -a=5832 ,1344(五城市联赛试题)解题思路：引入参数k,把a7用k的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路.【例 3】x+ y+

2、z = 3a(a =0).(x -a)(y a) (y a)(z a) (z a)(x a)小222(x-a) (y -a) (z - a)(宣州竞赛试题)解题思路：观察发现，所求代数式是关于x-a、y-a、z-a的代数式，而条件可以拆成 x-a y- a z-酌等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.例 4已知-xy- =1,-yz- =2,-zx- =3,求 x 的值.x y y z z x(上海市竞赛试题)解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化 为简单的形式.1 1 11.,一 【例5不等于0的三个正整数a,b,c满足一+ +-=,求

3、证：a,b,c中至少有两个互为相a b c a b c反数.解题思路：a,b,c中至少有两个互为相反数，即要证明（a+b）（b + c）（c + a） =0.（北京市竞赛试题）【例6】 已知a,b,c为正整数，满足如下两个条件： a + b + c = 32;b c - a c a - b a b - c 1+=-.求证：以ja,而,n为三边长可以构成一个直角三角形.bc ac ab 4解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答.（全国初中数学联赛试题）能力训练a -b c-da b -c d的值是（“希望杯”邀请赛试题）xx22.已知=1 ,则 4 x 2一x -3x 1 x -9x 1（广东

4、竞赛试题）2x 3xy -2y 31 14,已知二一,则一一一x -2xy - y5x y1 一 115 .如果 a+g=1,b+=1,那么 c + =().A. 16 .设有理数值为（B. 2C. 1D24(“新世纪杯”竞赛试题)111sa,b,c都不为0,且 a+b+c = 0,贝U 刀2222+-22的222222222b c -a c a -b a b -c).A.正数B.负数C.零D.不能确定7.已知 4x-3y -6z=0,x +2y-7z = 0（xyz=0）,2222x 3y 6z ,42的值为（x2 5y2 7z2A. 0B. 1C. 2xI,x3，一.8,已知 =1 ,则一

5、63飞一的值为（x - mx 1 x - m x 1D.不能确定)A. 1B.1m3 3C.123m2 -211 23m2 1a2b2c2，9 .设 a +b +c = 0 ,求一2十一2+-2的值2a bc 2b ac 2c ab一，1112 2 2.10 .已知x + = y + - = z + 其中x, y,z互不相等，求证 x y z =1 . yzx（天津市竞赛试题）5,*111111 .设 a,b,c满足 一 十一 十一=,a b c a b c1 111求证 -2n 42n J-2n 1 - 2n J. , . 2n J , 2n 4,（ n 为自然数）a b c a b c（波

6、兰竞赛试题）12 .三角形三边长分别为 a,b,c .(1)若a+且=b+c ,求证：这个三角形是等腰三角形; b c b c -a4 1111-,（2）若1 _1+1=一1，判断这个三角形的形状并证明.a b c a -b c.11111113 .已知 ax = by = cz=1,求4+4 +4 +4 +4+4 的值.1 a 1b 1 c 1 - x 1 y 1 z（“华杯赛”试题）14 .解下列方程(组)：、x 1x 8x2x7(1) +=+；x 2x 9x3x8(江苏省竞赛试题)/、5x-96 x-8 4x-19 2x -21(2) +=+x -19 x-9 x-6 x-8（“五羊杯”

7、竞赛试题）111+=一x y z 2(3)111"T =z x y 4（北京市竞赛试题）1.设 a,b,c满足 a+b+c = 0 ,a b cx=Ti 十一+ 一|a| |b| |c111111y =a(- +)+b(- +)+c(一 +-),则 x +2y +3xy =.bccaaba b b c c a (a b)(b c)(c a)2 .若abc =0,且 =，则-= cababc3 .设 a,b,c均为非零数，且 ab = 2(a+b),bc = 3(b+c),ac = 4(a+c),贝Ua + b + c=4.x已知x, y, z满足十y z222上+3=1,则上十工+3

8、的值为x z y x y z x z y x5 .设a,b,c是三个互不相同的正数，已知A. 3b =2c B. 3a =2ba -cc b=一,那 a 有().b abaC. 2b = cD. 2a=b).八 111,111.6 .如果 a*b*c = 0, *+ = 4 ,那么一2 + 2 + 2 的值为( a b ca b cA. 3B. 8C. 16D. 2022x y6x -15y4x -5xy 6y ,8 .若=-=则11 的值为(9B. 一4C. 5D. 6（全国初中数学联赛试题）3y 2x -5yxx -2xy 3y9 .已知非零实数 a,b,c满足a+b+c =0 .(1)求

9、证：a3 +b3 +c3 =3abc；a -b b -c c-a、/ c a b 、(2)求(+)(+)的值.c a b a -b b -c c -a(北京市竞赛试题)一 210.已知 a +4a +1 =0 ,42a ma 1"" 32 "-2a ma 2a=3 .求m的值.（北京市竞赛试题）11.完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的 q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x倍，求证：x = p+q +2 (pq-i#0)pq -1（天津市竞赛试题）13.某商场在一楼和二楼之间安装了

10、一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）.如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的 2倍.已知男孩走了 27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部.（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）.求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）118提示:参考答案a61 a3a 3a 例 3 油 x+y+z=3a,得(x-a ) + (y-a

11、 ) + (z-a ) =0.设 x-a=m, y-a=n , z-a=p ,则 m+n+p=0 即 p=- ( m+n .A 提示:k6a .a2 . a3 鼻.a5 . a6 a1 = 8a? a3 a 4 a§ a 6 a 7 a7 5832m 1，得k= ±-，又 3a5a1a2 a3a2 a3a4a52mn np pm _ mn p m n _ mn - m n一 12例 4 x=5提示:由已知条件知xyw0, yzw0,取倒数，得:i,xy二，即zx 2z x 1 ,zx 31 1=1,x y11+ 1y z2 2,1 11,z x3I2a11+，得12例 5

12、提示：由已知条件，得 (ab+b2 +ac+bc C+(ab+b2 + ac +bc a = b(a + b )+c(a + b )a + c) =a b b cc a =0例6由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c,或b=a+c,或c=b+a,，联立，只需证 a=16或或 b=16 或 c=16,即(a16) (b16) (c 16) = 0.展开只需证明0 = abc- 16 (ab + bc+ ac) + 162 (a+b+c) 163= abc 16 (ab+ bc+ ac) + 163 将平方、移项，有 a2+b2+c2= 3222 (ab+bc+ca),又将移项、通分，有1/ b

13、+c+a c+aba b c、0=(ff )4 bc ac ab2221/ab+ac-a,bc+ab-b ,ac bc -c 、=-(FF)4abcabcabc_222abc -8(ab bc ac) 4(a b c )4abc2abc -8(ab bc ac) 432 -2(ab bc ca)=乙s4abc把代入等式中，abc -16(ab，bc ac) 1634abc23abc - 16(ab bc ac) 16 (a b c) -16 =114abc(a -16)(b -16)(c -16) =-4abc当a16=0时，由有a=16=b+c,由勾股定理逆定理知， 以正,Jb , Jc为三

14、边长组成一个以 后为斜边的直角三角形.同理，当b=16或c= 16时，分别有b= a+c或c=b+a,均能以 J9 ,斑，Jc为三边长组成一个直角三角形.1.0 或一22.1x2-3x 1 ,一 - = 1,x+ 工=4.422又x 9x 1x2= 5，一2xx -9x 1 3.3 4. A5. C 提示：b 2+c 2-a2=- 2bc6. B11Q7. C 提示：取倒数，得 x+ =1 + m,原式的倒数=x3+ - -m3 xx38. 1 提示：2a2 + bc=2a2+b (a b)=a2 ab + a2 b2=( ab)(a+a+b) = (ab) (a c)9. 提示：由 x+ L

15、 = y+ 工，得 x-y=-,得 zy= zy zz yx i y10. 提示：参见例 5 得(a+b) (b+c) (a + c) = 011.a(b c)bcb c(b c) -ab+c) (ab+aca2bc) =0.，(b+c) (ab) (ca)=0.11+ -, a-b+c b: b+ cwqa = b或c= a.这个三角形为等腰三角形a c a c = ac (a - b c)b(a b+c) = ac,( a b) (b c) = 0, a = b b= c,，这个三角形为等腰三角形12.1x= 一, y=a1 .一 一=1, 一原式=3.113.(1)x=11x=21237

16、4(3)(x,y, z)=(23,1023,623 ，一 、.、，一,、一 ,一 ，一 一23）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数21.2., a b1或8提小：设c=k,贝k k= - 1 或 2b11283. 354.0提示：由- = 1-y z，得：l=x-xy.-xz5. A 6. Cx y7.A提示：由已知条件得x= 3y8.(1)由 a+b+c=0,得a+ b= ca3+ b3 + c3= 3ab ( a+ b) = 3abcca -b2c2一=1+工，同理:abb -cFa2a2a -bFcb -cFa上=1+次,c -a ac2 c2左边=3+2 + ab2a2b

17、c对=3 +ab3 . 33.2(a b c ) =9abc2 .9. .a +4a+1 = 0,a2+ 1 = 4a,42 .a ma 1a w 0. 322a ma 2a/、2 /c、 2(a 1)2 (m-等=3.把代入上式中,2a(a 1) ma2216a2 (m -2)a2-8a2 ma2=3,消元得16 9m-2) 曰=3,解得 m= 19.-8 m10.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则a门="二口，m分别取值，则有6m12345n21221 32162A6m=16-6n,分别取值，则有m12n104bca = p -,b c1 pa1a cabc = xa b1x ,一 cb c11T ac111解得x411. (1)设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级,27 S -27一