与球有关的切、接问题(有答案)

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use与球有关的切、接问题94 Q1 .球的表面积公式： S= 4 tR;球的体积公式 V=aiR32 .与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a,内切球的半径为 r,外接球的半径为 R,取AB的中点为D,连接CD SE为正四面体的高，在截 面三角形SDCJ作一个与边 SD和DCf切，圆心在高 SE上的圆.因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 O此时，CO= OS= R, OE= r,SE= '/ga,CE=

2、喙a,则有 RF r =、履a, Rr2 = | CE 2=_3,解得 R=乎 a, r=a.(2)正方体与球:正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为 a,则| OJ = r =泉r为内切球半径).与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG勺外接圆，则小2|GO=R= ya.正方体的外接球：截面图为正方形ACCA的外接圆，则|A1O=R'(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球:如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱车B的外接球的球心.即三棱锥A-ABD的外接球的球心和正方体 ABCD1B1C1D的

3、外接球的球心重合.如图，设 AA皿-3=a,则 R= -a.如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.R2=a2+ b2+ c2 l2-=彳（1为长万体的体对角线长）.角度一：正四面体的内切球1. （2015长春*II拟）若一个正四面体的表面积为SiSi,其内切球的表面积为 卷，则三=S2解析：设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为Si= 4 *4- a?： 3a?,其内切球半径3俯视图为正四面体高的 4,即r = 4a=¥|a，因此内切球表面积为 S2= 4 <2=-,则'="匣 =6a6.

4、3.兀角度二：直三棱柱的外接球2. （2015唐山统考）如图，直三棱柱 ABCAiBC的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB= AC侧面BCCBi是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABBA的面积为（）A. 2B . 1 C. 啦D*解析：选C由题意知，球心在侧面 BCGB的中心O上，BC为截面圆的直径，/BAC= 90°, ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理 ABCix的外心M是BC的中心.设正方形BCCB的边长为x, RtAOMCC3, OM=一 XX 2 X 2-_MC= 2, OC= Rh 1（ R 为球的半径），.+ i = 1,即 x=<2,则 AB= AC= 1,

5、，S矩形 ABEA1=V2X1=.角度三：正方体的外接球3. 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；，2R= 2y3（ R为球的半径），R=、/3,，球的体积 V= 3 tiR = 43 .答案：4y3兀角度四：四棱锥的外接球4. （2014大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）A.半 B .16% C .9% D. 4解析：选A如图所示，设球半径为 R,正四棱锥 P-ABC珅

6、 AEB= 2,，AO=赤. PO =4, .在 RtAOO 中，AO= AO 2+OO 2, . R2=（p）2+（4 R）2,解得 R9 _2巧 ”2 81 兀，一该球的表面积为 4卡=4/ 二1= ,故选A.444类题通法“切” “接”问题的处理规律1. “切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.2. “接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.牛刀小试1. （2015云

7、南一检）如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（）A. 100 兀 B.1002c C . 25兀D. 212t33解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5,则表面积为 S= 4我=100兀2. （2014陕西高考）已知底面边长为1 ,侧棱长为&的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为（）A.32兀D 4_?解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径=212+ 12+ （陋 2 = 1，所以 V球=寺、13= ?.故选 D.3. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为 3的球面上，当正六棱柱的

8、底面边长为6时，其高的值为（）A. 3小 B. m C . 2加D. 2镉h2 一 -解析：选D设正六棱柱的图为 h,则可得（46）2+彳=32,解得h=243.4. （2015山西四校联考）将长、宽分别为4和3的长方形ABC册对角线AC折起，得 到四面体A-BCD则四面体 A-BCD勺外接球白体积为 .解析：设AC与BD相交于 Q折起来后仍然有 OA= OB= OC= OD，外接球的半径 r =2 =522'从而体积63_125兀送厂6 .5. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O的球面上，则该 圆锥的体积与球O的体积的比值为.解析：设等边三角形的边长为 2a,

9、则 V圆锥=3 - a2 ,73a=坐、3;又 R2= a2+ （3a R）2,所以R=缚a,故3VL3竽a卜峻a3,则其体积比为总高考全国课标卷真题追踪1.（15课标1理）已知A, B是球O的球面上两点，/AOB =900, C为该球面上的动点,若O-ABC三棱锥体积的最大值为 36,则球。的表面积为（C ）（A） 36二（B）64 二（C）144二（D）256 ;2. （13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm,将一个球放在容器口 ，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为(A)500 冗 3cm(B)866 冗 3cm

10、(C) 1372 cm33(D) 2048cm333. （12课标理）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 。的球面上,AABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（A ）(A)T 9(C) T(D)24. （12课标文）平面ot截千0的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面口的距离为。2,则 此球的体积为（B ）（A）<6兀（B）4<3 兀（C）4乖式（D）6/3 兀5. （10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）2721 122（A）二 a（B）-二 a（C）二 a（D） 5二 a6.

11、 （10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（B ）2222（A） 3a（B） 6a（0 124（D） 24冗 a7. （07新课标文）已知三棱锥 S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上,SO_L底面ABC, AC = J2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是（D）A.冗B. 2 7tC.3 兀D. 4 7t 3.2 -8. （13新课标2文）已知正四棱锥 O-ABCD的体积为-,底面边长为 J3,则以。为球心，0A为半径的球的表面积为 24n。9. （13新课标1文）已知H是球0的直径AB上一点，AH :HB=1:2, A

12、B_L平面支,H为垂足，a截千0所得截面的面积为 n ,则球0的表面积为_。鼻”10. （11新课标理）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB = 6,BC = 2 J3,则棱锥 0 ABCD 的体积为 8®.11. （11新课标文）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较16，一，-1大者的高的比值为1. 312. （08新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,那么这个球的体积为 4

13、n83仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquement d des fins personnelles; pas d des fins commerciales.t o Ji b k oJiiOAe 说， KOTOpbie Hcnojib3yiOTCflodyneHHA, HccjieAOBaHHH n He aojijkhbi HcnojibsoBaTbca b KOMMepnecKHx uejiax.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l &