基本初等函数求导公式

1、基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式(C)01(x ) x区间(sin x) cosx(ax) ax In a(10g a X)1x ln a函数的和、差、积、商的求导法则(6)(8)(cosx) sin(ex)ex1 (ln x)设u(1)(3)u(x),(u(uv)反函数求导法则v)v(x)都可导,则u v uv若函数x(y)在某区间1y内可导、单调且Ix内也可导，且1f (x) (y)复合函数求导法则设 y f (u)，而 u(2)(4)(y)(Cu)Cu(C是常数)dydxuv，则它的反函数y f(x)在对应1dxdy(x)且f(u)及 (x)都可导，则复合函数y f (x)的导数

2、为dy dy dudx du%x 1=常用积分公式表例题和点评kdx kx（k为常数）x dx(1)特别. x dx32 2-x2 c3(4)(10)1dx xaxdxIn|x|In a特别exdxsin xdxcosx dx12dx sin x1dx cos xcosxsincsc2xdxse(2 x dxcot xtan x. xarcsin 一 ac(a0）,特别1dx arcsin x c1x21a2 x2 dxarctan 一c (a%特别,1；dx arctan x c1 x2(11)或122 dxa x12aInaxc(a0)ax1-2dxx a1Inxac (a0)2axa(1

3、2)tan x dxIn cosx c(13)cot xdx In sin x cIncscxcot xc1dxxsin xIntan 一c2(14) cscxdxInsecxtan xc1dxxcosxIntan c24(15) secx dx(16)(17)(a 0)dxIn x (a 0)2_22a _ xa x dx arcsin 一2 a2 a cx :22一：a x222 a In x2ax .asin bx bcosbx axe sin bxdx 22e c.a bax , bsin bx acosbx ax e cosbxdx 22e ca2 b2(20)2 1 2ndx n

4、工一E qA n 1。(递推' / (a2 x2)n2(n 1)a2(a2 x2)n 12(n 1)a2公式）跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一 个积务法，最后套用某一个积分公式）例24含根式的积分x2 4x 5dx (x 2)2 1d(x 2)套用公式(18)J(x 2)2 1 gln(x 2) J(x 2)2 1x.x2 4x 5 dx(2x 4) 4 , x2 4x 5dx1 . x2 4x 5d(x2 4x 5) 2 , x2 4x 5dx2(请你写出答案)(3)1 dx-=1 2 d(x 2) In (x 2) . (x 2)2 1x2 4x 5(x 2)2 1

5、套用公式(16)x ,1(2x 4) 4 ,1 d(x2 4x 5),1.-dxdx2-dx,x2 4x 52 x2 4x 52 x2 4x 5x2 4x 5（请你写出答案）(5)5 4x x2dx 3232(x 2yd(x 2) arcsin/ x22,312)2套用公式(6) x 5 4x x2dx(4 2x) 4 5 4x x2dx 24x x2 d(5 4x x2) 25 4x x2 dx（请你写出答案）dx.5 4x x2上.5 4x x2d(x 2)套用公式32 (x 2)21(4 2x) 4 dx 1d(5 4x x2)4x x225 4x x2x 2 arcsin32 dx5

6、4x x2（请你写出答案）例25求原函数Jdx.1 x4解因为1 x4 (1所以令2x242x ) 2x(1 x2)2 (. 2x)2 (1 、2x x2)(1 . 2x x2)从恒等式(Ax11 x4B)(x2. 2xAxLB.CxLD(A,B,C,D 为待定常数).2x 1 x2 . 2x 1(Ax B)(x2 , 2x 1) (Cx D)(x2 , 2x 1)x22x 1 x2 .2x11)(Cx D)(x2 V2x 1) 1 (两端分子相等），可得方程组A ,2B2A BC 2D2C DA C1000（常数项）（一次项系数）（二次项系数）（三次项系数）因此,x1 x2 2x 2 x2.

7、 2xdx 1112 2 * 22 dxx2. 2x 1解这个方程组（在草11-1A , B , C , D2、222,2右端的第一个积分为112 2X 22x 1dx1(2x2)24.2x2、2x 1dx14.2(2x . 2)d xx2. 2x 1x2 lx 1dxd(x2 2x1工2x 22 dx12（套用积分公式）-A=ln(x2 亚x 1)4 .21arctan(. 2x2,21)类似地,1右端的第二个积分为1x22 2 _2dx!?=ln(x2 42x 1)arctan(应x 1)x22x 14、22.2所以注）4dxln x”x 1 arctanW2x 1)4.2x2,2x 1

8、2.2x22x 11,_arctan-x2 . 2x 1 2 2112r 22xrvarctan(2x 1)（见下【注】根据tan( ) ；antan ，则1 tan tantan arctan(、2x 1) arctan(, 2x 1)(,2x 1) (、,2x 1)2.2x ,2x1 ( , 2x 1)( , 2x 1) 2(1 x2) 1 x2因此,arctan(. 2x 1)arctan(, 2x 1)arct x26dxrosx(01)dxrosx(01)，见例17tta吟（半角替换）,cosx2 x .cos - Sin22 x 2 x一 2cos 一222 x sec22 x1

9、tan 一21 t2FTdx d(2arctan t)2 2 dt1 t2于是,dx1 cosx22 dt1 t2 1 t2dt(1)(1)t2t2dt1t2.2 arctan.12-arctan-1 tanx22【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也 有一定的规律但不像求它们的微分或导数那样 规范化.这是由为从根本上说，函数y y（x）的导数 或微分可以用一个“构造性”的公式y(x) 呵 y(X ； y 或 dy y(x)dx 确定下来，可是在原函数"的定义中并没有给出求 原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其 运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如有理函数的原函数可能不再是有理函数，初 等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数 的差有可能是负数、整数的商有可能由分数一 样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数 不籥表示成初等函数，譬如X1esin xe dx, dx,一dx, dxIn xxx都不能表示成初等函