数学运算之数的整除性专题

1、数学运算之数的整除性专题数学运算之数的整除性专题1、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能

2、整除这两个自然数中的一个。2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。(1)1与0的特性： 1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 (3)若一个整数的数字和能被3（9）整除，则这个整数能被3（9）整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4（25）整除，则这个数能被4（25）整除。 (5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 (6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 (7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。(8

3、)若一个整数的末尾三位数能被8（125）整除，则这个数能被8（125）整除。 (9)若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 (10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。（不够减时依次加11直至够减为止）。11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。 (11)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 (12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。 一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数

4、字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。(13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。(14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。 (15)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 (16)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19

5、整除。 (17)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。例题1.(2007年中央第60题)有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了()公斤面包。A.44 B.45 C.50 D.52【解析】本题是整除运算题目。由题意可知，6箱食品共重102公斤，设卖出的一箱面包为x公斤，又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，所以(102x)应是3的倍数，并且(102x)÷3应是其余5箱中一箱的重量或几箱重量的和。只有

6、当x27时符合条件，此时共有面包27(10227)÷352公斤。故选D。例题2.(2006年中央(一类)第50题，(二类)第34题)一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有()。A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【解析】本题要运用整除运算。根据“除以5余2”，可知该数的尾数为2或7；而根据“除以4余3”，可知其尾数只能为7，根据“除以9余7”，该数可以表示为9x7，其中x的范围为11至110；其中尾数为7的有9y7，其中y的范围为20至110，经检验可知，当y为30、50、70、90、110时，该三位数仍不能符合“除以4余3”的条件，即只有当y为20、40、

7、60、80、100时，该三位数才满足三个条件，因此共有5个三位数。故选A。例题3：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。【解析】一个以5为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时， 5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数

8、。例题4：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有 几个？【解析】三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是： 0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。 于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18个例题5：某个七位数1993能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次是多少？【解析】这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除， 所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。 这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。1993000/2520=790.22002520-2200=320 所以最后三位数依次是3、2、0。例题6：十个连续的自然