2018尖子生专训3相交线平行线含答案

1、尖子生专训 3 相交线平行线答案1长江汛期即将来临， 防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况 如图，灯A射线自AM顺时针旋转至 AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照 射巡视.若灯 A转动的速度是a° /秒，灯B转动的速度是b° /秒，且a、b满足|a - 3b|+ (a+b-4) 2=0.假定 这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ/ MN且/ BAN=45(1 )求a、b的值；(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ之前，A灯转动几 秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯

2、同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CDLAC交PQ于点D,则在转动过程中，/ BAC与/ BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值 范围.2解：(1 )T a、b 满足 |a - 3b|+ (a+b - 4) =0 ,二 a- 3b=0,且 a+b- 4=0,二 a=3, b=1;(2) 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当 Ov t V 60 时，3t= (20+t )X 1，解得 t=10 ; 当 60V t v 120 时，3t - 3X 60+ (20+t )X 仁 180°,解得 t=85 ; 当120V

3、t v 160时，3t - 360=t+20，解得t=190 > 160,(不合题意)综上所述，当 t=10秒或85秒时，两灯的 光束互相平行；(3) 设A灯转动时间为t秒，/ CAN=180 - 3t ,/ BAC=45 -( 180°- 3t) =3t - 135°，又t PQ/ MNBCA2 CBD丄 CAN=t+180°- 3t=180°- 2t ，而/ ACD=90，/ BCD=90 -Z BCA=90 -( 180°- 2t ) =2t - 90°,./ BAC / BCD=3 2，即 2 / BAC=3/ BCD.

4、2 .如图1, MIN/ PQ 直线AD与MN PQ分别交于点 A、D,点B在直线PQ上,过点B作BGL AD垂足为 G.(1) 求证：Z MAGZ PBG=90 ;(2) 若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC,Z MAG和ZPBC的平分线交于点H,请在图2中补全图形，猜想并证明Z CBG与Z AHB的数量关系；(3) 若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出ZCBG与 Z AHB的数量关系.解：(1)如图 1,t MIN/ PQ / MAGZBDG tZ AGB>A BDG的外角，BGL AD, Z AGB=Z BDG-Z

5、PBG=90 ,/ MAGZ PBG=90 ；(2) 2Z AHB-Z CBG=9°0 或 2Z AHB+Z CBG=9°0 证明： 如图，当点 C在AG上时，/ MN/ PQ / MACH BDC v/ ACB> BCD的外角，二/ ACB玄 BDC+Z DBC2 MAC# DBC/ AH平分/ MAC BH平分/ DBC / MAC=H MAH / DBC=/ DBH / ACB=2 (/ MAH/ DBH ,同理可得,/ AHB=/ MAH/ DBHACB=2 (/ MAH/ DBH =2 / AHB又 v/ ACB> BCG的外角，/ ACB/ CBG+

6、90°,. 2 / AHB玄 CBG90°,即卩 2 / AHB- / CBG=90 ; 如图，当点 C在DG上时，同理可得，/ ACB=/ AHB 又 v Rt BCG中, / ACB=90 -/ CBG - 2 / AHB=90 -/ CBG 即卩 2/ AHB+/ CBG=90 ;(3) ( 2)中的结论不成立.存在：2/ AHB+/ CBG=270 ; 2 / AHB- / CBG=270 . 如图，当点 C在AG上时，由MN/ PQ可得：/ ACB=360 -/ MAC- / PBC=360 - 2 (/ MAH/ PBH , / AHB玄 MAH/ PBH /A

7、CB=360 - 2/AHB 又v/ ACB> BCG的外角，/ ACB=90 +/ CBG - 360°- 2 / AHB=90 +/ CBG 即 2/ AHB+/ CBG=270 ; 如图，当C在DG上时，同理可得，/ ACB=360 - 2 (/ MAH/PBH, / AHB=Z MAH/ PBH /ACB=360 - 2/AHB 又v Rt BCG中,/ ACB=90 -/ CBG - 360°- 2/AHB=90 -/ CBG 2 / AHB- / CBG=70°.3 “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座

8、可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至 AN便立即回转，灯 B射线从BP开始顺时针旋转至 BQ便立即回转， 两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒 2度，灯B转动的速度是每秒1度假定主道路是平行的，即PQ/ MN 且/ BAM / BAN=2 1. (1 )填空：/ BAN= 60° ;(2) 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯互相平行？(3) 如图2,若两灯同时转动，在灯 A射线到达AN之前.若射出的光束交于点 C,过C作/ ACD交PQ于点D, 且/ACD=120 ,则在转动过程中，请探究/ BAC与/ B

9、CD的数量关系是否发生变化？若不变， 请求出其数量关系； 若改变，请说明理由.解：(1 )v / BAM/ BAN=180，/ BAM / BAN=2 1，/BAN=180 X =60°,故答案为：60;(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 当0v t v 90时，如图1,v PQ/ MN / PBD/ BDA v AC/ BD / CAM/ BDA / CAM/ PBD 2t=1 ?(30+t ),解得 t=30 ; 当90v t v 150时，如图2 ,v PQ/ MN / PBD/ BDA=180 , v AC/ BD,CAN/ BDA/ PBD+/ CAN=180 1?

10、(30+t) + (2t - 180) =180 ,解得t=110 ,综上所述,当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；(3)Z BAC和/ BCD关系不会变化.理由：设灯A射线转动时间为t秒，/ CAN=180 - 2t ,/ BAC=60 -( 180° 2t ) =2t - 120°,又ABC=120 - t ,/ BCA=180°-/ ABC-/ BAC=180 - t，而/ ACD=120 , / BCD=120 -/ BCA=120 -( 180°-t) =t -60°， / BAC / BCD=2 1，即/ BAC=2Z B

11、CD / BAC和/ BCD关系不会变化.4.如图 1 所示，已知 BC/ OA / B=/A=120°(1) 说明OB/ AC成立的理由.(2) 如图2所示，若点 E, F在BC上，且/ FOC/ AOC OE平分/ BOF求/ EOC的度数.(3) 在(2)的条件下，若左右平移AC,如图3所示，那么/ OCB / OFB的比值是否随之发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，请求出这个比值.(4) 在(3)的条件下，当/ OEB/ OCA寸，求/ OCA的度数.解：(1 )T BC/ OA B+/ O=180，/ O=180 -/ B=60°,而/ A=120°

12、，/A+/ O=180 , OB/ AC;(2) T OE平分/ BOF / BOE/ FOE 而/ FOC/ AOC / EOF+Z COF/ AOB=X 60° =30。，即 / EOC=30 ;(3) 比值不改变. BC/ OA / OCB/ AOC / OFB=/ AOF,FOC/ AOC / AOF=2/ AOC / OFB=2/OCB 即/ OCB / OFB的值为 1 : 2;(4) 设/ AOC的度数为x,则/ OFB=2xt/ OEB=/ AOE / OEB/ EOC/ AOC=30 +x ,而/ OCA=180 -/ AOC-/ A=180° - x-

13、120° =60°- x ,t/ OEB=/OCA 30° +x=60°- x 解得 x=15° / OCA=6°0 -x=60° -15° =45°.5 .已知，直线 AB/ DC点P为平面上一点，连接 AP与CP(1) 如图1,点P在直线 AB CD之间，当/ BAP=60 , / DCP=20时，求/ APC(2) 如图2,点P在直线AB、CD之间，/ BAP与/ DCP的角平分线相交于点 K,写出/ AKC与/ APC之间的数量 关系 并说明理由.(3) 如图3,点P落在CD外 , / BAP与/

14、 DCP的角平分线相交于点 K, / AKC与/ APC有何数量关系？解：(1)如图 1 过 P 作 PE/ ABtAB/ CD PE/ AB/ CD / APE=/BAP /CPE=/DCP / APC=/APE+/CPE=/ BAP+/DCP=6°0 +20° =80°(2)/ AKC/ APC 理由：如图 2,过 K作 KE/ AB,t AB/ CD KE/ AB/ CD / AKE=/BAK / CKE=/ DCK / AKC=/ AKE+/ CKE=/ BAK+/ DCK过P作PF/ AB,同理可得，/ APC=Z BAP+Z DCP t/ BAP与/

15、DCP的角平分线相交于点 K,/ BAK+/DCK=/BAP+/DCP=(/ BAP+/DCP) =/APC / AKC=/APC;3)/ AKC=/ APC.理由：如图 3，过 K作 KE/ AB / AB/ CD / KE/ AB/ CD, /-Z BAKh AKE / DCK=/ CKE/ AKC=Z AKE-Z CKEZ BAK-Z DCK 过 P作 PF/ AB,同理可得，Z APC=Z BAP-Z DCP tZ BAP与Z DCP的角平分线相交于点 K, Z BAK-Z DCK玄 BAP-Z DCP=(Z BAP-Z DCP =Z APC /Z AKC=Z APC6 .如图，已知

16、AM/ BN Z A=60° .点 P是射线 AML上一动点(与点 A不重合)，BC BD分别平分Z ABP和Z PBNJ 分别交射线 AM于点C, D. (1 )求/ CBD的度数；(2) 当点P运动时，Z APB与Z ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并 说明理由；若变化，请写出变化规律.(3) 当点P运动到使Z ACBZ ABD时，Z ABC的度数是 30°.解：(1 )T AM/ BN, /Z A+ZABN=180 , tZ A=60°,/Z ABN=120 , t BG BD分别平分Z ABP和Z PBNJ Z CBP

17、=Z ABP, Z DBPZ NBP /Z CBDZ ABN=60 ;(2) 不变化，Z APB=2/ ADB证明：t am/ BIN /Z APB=/ PBN Z ADB=Z DBN 又 t BD平分Z PBN /Z PBN=2/ DBN /Z APB=2/ ADB(3) t AD/ BN, /Z ACB=Z CBN 又 tZ ACBZ ABD /Z CBN=Z ABD /Z ABCZ DBN由(1)可得，Z CBD=60 , Z ABN=120，/Z ABC= (120°- 60°) =30°,故答案为：30°.7.数学思考：(1)如图1 ,已知AB

18、/ CD探究下面图形中Z APC和Z PAB Z PCD的关系，并证明你的结论 推广延伸：(2)如图2,已知AA/ BA，请你猜想Z A1 , Z B1 , Z B2 , Z A、Z A的关系，并证明你的猜想；如图3,已知AA / BAn ,直接写出Z A, Z B1 , Z B2, Z A、Z Bn-1、Z A的关系拓展应用：(3)如图4所示，若AB/ EF,用含a, 3, 丫的式子表示x,应为 B° + a + 3 - Y。- a_ y + 3C . 3 +丫_仇D . a + 3 + 丫如图 5 , AB/ CD 且Z AFE=40 , Z FGH=90 , Z HMN=3&#

19、176; , Z CNP=50 ,请你根据上述结论直接写出ZGHM的度数是 30°.解：(1)证明：如图1,过点P作OP/ AB,t AB/ CD / OP/ AB/ CD /Z 1 = Z PAB Z 2=Z PCD /Z APC=Z 1 + Z 2=Z PAB+Z PCD 即Z APCZ PAB+Z PCD(2) 如图2,过点A作A2O/ AA ,由(1)可知Z B=Z A1 + Z 1, Z B=Z 2+Z A,所以，Z B1 + Z R=Z A1+Z A+Z A;如图3,由可知：Z A1+ Z Ae+Z An= Z Bi + Z B2+ Z Bi-1;(3) 如图 4 ,过Z

20、 x 的顶点作 CD/ AB 则Z x= (180°-a) +(3-丫)=180°-久-丫 + 3 ,如图 5,由(1)可知，40° +Z GHM+0° =Z G+Z M tZ G=90 , Z M=30 , /Z GHM=9° +30°- 40°-50° =30°故答案为：B; 30°.8 .已知直线AB/ CD(1) 如图1,直接写出/ ABE / CDE和/ BED之间的数量关系是/ ABE+Z CDE2 BED .(2) 如图2, BF, DF分别平分/ ABE / CDE那么/ BFD

21、和/ BED有怎样的数量关系？请说明理由.(3) 如图3,点E在直线BD的右侧，BF, DF仍平分/ ABE / CDE请直接写出/ BFD和/ BED的数量关系 2/ BFD+Z BED=360.(3) 如图3,过点B作BG/ DM/ BF 平分/ DBC BE平分/ ABD DBFK CBF / DBE=/ ABE 由(2)可得/ ABD=Z CBG/ ABF=Z GBF 设/ DBEa , / ABF=0 ,则/ ABEa , / ABD=a =Z CBG / GBF书=Z AFB, / BFC=3/ DBE=a , / AFC=a + 3, / AFC+Z NCF=180 , / FC

22、B+Z NCF=180 ,FCBh AFC=3a + 3 , BCF 中，由/ CBF+Z BFC+Z BCF=180 ,可得(2a +3) +3 a + (3a +3) =180° 由AB丄BC 可得 3 +3 +2 a =90° 由联立方程组，解得a =15°ABE=15，/ EBC=/ ABE+/ ABC=15 +90° =105°.10. 已知直线11/ l 2 ,直线l 3和直线丨1、丨2交于点C和D,点P是直线l 3上一动点(1) 如图1,当点P在线段CD上运动时，/ PAC / APB / PBD之间存在什么数量关系？( 2)当点

23、P在C D 两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合，如图2和图3),上述(1)中的结论是否还成立？若不成立，请直接 写出/ PAC / APB / PBD之间的数量关系，不必写理由.解：(1)/ APB=Z PAC+Z PBD 如图 1,过点 P作 PE/ l 1 , / APE=Z PAC/ l 1 / l 2 , PE/ 12 ,/ BPE=/ PBD / APE+/ BPE=/ PAC+/ PBD / APB=/ PAC+/ PBD；( 2)不成立如图 2:/ PAC玄 APB+Z PBD 理由：过点 P作 PE/ l 1, / APE=Z PAC / l1 / l 2 , . PE/

24、I 2 , / BPE=Z PBD / APB=Z APE- / BPE=/ PAC- / PBD / PAC/ APB+Z PBD如图 3：/ PBD=/ PAC+/ APB 理由：过点 P 作 PE/ l 1/ APE=/ PAC / l 1/ l 2 PE/ l 2/ BPE=/ PBD/ APB=/ BPE-/ APE=/ PBD-/ PAC / PBD=/ PAC+/ APB.11. 已知，/ AOB=90 ,点 C在射线 OA上,CD/ OE(1) 如图1,若/ OCD=12°,求/ BOE的度数；(2) 把“/AOB=90 ”改为“/ AOB=120 ” , 射线OE沿

25、射线OB平移，得OE,其他条件不变，(如图2所示)， 探究/ OCDZ BO E的数量关系；(3) 在(2)的条件下，作 PO丄OB垂足为O,与/ OCD勺平分线CP交于点P,若/ BO E=a，请用含 a的 式子表示/ CPO (请直接写出答案).解：( 1 )/ CD/ OE / AOE=/ OCD=12°0 / BOE=36°0 - 90°- 120°=150°；(2) 如图2,过O点作OF/ CD,/ CD/ OE 二 OF/ OEAOF=180 -Z OCD / BOF=Z EO 0=180 -Z BO E, Z AOB=Z AOF+

26、Z BOF=180 - Z OCD+80° - Z BO E=360° - ( Z OCD+Z BO E ) =120° , / Z OCD+/ BO E=240° ;(3 )T CP是Z OCD勺平分线， Z OCPZ OCD Z CPO =360°- 90°- 120°-Z OCP=150 -Z OCD=15° -(240°-Z BO E) =30° +a.12. 探究：如图，已知直线 I 1 / I 2,直线| 3和l 1, l 2分别交于点C和D,直线I 3上有一点P.(1) 若点P在C

27、 D之间运动时，问Z PAC Z APB Z PBD之间有怎样的关系？并说明理由.(2) 若点P在C D两点的外侧运动时(点 P与点C D不重合)，请尝试自己画图，写出Z PAC Z APB Z PBD 之间的关系，并说明理由.(3 )如图，AB/ EF,Z C=90，我们可以用类似的方法求出Za、ZB、ZY之间的关系，请直接写出Za、ZB、Zy 之间的关系.解：(1)如图，当 P点在 C D之间运动时，Z APB=/ PAC+Z PBD理由如下：过点 P作PE/ I 1，/ I 1 / I 2，. PE/ 12 / I 1，.Z PAC玄 1，Z PBD玄 2，.Z APB=/ 1+Z 2=

28、Z PAC+Z PBD(2) 如图甲，当点 P在C、D两点的外侧运动，且在 I 1上方时，Z PBDZ PAC+Z APB理由如下： I 1 / I 2，.Z PEC=Z PBD tZ PEC玄 PAC+Z APB /-Z PBDZ PAC+Z APB.如图乙，当点 P在C D两点的外侧运动，且在 I2下方时，Z PAC=/ PBD+Z APB理由如下： I 1 / I 2，/Z PED=Z PAC tZ PED玄 PBD+Z APB /Z PACZ PBD+Z APB.(3) Za +Z3-Zy =90°.证明：如图，分别过 C D作AB的平行线CM和 DNt AB/ EF，/ A

29、B/ CM/ DN/ EF,/.Za =Z BCM Z MCDZ NDC Z NDEZy， Za +Z3 =Z BCMZ CDNZ NDEZ BCMZ MCDZ 丫，又t BC丄 CD /Z BCD=90， Za +Z3 =90° +Zy，即Za +Z3-ZY =90°.13. 如图1，AB/ CD E是AB CD之间的一点.(1) 判定Z BAE Z CDE与Z AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2) 如图2,若Z BAE Z CDE的两条平分线交于点 F.直接写出Z AFD与Z AED之间的数量关系；(3) 将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若Z A

30、GD的余角等于2Z E的补角，求Z BAE的大小.解：(1 )Z BAE+Z CDEZ AED 理由如下：作 EF/ AB,如图 1 , / AB/ CD EF/ CD / 仁/ BAE / 2=Z CDE -Z BAE亡 CDE2 AED(2)如图 2,由(1)的结论得Z AFD=/ BAF+Z CDFZ BAE Z CDE的两条平分线交于点 F,.Z BAF=Z BAE Z CDF/ CDE Z AFD= (Z BAE+Z CDE , Z BAE+Z CDEZ AED Z AFD=Z AED(3 )由(1)的结论得Z AGDZ BAF+Z CDG而射线 DC沿 DE翻折交AF于点G, Z

31、CDG=Z CDF, Z AGDZ BAF+4/ CDF玄 BAE+2/ CDEZ BAE+2 (Z AED-Z BAE)=2Z AED-Z BAE/ 90°-Z AGD=180 - 2Z AED 90°- 2Z AED+Z BAE=180 - 2Z AED Z BAE=60 .14. 如图1.将线段 AB平移至CD使A与D对应，B与C对应，连 AD BC(1) 填空：AB与CD的关系为 AB/ CD且AB=CD , Z B与Z D的大小关系为相等(2) 如图2,若Z B=60 , F、E为BC的延长线上的点，Z EFD=Z EDF, DG平分Z CDE交BE于G 求Z F

32、DG(3) 在(2)中，若Z B=a，其它条件不变，则ZFDG=_.解：(1) AB/ CD 且 AB=CD Z B 与Z D 相等；(2 ) AB/ CD, Z DCEZ B ,由三角形的外角性质得，Z CDFZ DFE-Z DCE Z CDGZ CDF+Z FDGZ DFE-Z DCEZ FDG在厶 DEF 中，Z DEF=180 - 2 Z DFE 在厶 DFG中 , Z DGF=180 -Z FDG-Z DFE Z EDGZ DGF-Z DEF=180 -Z FDG-Z DFE-( 180°- 2 Z DFE =2Z DFE-Z FDG-Z DFE/ DG 平分Z CDE Z

33、 CDGZ EDG Z DFE-Z DCE+Z FDG=Z DFE-Z FDG-Z DFE Z FDG=Z DCE 即 Z FDGZ B, vZ B=60° , Z FDG=< 60° =30°(3) 思路同(2) , vZ B=a, Z FDG=故答案为：(1) AB/ CD 且 AB=CD 相等；(3).15. 问题情境：如图 1 , AB/ CD Z PAB=130 , Z PCD=120 ,求Z APC的度数.小明的思路是：过 P作PE/ AB,通过平行线性质来求Z APC(1 )按小明的思路，易求得Z APC的度数为 110 度；(2) 问题迁移：

34、如图 2 , AB/ CD,点P在射线OM上运动，记Z PABa, Z PCD甲，当点P在B、D两点之间运 动时，问Z APC与 a、B之间有何数量关系？请说明理由；(3) 在(2)的条件下，如果点 P在B D两点外侧运动时(点 P与点O B、D三点不重合)，请直接写出Z APC 与a、B之间的数量关系.(1 )解：过点 P 作 PE/ AB, / AB/ CD PE/ AB/ CD Z A+Z APE=180 , Z C+Z CPE=180 , Z PAB=130 , Z PCD=120 , Z AFE=50° , Z CPE=60 , Z APC=Z APE+Z CPE=110

35、.(2)Z APCa +3,理由：如图 2,过 P作 PE/ AB交 AC于 E ,/ AB/ CD AB/ PE/ CD /-a =Z APE 3 =Z CPE Z APC玄 APE+Z CPEa + 3；(3)如图所示，当 P在BD延长线上时，/ CPAa-B ;如图所示，当P在DB延长线上时，/ CPA节-a.16解：(1 )由MQ CD得到/仁/ 3,/ 2=7 4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分/ EFD, HM平分/ BHR得到/ 1 = / BHP / 2=/DFP,其依据为：角平分线定义. 故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义.(2) 如图 2,v HP

36、丄 EF,./HPE=90 , a/ EHP+7 HEP=180 - 90° =90°(三角形的内角和等于180°)又 AB/ CD a/ HEP玄 DFP a/ EHP+7 DFP=90 .由(1)得：/ HMF=(/EHP+7 DFP =X 90° =45°.(3) 如图 3,v NQ_ FMa / NFQ+/ FNQ=180 - 90° =90°(三角形的内角和等于180°).a/ NFQ=90 -/ FNQ / FN平分/ HFE FM平分/ EFD又/ NFQ/ NFE+/ QFE=(/HFE+/ EFD

37、 =/ HFDa / HFD=2/ NFQ 又T AB/ CD a/ EHF+/ HFD=180 ,a/ EHF=180 -/ HFD=180 -2 / NFQ=180 - 2 (90°-/ FNQ =2 / FNQ即无论点 H在何处都有/ EHF=2/ FNQ17.如图，某工程队从 A点出发，沿北偏西 67°方向修一条公路 AD,在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建 BC段，到达C点又改变方向，从 C点继续修建CE段，若使所修路段 CE/ AB, / ECB应为多少度？试说明理由.此时CE与BC有怎样的位置关系？以下是小刚不完整的解答，请帮她补充完整.解：由已知，根据两直线平行，同位角相等得/仁/ A=67°所以，/ CBD=23 +67°= 90 °根据 同旁内角互补，两直线平行当