重庆市南岸区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

1、重庆市南岸区2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1.在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为2、5且胡c2 a2 bc若sin B sinC sin2 A,则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出的形状.【详解】在 ABC,角A且 b2+c2= a2+bc.222b c a 贝 U: cosA 2bcA的值，进一步利用正弦定理得到：b=c,最后判断出三角形B、C所对的边分别为a、b、c,bc 12bc 2由于：0v Av兀，故：A &a

2、mp; .由于：sin Bsin C= sin 2A,利用正弦定理得：bc=a2,所以：b2+c22bc=0,故：b=c,所以： AB8等边三角形.故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.2.在ABC中，角A, B,C的对边分别为a ,b, c.若 ABC为锐角三角形，且满足sin B(1 2cosC) 2sin AcosC cos Asin C ,则下列等式成立的是()A. a 2bB. b 2aC. A 2BD. B 2A【答案】A【解析】sin(A C) 2sin B cosC 2sin AcosC cosAs

3、in C所以 2sin BcosC sin AcosC 2sin B sin A 2b a ,选 A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到a 2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视3.如图，在4ABC上，D是BC上的点，且AC【答案】CC.6【详解】试题分析：根据题意设AD2x,则 AC CD,3x, AB 4x,在Aadc中由余弦定理可得2_ 2_ 2A2 4x 3x 3xcos ADC ：2 2x ；3xsin ADB sinADC.二在4A

4、DB中由正弦定理得sin BAD sin ADBAB,62x 3_4xC.CD , 2AC V3AD , AB 2AD ,则 sin B考点：正余弦定理的综合应用.224.已知Fi , F2是双曲线32_ a b1(a 0, b 0)的左、右焦点，过 Fi的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A, B,若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.、7B. 4C. 2_1D. . 33【答案】A【解析】试题分析：由双曲线定义得BF1 AF1 AF2 2a, BF2 BF1 2a BF2 4a,由余弦定理得(2c)2 (4a)2 (2a)2 2(4a)(2a)cos120vc2 7a2e 、

5、, 7考点：双曲线定义【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PFi| +|PFW >|FiF2| ,双曲线的定义中要求 |PF i| |PF2| < |F尸2 ,抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图 .f a6f 26 1 f 63 f 0 0,则：f & f a63.本题选择A选项.6.数列an满足ai 、1 ,且对任意的n N都有an 1,1an n 1,则数列 一的前100an项的和为()A 101八.100【答案】B200B. 101C.99100D.101200先利用

6、累加法求出ann(n 1),再利用裂项相消法求解an 1an一 anan1,1,anananan 1an 2IIIa2 a1a1(n 1) (n2) “I 2n(n21)ann(n1)，数列的前100项的和为:an11011101200101故选:B.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力7.定义“规范01数列” an如下：an共有2m项，其中m项为0, m项为1,且对任意k< 2m,ai,a2,|,ak,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范 01数列”共有B. 16 个D. 12 个A. 18 个C. 1

7、4 个【答案】C【解析】1,则具体的排法列表如下:Q00Q1111101110110100_1110110100_1101000111_0_110【详解】试题分析：由题意，得必有a1 0, %,01010011；010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计 数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇 制胜的效果.Sn8.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn与Tn,对一切自然数n ,都有 T n【解析】B.9C. 10D.1011【分析】取n 9代入计算得到答案9 a1a99a5C99 blb

8、99b5 ，a5又当n 9时,S99T 6a5S9b5T9910故选:C.【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系,判断9是解题的关键.9.已知偶函数f X在区间0,)单调递增，则满足 f(2x 1)1,Ef -的X取值范围是() 3A.1 23,3B.C.1 22,3D.由题意可得f(2x 1)取值范围，得到答案.再利用函数的单调性和奇偶性可得2x 1【详解】由题意，函数x为偶函数，且在区间(0,)上为单调递增函数,一1又因为 f(2x 1)f(-)3 10,即 f(2x 1) f(1), 3八 ，112 ,2x 1 ,求得x ,故选A.333【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性

9、的应用，其中根据函数的奇偶性和函数的单1倜性，把不等式转化为 2x 1-求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能3力，属于基础题.10 .已知定义在 R上的偶函数f x ,其导函数为f x ；当 x 0时，恒有xf(x) f( x) 0,若 g(x) x f(x),则不等式 g(x) g(1 2x)的解集为()2A. -,13B.1,3(1,)C.-, 3D.【解析】【分析】根据题干得到x2fX是偶函数，通过求导得到函数g X 在 0,0从而得到X2x因为是定义在R上的偶函数,2 .X也是偶函数，故g Xx2fX是偶函2Xf2x f xX，当X 0时，恒有f2x 0,故当X0时,0,

10、即函数g X0,0故自变量离轴越远函数值越小，故X2x故答案为：A.【点睛】这个题目考查了抽象函数的奇偶性的应用，以及导数在研究函数的单调性中的应用,导数在研究不等式中的应用；题目中等.对于函数奇偶性，奇函数乘以奇函数仍然是奇函数, 偶函数乘以偶函数仍然是偶函数11 .已知F1, F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1 PF2，线段PF12e2的垂直平分线过 F2,若椭圆的离心率为 e,双曲线的离心率为 e2,则一 二的最小值为（） e12A. ,6B. 3C. 6D. .3【答案】C【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示答案.2 e,再利用均值不等

11、式得到e12F1F2F2P 2c,又：|FF |F2P 2ai, |FiP |F2P 2a2 ,两式相减，可得:FiP 2c 2ai, |FiP2c 2a2,2eie2211 2 e22alc2c , 1 e q 2 c 2a224 2c a2 a2 c2ca28ca24a22ca24a1a22ca2a24 2 c2a2【详解】设椭圆长轴2a1，双曲线实轴2a2,由题意可知:c2a22,当且仅当2a2故选:C.【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示2e2是解题的关e 2键，意在考查学生的计算能力12.已知函数f(x)满足f(x) f( x),且当x (,0 时，f (

12、x) xf (x) 0 成立，若a 20.6 f 20.6 , b (ln 2) f (ln 2) , c1 log2 81 log2 一则a, b, c的大小关系是8()c时等立, 2 a22 e2 ，一一 一的取小值为 6,e12A. a bB. c b aC. a c bD.cab【答案】D【解析】构造函数h(x) xf(x),由y f(x)是R上的偶函数，y x是r上的奇函数，得h(x) xf(x)是r上的奇函数，h(x)在(，0)递减，在(0,)递减，得3 20.6 1,106 .0 ln2 1, log2-2 . In 2 .推出结果，即 b a c,故选 D.8二、填空题(本大题

13、共 4小题，共20.0分)13.设等比数列an满足 a1 +a2 =- 1,a-a3 =- 3,贝Ua4 = .【答案】-8【解析】设等比数列 an的公比为q,很明显q 1 ,结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：a1a2a1 1q1,2，由才可得：q 2，代入可得a11 ,a1a3al 1q214.已知实数a 0, b 0,也是8a与2b的等比中项，则 的最小值是 . a b【答案】5 2 、. 6【解析】分析】通过我是8a与2b的等比中项得到3a b 1,利用均值不等式求得最小值.【详解】实数a 0, b 0, J2是8a与2b的等比中项，3,3由等比数列的通项公式可得a4 a1q 8.

14、【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程8a 2b 2,23ab 2 ,解得 3a b 1 .3a5 1 J 5嘴6a 5 2卮当且仅当b "即a 1 ，6, b J6 2时取等号. 3故答案为：5 2,6 .【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式,的代换是解题的关键.15.已知a, b, c分别为zXABC的三个内角A, B, C的对边，a 2且(2 b)(sin A sin B) (c b)si

15、n C ,则 ABC面积的最大值为.【答案】,3【解析】【详解】由已知 a b a bb2 c2 4 bc 4 b2 c2一 1 一一S ABC bcsin A 32c b c,即 b2 c2 a2bc bc, 一1 一bccosA 一得 A 60 ,216.若直线l： x my J2与曲线的面积取最大值时，实数 m的取隹C : y . 1 x2相交于A,B两点，O为坐标原点，当 AOB【解析】【分析】点。到l的距离d22,将 AOB的面积用d表示出来，再利用均值不等式得到答案1 m2【详解】曲线y.厂x2表示圆心在原点，半径为1的圆的上半圆,3n立若直线l与曲线相交于 A, B两点，则直线l

16、的斜率m 0,则点。到l的距离d,21 m2又S八 S AOB112-AB d 2V1 d2d221 d2 d2122 '211 m22当且仅当1 d A 21 cosA 2 /cos 2cos A 1 2cos A 1 d2,即d23时，S：aob取得最大值.所以d22解得m73( mJ3舍去)故答案为33 .【点睛】本题考查了点到直线的距离，三角形面积，均值不等式，意在考查学生的计算能力三、解答题(本大题共 6小题，共70.0分)117. ABC中，角A, B, C所对边分别是a、b、c,且cos A -.32 B C (1)求 sin cos2A 的值；2(2)若a.73,求 A

17、BC面积的最大值.(1). 2 B C 一将sin2 cos2 A化简代入数据得到答案.29(2)利用余弦定理和均值不等式计算bc ，代入面积公式得到答案4【详解】 1 sin2 B-C cos2A sin2A 2cos2A 122二 2 1 11 ；299一， 一 1 一(2)由 cosA ，可得 sinA3由余弦定理可得a2 b2 c2即有bcw3a2 9 ,当且仅当b c 9,取得等号442则4ABC面积为JbcsinA 1 9 3& 巫.22 434J1 21, ,93c, A , 222,2.4.2bccosA b c bc 2bc bc - bc, 333即有b c 3时，

18、4ABC的面积取得最大值述. 24【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型18.已知数列 彳 前n项和为Sn,nN ,且Sn32 an（1）求数列 an的通项公式;2n(2)若bn ,设数列 bn的前n项和为Tn, nan 2 an 1*N，证明Tn【答案】（1） an3n1；【解析】【试题分析】（1） 义求得通项公式;数列的定法推证:(1)当 n 1 时 a13 a1当n 2时，SnSn 1 an2所以an3n 1,（2）由（1）得:bnan两式相减得:23323Tn木3132,故|Tnn3nT，所以Tn点睛：解答本题的思路是充分借助题设条件,先探求数列的

19、的通项公式，再运用错位相减法3 2n 3n , Tn -4 3n41)中的结论求得bn2nan2 an 1n3n,运用错位相减求和法求得Tn3 2n进而运用简单缩放法推得 Tn -，使得问题获解。419.已知函数f(x)x3a 3 a是指数函数.求f (x)表达式;(2)判断 F(x)f (x)f ( x)的奇偶性，并加以证明(3)解不等式:loga(1x) loga(x 2).1f (x) 2 (2) rn 工正弗, ( 3) x I 2 x I x/ J t N1 口v 3 7 x | 2/1【答案】(1)(2)根据指数函数定义彳a2 Qo 1榆到较案 a 3a 3 1.t .x x F

20、( x) F )三2 困T ( ( x), ) 于与3.利用函数的单调性彳F(x) 2x求解前项和。解答第一问时，先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系，再运用 等比数列的定义求得通项公式；解答第二问时，先依据(一 一-，、 2 - x【详解】解：(1) ,.'ilH f (x) a ,a 3 a是指数函数 0日a 1 “I 川 l 川 |. / * 八 ' J J vx j Ats J 曰 ><A , * IL d Ix a2 3a 3 1,可a 2或 a 去)，f (x) 2 ； I-1 J(2)由(1)得 F(x) 2x 2 x,，F( x) 2 x

21、2x,F( x) F(x),F(x)是奇函数；(3)不等式：log2(1 x) log2(x 2),以2为底单调递增，即1 x x 2 0,八1. 1、2 x 2 ,解集为x| 2 x-.【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力20.选彳4-5 :不等式选讲，一11,，、八已知函数f(x) x - x ，M为不等式f(x) 2的解集 22(I)求 M(n)证明：当 a, b M 时，a b 1 ab.【答案】(i) M x| 1 x 1 ； (n)详见解析.【解析】试题分析：(I)先去掉绝对值，再分 x111一x一和x三种情况解不等式,222时，a b 1(

22、n)由(i)知，当 a,b M时,1 a 1, 1 b 1,从而可得 ；(II )采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a, bc12x,x -,211试题解析：(I) f (x) 1, - x -, 222x,x -.21当x 时，由f(x) 2得2x 2,解得x 1 ;2,11，当一x 时，f(x) 2；221当x 时，由f (x) 2得2x 2,解得x 1. 2所以f(x) 2的解集M x| 1 x 1.(a b)2 (1 ab)2 a2 b2 a2b2 1 (a2 1)(1 b2) 0,因此a b 1 ab.【考点】绝对值不等式，不等式的证明 .【名师点睛】形如 x a x b c

23、 (或 c)型的不等式主要有两种解法:(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,a, (a,b, (b,)(此处设a b)三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集.(2)图象法：作出函数 y1x a x b和y2 c的图象，结合图象求解.*1 2121.已知数列 斗 前n项和Sn，点n, Sn n N 在函数y - x x的图象上. 22求an的通项公式；11(2)设数列 的刖n项和为Tn,不等式Tn Toga(1 a)对任意的正整数恒成立，求anan 23实数a的取值范围.1【答案】(1) an n ； (2) (0,

24、-).【解析】试题分析：(1)将点的坐标代入函数的方程得到Sn2 n21n .利用an2S1，n 1%n Sn1,n可求得数列的通项公式为ann .(2)利用裂项求和法求得Tn ，1 , 11J递增的数列，当n1时有最小值为，所以Toga1 a ,解得a03332试题解析:Sn工n2'n .22 一.121.(1)7点n,Sn在函数f x -x2 x的图象上,22121当 n 2 时，Sn 1 n 1 n 1 ,22-得an当n 1时，为 Si 1,符合上式*an n n N11(2)由(1)得anan 2 n n 21a®1a2a4III1anan 2111111，23 2

25、 4 n n 2i IJn1Tn0,数列Tn单调递增,1,1Tn中的最小项为T1. 3一一_1 .要使不等式Tn -log a 1 a对任意正整数门恒成立, 311只要一一loga 1 a , 3 3即 loga 1 alogaa . m1解得0a, 2,，1即实数a的取值范围为 0,一2点睛：本题主要考查函数与数列，考查已知数列前n项和Sn,求数列通项an的方法，即用公S,n 1式an .要注意3证当n 1时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项Sn Sn 1,n 1是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.22.扇形AOB中心角为60 ,所在圆半径为 J3,它按如图（I）（ n）两种方式有内接矩形 CDEF 矩形CDEF的顶点C、D在扇形白半径 OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA±,设 EOB ;（2）点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF勺顶点DE在圆弧AB上，且关于直线 OM寸称，顶点CF分别在半径OB OA±,设 EOM试研究（1）（2）两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？、3【答案】方式一最大值 2【解析】【详