解三角形题型总结材料(原创)

1、标准文档解三角形题型总结ABC中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1.因为A+B +C = n,实用文案所以 sin(A B) =sinC, sin(A C) =sin B, sin(B C) =sin A, ABC 二因为二,22A B C 所以 sin二 cos 222 .大边对大角cos(A B) = -cosC, cos(A C) - -cosB, cos(B C) - - cos A,A B Ccos=sin, -22tan(A + B) = -tan C ； tan(A + C) = - tan B ； tan(B C) - - tan A3 .在 ABC 中，熟记并会证

2、明 tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°(3)AABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列二、正弦定理：文字:在AABC中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。符号：_a_ sin Asin B sinCc =2R公式变形：a =2Rsin A b=2Rsin B c = 2Rsin C (边转化成角)ab sin A sin B sin C2R2R2R(角转化成边) a: b :c = sin A:sin B: sinC3)sin A sin B sin C sin A=2Rsin B

3、 sin C余弦定理：文字：在 MBC中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的 余弦值的乘积的两倍。符号：a2 =b2 +c2 -2bccosAb2 = a2 c2 -2accosBc2 = a2 b2 -2abcosC.2.22b +c -a变形：cos A =2bc22,2a c -bcos B :2ac2,22a b - ccosC =2ab四、面积公式：(1) S=1aha(2) S=2(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径)(3) S =1 absinC =1 bcsin A = 1acsin B 222五、常见三角形的基本类型及解法：(1)已知两角和一边(

4、如已知 A, B,边c)解法：根据内角和求出角 C=n(A + B);a b c根据正弦te理 =2R求出其余两边 a, bsin A sin B sin C(2)已知两边和夹角(如已知 a,b,C)解法：根据余弦定理 c2 =a2 +b2 -2abcosC求出边c； ,222根据余弦定理的变形 cos A = b一c a求a ； 2bc根据内角和定理求角 B - -： -(A C).(3)已知三边(如:a,b,c)解法：根据余弦定理的变形根据余弦定理的变形222.b c -a 3 人cos A =求 A ；2bc22,2a c -bcos B =求角 B ；2ac根据内角和定理求角 C -

5、-： -(A B)(4)已知两边和其中一边对角(如： a,b,A)(注意讨论解的情况)解法1：若只求第三边，用余弦定理：c2 =a2 +b2 -2abcosC ；a b c解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理 =2R求B (可能出现一sin A sin B sin C解，两解或无解的情况，见题型一)；再根据内角和定理求角 C =U(A + B);.先看一道例题：例：在"BC中，已知b =君,。=243, B =300,求角Co (答案：C=450或1350 )六、 在AABC中，已知a,b,A,则AABC解的情况为: 法一：几何法（不建议使用）（注：表中， A为锐角时，若a<

6、b，sinA,无解；A为钝角或直角时，若 awb,无解.法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边结合 正弦定理 一起使用（见题型一）题型总结：题型一、利用正弦定理解决两边一对角”的类型模型：在AABC中，已知边a, b和角A,若不是求第三边 c,用正弦定理。例 1：在 &ABC 中，已知 a =2，c = 42，a=450,求/ c。（答案：c=300 ）例2：在MBC中，已知b =瓜。=2旧、B =30°,求/ c。（答案：C =45°或135°）. 2°a =2,b =,B -3°例3：在AABC中，已知2，求/A。（答

7、案：无解）例 4： （3）在 AABC 中，已知 a =2,b =1,B =30°,求/ a。（答案：一解）练习：1。在AABC中，已知a= J2,b=J3,B=600解三角形。3一 02 .在&ABC中，已知b= ,c = 3, C=45解二角形。20 .3 .在 AABC 中，已知 a = y13, c = 4, A = 60 斛二角形。题型二、利用正弦定理解决巳知两角一边”的类型两角一边(两角一对边，两角一夹边)模型1：在AABC中，已知角A,B和边a,解三角形。模型2：在 MBC中，已知角 A, B和边c,解三角形。用正弦定理例题：例题1：在AABC中，已知A=30&

8、#176;,B =45°,a =2解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得 C =180° (A + B) =180° 750 =105°,再根据正弦定2丝理3=上，得b = asjBn = 2 ,再根据余弦定理 sin A sin Bs iAn 1222 . . 2_ . 一c =a +b -2abcosC,得 c2 =22 +(212)2 -2 2 -2<2cos1050 =8 +4V3 = (<2+v；6)2 ,所以 c =石十Q综上：C =1050,b =2<2,c=J2 +16。例题2：在AABC中，已知B=750,C=450

9、,a=2J3解三角形。解析：根据三角形内角和定理，得A =1800 (B+C)=1800 1200 =600,再根据正弦定2 6a bas i B '/理 =, 得 b =产=J2 +、 6 , 再根据正弦 7E 理sin A sin Bs i A、. 32a c/日,倚csin Asin Cas Cs A2.322= 272。综上，A = 600,b=V2+%而c = 2F2 o练习:1在 MBC中，已知B =60°,C =15°,c = 4解三角形。2在4ABC中，已知A =45°,C =60°,b = J6解三角形。题型三、利用余弦定理解决

10、巳知两边一夹角”的类型模型：在AABC中，已知边a,b和角C ,解三角形。用余弦定理例题1：在AABC中，已知a=1, b=2,C =600解三角形。.一,，一 .、22.2_ . 一 一 2_2_2_ _ _ 1_解析：根据余弦定理 c =a +b 2abcosC,得 c =1 +2 -2,1,2，一=3, 222,212/ ® 2)2所以c=J3,再根据余弦定理，得 cosB=-一上二b- =-一" L =0, 2ac 2 1 V3又因为 00 cB <180°,所以 B =90°,再根据内角和定理，得A =1800 (B+C) =1800 1

11、500 =300。综上，A = 300,B =900,c=V3。练习：1在 MBC中，已知a=4,b =2,C =600解三角形。题型四、利用余弦定理解决巳知三边”的类型模型：已知边a,b,c解三角形。根据余弦定理,22222,2八 b c -a - a c -bcos A =, cos B -,2bc2ac2,22C）。- a b -ccosC =，分别求得角 A, B,C (或根据内角和定理求得角2ab例题1：在AABC中，已知a=2,b=4,c = 2j3解三角形。上工人、 口b2+c2a2 42 + (2/3)2-22 於解析：根据余弦定理，得cosA =一一，又因为2bc 2 4 2

12、V3200 <A<180°,所以A =30°,再根据余弦定理，得 8S3 = 4九2一日=22 + /、；42 =0 又 0°<b<180°，所以 B=90°, 2ac 2 2 2V3再根据三角形内角和定理，得C =180° (A + B)=180° 120° =60°。综上，A =30°, B=90°,C=60°。练习:6% 2 “ a 1在 MBC中，已知a = <2,b = 33, c =解三角形。2题型五、利用余弦定理解决巳知两边一对角”

13、的类型模型：在AABC中，已知边a,b和角A,若只求第三边c,用余弦定理。模型： 在AABC中，已知边a,b和角A,若不是只求第三边 c,用正弦定理。例题：例题1：在AABC中，已知a=2,c = J2,A = 450,求边b。解析：根据余弦定理 a2 =b2 +c2 2bccosA ,得 22 =b2 +（J2）2 2b.J2 cos450,既 b2 2b_2=0 ,解得 b=1+J3或b=1 J3 （舍去），练习：在ABC中，已知b =6，c=2，B =30°,求边a。（答案：a = 3主晶）题型六、三角形面积例 1.在 AABC 中，sinA+cosA=Y2，AC = 2, A

14、B = 3 ,求 tanA 的值和 ZkABC 的面 2积。解：由sin A+cosA计算它的对偶关系式 sinA cosA的值。.2G- si nA +c o A =22 、1.(si A cAs =)一212 s i A c A520 0C，： A ： 180 , sAn 0Acos 0.-1另解(si n/2=-)23(sin A - cosA) -1 - 2sin AcosA =-,. 6公，si nA c o A =2+得 sin A = "2 二 ,一得 cosA =-6。从而 tanA=W =6M4 =2 73。cosA 4. 2 -： 6c11 八八.2. 63, 一

15、 S 加C = A AC 父 ABsin A = -X2X3:<= (<2 +4 6)以下解法略去。练习1.在AABC中，角A,B,C对应的边分别是 a,b,c.已知cos2A 3cos(B + C) = 1.(I)求角A的大小；(II)若 AABC 的面积 S =5,5,b =5,求sin BsinC 的值.解:(I)由已知条件得：cos2 A + 3cos A = 12.2cos A 3cos A -2 = 0,1 .解得cosA，角A =602(II) S =1 bcsinA =53= c=4,2由余弦定理得：a2=21,（2R：2舄=28sin BsinC =-bc2 =5

16、4R27练习2.已知 4ABC 的周长为 J2 +1 ,且 sin A +sin B = J2sin C .(I)1求边AB的长；（II）若 ABC的面积为一sinC,求角C的度数.6解:(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC = J2+1 , BC+AC=J2AB,两式相减，得AB=1.1,-1,1(II)由 ABC 的面积一BCjACjsinC =sinC ,得 BCAC=,2 一 63由余弦定理，得cosC =AC2 BC2-AB2 (AC BC)2 -2ACLBC - AB2 12ACLBC2ACLBC练习所以C =60”3.在 ABC中，内角 A B, C对边的边长分别是 a,

17、 b, c,已知c = 2, C =-3（i）若zXABC的面积等于 B 求a, b ;(n)若 sinC+sin(BA)=2sin 2A ,求 ABC 的面积.解：（i）由余弦定理及已知条件得，a2+b2ab=4,又因为 ABC的面积等于J3 ,所以-absin C = J3 ,得ab = 4 .2a2 b2 ab =4,八. 八联立方程组a b ab '解得a =2, b = 2.ab =4(n)由题意得 sin( B + A)+sin(BA) =4sin AcosA ,即 sin B cosA = 2sin AcosA,当 cosA =0时，A=, B=, 264v3,2.3a

18、b ，33当cosA#0时，得sinB=2sin A,由正弦定理得 b = 2a,a2 b2 联立方程组a bb =2a, ab=4,./曰2 “314、3解得a=，b=123所以 zXABC 的面积 S= absinC=题型七：看到“a2= b2+c2 bc”想到余弦定理例1:在4ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知 b2=ac,且a2 c2=ac- bc,求/ A的大小及bsin B的值。c分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余22 一、. . b 一一 、一 , bsm B 弦定理。由b=ac可变形为 =a,再用

19、正弦定理可求 一丁的值。解法一:= b2=ac。又 a2 c2=ac bc,b2+c2a2=bc。在4ABC中，由余弦定理得:b2 c2 - a2bc1cosA=2bc2bc 2/ A=60°。在ABC中，由正弦定理得 sinB= bsin A，: b2=ac, a/ A=60° ,bsinBb2sin60,3=sin60 =°c ac2解法二：在ABC中,1 1由面积公式得 一 bcsinA= acsinB。 22b2=ac, Z A=60 , . bcsinA=b2sinB。. bsinB3-=SinA= 一 °评述：解三角形时，找三边一角之间的关系

20、常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型八：利用正、余弦定理判断三角形形状边角互化问题例 1.在 AABC 中，已知 2sin AcosB = sinC ,那么 AABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法 1：由 2sinAcosB =sinC = sin(A+ B)= sinAcosB+ cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB=0,得 sin(AB)=0,得 A=B.故选(B).解法2：由题意，得 cosB =2 2 , 2sinC ca c -b二 , 再由余弦7E理，得 cosB=2sinA 2a2ac22, 2a c

21、-bc=，即2ac2aa2=b2,得 a=b,故选(B).评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断 统一化为边，再判断（如解法2）.（如解法1）,例2.在MBC中，若，试判断 ABC的形状。答案：故4 ABC为等腰三角形或直角三角形。练习1.在AABC中，acosA = bcosP ,判断 ABC的形状。答案： MBC为等腰三角形或直角三角形。练习2、在AABC中，a2 sin B =b2 sin A ,这个三角形是 三角形。练习 3、在 AABC 中，a=csinAfi sin C = 2sin Asin B,判断 AABC 的形状。题型九：三角形中最值问题B C例1.

22、AABC的二个内角为 A B、C ,求当A为何值时，cosA +2cos取得最大值，2并求出这个最大值。解析：由A+B+C=,得等=；今 所以有cosB+C =畸。cosA+2cos2 =cosA+2sin2 =12sin22 + 2sin2= 2(sin 2)2+ -；当sinA = 2，即A= 3时,cosA+2cosB+C取得最大值为3。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。练习.设锐角 MBC的内角A、B、C的对边为a,b,c, a = 2bsinA3 3(1) 求/ B的大小。一 (2)求cosA十sinC的取值范围。(,-

23、)62 2题型十、边角互化问题例 1、在 AABC 中，已知 2b=a+c,证明：2 sinB= sinA+ sinC例2、在AABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a = b cosC + c cosB例3、已知a, b, c为 MBC的三个内角A, B, C的对边，向量m = (J3, 1),n = (cosA,sin A).若 m _L n ,且 as B bs A nc =C,则角 B =2例4、在AABC中，已知 BC=a, AC= b,且a, b是方程x 一 2M3x + 2 = 0的两个根,2cos(A +B) =1求：角C的度数AB的长例 5.已知 MBC 的周长为 J2+1 ,且 sin A +sin B = J2sin C .1求边AB的长；若 AABC的面积为一sinC ,求角C的度数.6练习1 .设MBC的内角A, B, C所对的边长分别为a, b, c ,且acosB = 3b