韦达定理及其应用

1、韦达定理及其应用23、用韦达定理分解因式 ax bx c2 bca xxa xX1x X2aa、例题1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1） x 3x 100（ 2） 3x 5x 10(3)、2x24.3x 2、2022、已知关于x的方程x2(5k1)x k 20，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。3、已知方程x2 5x 20，作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各浙江省舟山市定海五中薛晓波、知识要点bX2一 ，a1、若元-2二次方程 axbxc0 a 0中，两根为洛，X2。则X1?x2c，；补充公式X21 1

2、alal2、以X1，X2为两根的方程为2 xX-Ix2 XX1 ?x20根的平方的倒数。11 丄4、解方程组 x y 12 xy 25、分解因式:(1) 3x2 5x 2( 2) 4x2 8x 1三、练习21、在关于x的方程4x mix m 70中，(1)当两根互为相反数时 m的值;(2)当一根为零时 m的值；(3)当两根互为倒数时 m的值2、求出以一元二次方程 x2 3x 20的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。3、解方程组x 、. y 3xy 24、分解因式(1)4x2 5x 6 =2 2(2) 2x 2xy y四、聪明题1、已知兀二次方程 ax-c 0的两个实数根满足x1x2血,a

3、, b ,c分别是 ABC的 A， 若a c，求 B的度数。B,C的对边。(1)证明方程的两个根都是正根；(2)2、在 ABC中,C 90，斜边 AB=10，直角边 AC，BC的长是关于x的方程2x mx 3m 60的两个实数根，求m的值。韦达定理的应用：1已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4. 已知两数的和与积，求这两个数5. 已知方程的两根 x1， x2 ，求作一个新的一元二次 方程 x2 -x1+x2) x+ x1x2 =06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c= a(x- x1)

4、(x- x2)题 1：( 1 )若关于 x 的一元二次方程 2x2+5x+k=0 的一根是另一根的 4 倍，则 k= ( 2)已知： a,b 是一元二次方程 x2+2000x+1=0的两个根，求： (1+2006a+a2)(1+2005b+b2) 解法一：(1+2006a+a2) (1+2005b+b2)=(1+2000a+a2 +6a) (1+2000b+b2 +5b)= 6a?5b=30ab解法二：由题意知/ a2 +2000a+1=0 ; b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b(1+2006a+a2) ( 1+2005b+b2)= (2006

5、a - 2000a) (2005b - 2000b) =6a?5b=30abab=1 ,a+b=-200( 1+2006a+a2) (1+2005b+b2)=( ab +2006a+a2) ( ab +2005b+b2)=a(b +2006+a) ?b( a +2005+b) =a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab解法三：由题意知/ a2 +2000a+1=0 ; b2 +2000b+1=0 a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b (1+2006a+a2) ( 1+2005b+b2)= (2006a - 2000a) (2005b - 2000b)

6、 =6a?5b=30ab题 2：已知：等腰三角形的两条边a,b是方程x2-(k+2)x+2 k =0 的两个实数根 ,另 一条边 c=1 ， 求:k的值。浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理 纵观近年各省、 市的中 考(竞赛)试题可以发现， 关于涉及此定理的题目屡见不鲜， 且条件隐蔽在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考.一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有 a+ b和a b形式的式子，可考虑直接应用韦达定 理.例1在厶ABC中，a、b、c

7、分别是/ A、/ B、/ C的对边，D是AB边上一点, 且 BC = DC,设 AD = d .求证：(1)c+ d= 2bcosA;2 2(2)c d= b - a .分析：观察所要证明的结论, 行证明.自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进证明：如图，在 ABC和厶ADC中，由余弦定理，有a2 = b2+ c2 2bccosA；a2= b2+ d2 2bdcosA(CD= BC = a). c2 2bccosA+ b2 a2= 0，2 2 2d 2bdcosA+ b a = 0.于是，c、d是方程x2 2bxcosA+ b2 a = 0的两个根.由韦达定理，有2 2c+ d = 2b

8、cosA，c d = b a .例 2 已知 a+ a2 1= 0，b+ b2 1 = 0，ab，求 ab+ a+ b 的值.分析：显然已知二式具有共同的形式：x2+x 1 = 0.于是a和b可视为该一元 二次方程的两个根.再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解.解：由已知可构造一个一元二次方程 X2 + x-1=0,其二根为a b.由韦达定理，得a+ b= 1, a b= 1.故 ab+ a+ b= 2.二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a+ b、a b形式的式子，则可考虑应用韦达定理.例 3 若实数 x、y、z满足 x = 6

9、 y, z2= xy 9.求证：x = y.证明：将已知二式变形为x + y=6, xy = z2+ 9.由韦达定理知x、y是方程u2 6u+ (z2 + 9)= 0的两个根.V x、y 是实数，二二 36 4z2 360.则z2i= -3. 尙=2;2 2方程为 x 3x+ 2 = 0或 x + 3x + 2 = 0.解得 X1= 1, x = 2,或 X1= 1, x = 2.例6设方程x2+ px+ q = 0的两根之差等于方程x2+ qx+ p = 0的两根之差，求证: p = q 或 p+ q= 4.证明：设方程x + px + q = 0的两根为a、p, x2 + qx + P=

10、0的两根为a，、由题意知 a B = a， B，,故有 a 2aB + B =a， 2a/p/+p/.22从而有(a + B ) 4 aP = ( a，+p/ ) 4 a，p/.W依韦达定理，有把代入，有 p2 4q= q2 4p,即卩 p2 q2 + 4p 4q = 0,即(p+ q)(p q) + 4(p q)= 0, 即 (pq)(p+q+4)=0.故 p q = 0 或 p+ q + 4= 0,即 p = q 或 p+ q= 4.四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2+ mx 3 = 0与方程x2 4x (m 1)= 0有一个公共根？ 并求出这个公共根解：设公共根为a,易知，原方程 x+mx 3 = 0的两根为a、 ma; x 4x (m 1) = 0 的