17-数列小结与复习

1、复习课:第二章数列（1）教学目标重点：理解数列的有关概念和性质，掌握数列求通项公式的各种方法 难点：利用各种条件来求数列的通项公式能力点：数列通项问题是数列的核心问题，培养学生的抽象思维能力 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构自主探究点：例题及变式联系的解题思路的探寻易错点：在具体的数列通项问题中，学生往往混淆an与Sn的概念学法与教具1学法：讲授法、讨论法2.教具：投影仪.、【知识梳理】1数列的基础知识；2等差数列的定义、通项公式，求和公式及性质;3等比数列的定义、通项公式，求和公式及性质;4填写表格：数列等差数列等比数列定义等差(比)中项通项公式数列的性质前n项和公式

2、前n项和的性质判断等差(比) 数列的方法三、【范例导航】1.观察法例1写出下列数列的一个通项公式(1)1,-7,13 ,-19,25，(2)(3)5 13 33 81r I，4，8，16，2 纟 1 4 2 .，.7 11 2 51,3，3，5，5，7,7,9,9,【分析】观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系【解答】(1)原数列的各项可看成数列1 ,-1,1，1,1， 与数列1,7,13,19,25， 对应项相乘的结果故原数列的一个通项公式为a( -1)n 1(6n -5).(2)原数列可改写为1 + 乙 2+2 3+2 4+乙 5+2 2。 ？12

3、222°，1，故通项公式为a n+2nJ -(3)不防把分子变成 4,然后看分母，从而有44 4 414，118, "54,从而原数列的通项公式为 n 一 17-3 n.(4)奇数项与项数相等， 偶数项比项数大1.可改写为1+0,2+1,3+0 ,+1,5+0 ,八，所以原数列的通项公式为an(-1 )n2【点评】观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键；有些数列的通项公式不一定唯一；写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如:(-1 )n川二加亠加，沪M2d等变式训练：写出下列数列的一个通项公式(1)(2),3，3, .15,、51,3 .3,(3)1 11 11

4、112 2 一3 3 一4 4 一5(4) 3,5, ,3,5, 35,2.利用an二S,心,求Sn - Sn d, n 亠 2,an例2设5为数列an /的前n项和，且Sn =3(an -1)( nN )'求数列'aj的通项公式2【分析】由an与Sn的关系消去Sn (或an),转化为an (或Sn )的递推关系求解33【解答】；Sn(an -1),.当 n =1 时，S = a1(日d),解得 a 3.223 3a当 n _2 时，a.二Sn-Sn(务-1)(an J 1),得-=3 22务所以，当n 一2时，数列 订n 是以3为公比的等比数列，且首项 a2 =3印=9.当n

5、 =1时，也成立故数列的通项公式为 an =3n(nN*).【点评】已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an二Sn-Sn(n_2).这里常常因为忽略了n 一 2的条件而出错，要注意求6=3并验证.当n = 1时的a1与3相等，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为an = ' n =1,.总-Sn,n王2,变式训练设数列:an詁勺前n项和Sn =2n2n 2,( nN*),求数列 的通项公式，并指出此数列是否为等差 数列.3叠加法、叠乘法例3已知数列：an /满足anan 3n 2,且印=2,求an.an .【分析】因为anan 3n 2,属于a. 1 = % f (n

6、)型递推公式，所以可以用叠加法求出【解答】a2 -印=3 12,a3 - a2 二 3 ； 2 2,a4 - a = 3 3 2,an a*=3 (n 1)2,以上各式相加，得an -aj =31123(n -1)1 川2(n -1)3n2 n 小2,2又 ai = 2,所以an3n2 n-2【点评】如果给出数列Can ?的递推公式为anan f (n)型时，并且:f(n)?容易求和，这里可采用叠例4在数列；£n !中，满足乩=,且a1,求an.nan【分析】属于 4 = f(n)型递推公式，所以可以用叠乘法求出aan【解答】=印里些竺-a1 a? a3345=1123n(n 1)a

7、nan 4n 1xn -12而a1 =1,也适合上式.故订n ?的通项公式为ann(n 1)【点评】如果给出数列：aj的递推公式为 空an二f (n)型时，并且 f n)1容易求积，这里可采用叠乘法4构造法例4已知数列an中，满足an十=3an+2(nN*),且a,=1,求aj的通项公式.【分析】通过观察给出的已知条件，可以发现递推公式可变形为an4r +l = 3(an +1)(n N*),转化为等比数列求解.* a * i*I解答】将“3)变形为3()(“)，即JifN)，所以数列1an 1是首项为印= 2 ,公比为3的等比数列，所以an 仁 23n,. an =23n -1.【点评】根据

8、已知条件构造一个与 an有关的新数列，通过新数列通项公式的求解，得(aj的通项公式新的数列往往是等差数列或是等比数列.四、【解法小结】an二Sn - Sn(n _ 2).注意“两步一检验” f (n)型的递推公式1观察法得到数列的通项公式要注意数列的变形以及一些特殊数列2.已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是3采用叠加法、叠乘法求数列时，需是an d -an f (n)或 口ana4.构造法求通项公式时一般是构造出一个等比或等差数列五、【布置作业】1.已知数列CaJ的前n项和Sn，且S3 2n(n N*),求数列Can 1的通项公式2.已知数列(an 满足ani二an 3n，且ai =2,求a. 3已知数列、an满足a1=2,and= 5nan,求an.2a4.已知数列:an 中，满足an 4 n且a1,求 a 1的通项公式. an +2六、【教后反思】.本教案的亮点是：首先以结构图呈现数列知识，直观简明；其次，复习相关知识并以表格的形式呈现,充分关注到数列、等差数列、等比数列的系列问题.再次，例题选择典型，关注数列的主干知识和解决数列通项公式问题