二次函数新课教案教师版

1、二次函数一、二次函数概念:1 .二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a#0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a#0 ,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y =ax2+bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y=ax的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上（0，0）y轴x>0时，y随x的增

2、大而增大；x<0时，y随 x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.a <0问卜（0，0）y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随 x的增大而增大；x =0时，y有最大值0 ._22. y =ax，c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上（0，c）y轴x>0时，y随x的增大而增大；xc0时，y随 x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.a <0问卜（0，c）y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随 x的增大而增大；x-0时，y有最大值c .3. y=a（xhj 的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐

3、标对称轴性质a >0向上（h, 0 ）X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随 x的增大而减小；x - h时，y有最小值0 .a <0问卜(h, 0 )X=hxh时，y随x的增大而减小；x<h时，y随 x的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .24. y =a(xh ,+k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h, k )X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随 x的增大而减小；x = h时，y有最小值k .a <0问卜(h, k )X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随

4、x的增大而增大；x = h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：2万法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h） +k ,确定其顶点坐标（h , k）； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到 （h, k）处，具体平移方法如下：y=ax2A y=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|个单位平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k

5、|个单位向上（k>0）【或下（k<0）y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2 .平移规律在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：22（1） y = ax +bx + c沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位， y = ax +bx + c变成y=ax2+bx+c+m （或 y = ax2+bx+c m ）y=ax2+bx + c沿x轴平移：向左（右）平移 m个单位，y = ax2+bx + c变成y =a（x+m）2 +b（x +m） +c （或 y =a（xm）2 +b（xm） + c）四、二次函数y =a （xh

6、j+k与y =ax2+bx+c的比较22从解析式上看，y =a(x h ) +k与y =ax +bx +c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y=a''x+J十竺cE,其中h = _且，k=fac土 .2a 4a2a 4a五、二次函数y = ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x h)2+k,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点(0, c)、以及(0 , c)关于对称轴对称的点(2h, c)、 与x轴的交点(x , 0 ),

7、任，0 )(若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y = ax2 bx，c的性质1、二次函数的性质函数二次函数y = ax +bx+c（a,b,c是常数， a # 0）图像a>0a<0y1x斗0rx性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；一-bb(2)对称轴x=-,顶点坐标是(一一, 2a2a4ac - b2、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x<-2-时，y随x 2a的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> - 时，y随x的增大而增大，简记左减 2a(1)抛物线开口向卜

8、，并向卜无限延伸；一-bb(2)对称轴x=-,顶点坐标是(一一, 2a2a4ac -b2 、);4a(3)在对称轴的左侧，即当 x<-2时，y随 2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> -时，y随x的增大而减小，简记左 2a右增；(4)抛物线有最低点，当 x2 时，y有最小2a/u2/士4ac -b值，y最小值一4a增右减；(4)抛物线有最高点，当 x=时，y有最2au2一士4ac - b大值，y最大值一4a七、二次函数解析式的表示方法21 . 一般式：y =ax +bx+c (a, b , c 为常数，a#0);2 .顶点式：y=a(xh)2+k (a, h , k 为常数

9、，a #0 );3 .两根式：y =a(x _xj(x X2) (a#0, x1 , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b24ac之0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：11.用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y = ax2+bx+c .已知图像上

10、三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y = a(x - h 2 +k.已知图像的顶点或对称轴或最大(小)值，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y = a(x x1 (xx2 ). 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然 a#0当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下;a的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口

11、方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.2 . 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.b = 0时，对称轴为y轴；b >0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； a2<0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧. abab的符号的判定：对称轴 x =在y轴左边则ab>0 ,在y轴的右侧则ab<0,2a概括的说就是“左同右异”3 .常数项c 当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方， 当c =0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点， 当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a, b,

12、c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y = aX + b肝犬f x轴对称后，得到的解析式是y=ax2bxc；22y =a(xh § +k关于x轴对称后，得到的解析式是y =a(x-h ) -k ；2 .关于y轴对称y = ax + b肝犬f y轴对称后，得到的解析式是y=ax2bx + c；22y =a(xh ) +k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a(x+h ) +k ；3 .关于原点对称y = ax + b叶充F原点对称后，得到的解析式是y = ax2+bxc；2y =-a

13、(x +h ) -k ；2y = a x- h +差于原点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适 的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：一元二次方程ax2 +bx +c =0是二次函数y =ax2 +bx +c当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与

14、x轴的交点个数：当 =b2 4ac >0时，图象与x轴交于两点 A(x , 0 ), B% , 0 )(x, "x?),其中的x1,义2是一元二次方程 ax2+bx +c =0(a #0 )的两根.这两点间的距离-16 -AB = x2 - xix为任何实数，都有 y>0；x为任何实数，者B有 y<0 . 当A=0时，图象与x轴只有一个交点；当A<0时，图象与x轴没有交点.1当a>0时，图象落在x轴的上方，无论2当a<0时，图象落在x轴的下方，无论22 .抛物线y=ax +bx+c的图象与y轴一te相交，交点坐标为 (0 , c);二次函数图像参考

15、：H一1、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润、最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：22已知以x为自变量的一次函数 y = (m2)x +m m2的图像经过原点，则m的值是.2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y =kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y = kx2+bx1的图3 .考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(

16、0,3) , (4,6)两点，对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。34 .考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵，3坐标是一万(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号2 C例1 (1) 一次函数y=ax +bx+c的图像如图1,则点M(b)在()aA .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函数 y=ax

17、2+bx+c (aw0)的图象如图 2所示，？则下列结论：a、b同 号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其中正 确的个数是()A. 1个 B .2个 C . 3个 D .4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , O)、(xi, 0),且1<xi<2,与y轴的正半轴的交点在点 (0,2)的下方.下列结论：a<b<0;2a+c>Q 4a+c<O 2a-b+1>O, 其中正确结论的个数为()A 1

18、个 B. 2 个 C. 3 个 D.4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为 x=-2 ,且二次函数 y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2, -3) B.(2, 1) C(2, 3) D ,(3,2)答案：C例4、如图(单位：m),等腰三角形 ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到 AB 与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间

19、？求抛物线顶点坐标、 对称轴.例5、已知抛物线 y= x2+x-. 22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与元二次方程的关系.用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF=2, BF=1.试在AB上求一点P,使矢I形PNDMH最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本

20、10元，试销阶段每件产品的销售价 x(元)？与产品的日销售量 y (件) 之间的关系如下表：x (元)152030y (件)252010若日销售量y是销售价x的一次函数.(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？15k b = 25，口【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b .则解得k=-1 , b=40, ?2k b = 20即一次函数表达式为 y=-x+40 .(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w元w= (x-10 ) (40-x) =-x 2+50x-400

21、=- (x-25 ) 2+225.产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为225元.二次函数对应练习试题一、选择题1 .二次函数y =x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, 11) B. (2, 7) C. (2, 11) D. (2, 3) 22 .把抛物线y = -2x向上平移1个单位，得到的抛物线是()一一2一2一 2一 2A. y=-2(x 1) B. y=2(x-1) C. y=-2x 1 D. y=-2x -12 一 k3 .函数y=kx k和y= (k#0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x24 .已知二次函数 y=ax +bx+c(a #0)的图象如图所示

22、，则下列结论：a,b同号； 当x =1和x=3时，函数值相等；4a + b = 0当y =2时，x的值只能取0.其中正 确的个数是()A.1个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5 .已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a /0)的顶点坐标(-1 , -3.2 )及部分图象(如图), 由图象可知关于 x的一元二次方程 ax2+bx + c = 0的两个根分别是 Xi = 1.3禾口x2 =( )A. - 1 .3B.-2.3C.-0.3D.-3.326 .已知一次函数 y=ax +bx+c的图象如图所不，则点 (ac,bc)在(A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D .第四象限27

23、 .方程2x x =的正根的个数为()xA.0个B.1个 C.2 个.3 个8 .已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A2八2八A. y = x -x -2B.y = -x x 22_i、2_2_-2_C. y=x x2或丫 = x +x+2 D. y = x x 2 或 y = x +x+2二、填空题9 .二次函数 y =x2+bx+3的对称轴是x = 2,则b=。10 .已知抛物线y=-2 (x+3) 2+5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 .11 . 一个函数具有下列性质：图象过点(一 1, 2),当x<0时

24、，函数值y随自变量x的 增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。12 .抛物线y =2(x-2)2 -6的顶点为C,已知直线y = -kx+3过点C,则这条直线与两坐 标轴所围成的三角形面积为 。13 .二次函数y =2x24x-1的图象是由y =2x2+bx+ c的图象向左平移1个单位，再向 下平移 2 个单位得到的，则 b= ,c=。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 J兀取3.14).三、解答题：515 .已知二次函数图象的对称轴是x+3 = 0，图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(

25、0,-).2(1)求这个二次函数的解析式；c(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y随x的增大而增大？HB第15题图1216 .某种爆竹点燃后，其上升图度h(米)和时间t (秒)符合关系式h = v0t-gt2 (0<tw2), 2其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以V0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.217 .如图，抛物线 y=x +bx-c经过直线y =x3与坐标轴的两个交 点A、B

26、,此抛物线与x轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使S聋pc： S毋cd =5 : 4的点P的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润， 准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加 7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为 y (元).(1)当每吨售

27、价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.练习试题答案1. A 2 , C 3 . A 4 . B 5 . D 6 . B 7 . C 8 . C二、填空题、9. b = Y 10 . x<-3 11 .如 y =2x2+4, y =2x+4 等（答案不唯一）12. 1 13 . -8 7 14. 15三、解答题2aa b c = -65c = 一一L 215. (1)设抛物线的解析式为y=ax2 +bx+c,由题意可得“口151 25斛得 a = _ ,b =_3,c = _-所以 y =x -3x -2222(2) x = 1 或-5 (2) x<41216.