金融数学课程论文

1、ZHtJIANC UNIVERSHAT FUR WlSSENSClIAFT UND TCCHNlK一、二叉树模型中的参数估计1.1二叉树参数估计算法原理想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的和d,但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理 呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。原理：Hull-White算法.1 一令p并用如下公式计算u和d:2(i) u-2d 1 t(ii) u d 2 . t我们假设：SX1S0& 1 Xk 1Sk这里Xk是独立的伯努利随机变量,Pr0/Skiuc c1PrSk/Sk1 d-Word文档1 n

2、U 一 (Xkn k 11)则我们可以得出u t和2 t的合理估计值为:1 n (Sk/Sk 1 1)n k 1其中:21_2-2s (Sk/Sk 1 1) nU n 1 k iU和s2是来自实际市场数据 工、5、S2， &的样本均值和样本差，我们可以得 出u和的估计值为:U t s t则:u 1 t . td 1 t t1.2举例应用我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见 附件1.5_67q1011股价2013-1-243, 92013-1-343. 42013-1-42013-1-72013-1-843.43.43.44, 45.43. S343. 6g2013-1-9

3、2013-1-102013-1-112013-1-142013TT5比率0. 997931L 0066821. 0032040. 9936311 1. 002742 0. 998861 1.010265 1.017611 0. 998891样本均侑 1. 001986 样本标推差0, 010568 木转数量12?由表可知，U 1.001986 1 0.001986 ,s 0.010568,这个二叉树中所用的t和与数据的t相同，公式u和d可以简化成：u 1 U s 1.012554d 1 U s 0.991418S0 55.56做4期二叉树图为：样本均值1.00198S55.56释本标准差工 0

4、1056855. 0831 ft5& 25T51徉本数量1276104255.T746956,963Tg54.1 仇 7355.强钝 156, 474957.6784253. 67T07S4.8214455. 9902157.183958, 40304UL012&54d0.991H8*55.56 这里的t是一天，我们通过选择更大的时间问隔，令t 7,即以一为一个时间段，则有:u 1 U s(. 7) 1.033215 d 1 U(7) s(.7) 0.977293 S0 55.564期二叉树图变为:h - h54.5?t885B6当时间间隔知天时54. CC8957. 072C

5、560. 30913U1 0416353,249365员就超4阻蜘"62,有3时dC. 985泗二52, 5即55. 473525E, i：52461, 95045E5.如揭So55. 56再t 15令即以半个月为一个时间段，则有:u 1 U(15) s( 15) 1.07072d 1 U (15) s(.15) 0.988858S0 55.564期二叉树图又变为:当时间问隅为15天可5； .S6U1. 07072E4.狗U卯S9. 48921d,：(:受二5,322型5B,82M63.69629%匹男K3. 72K2G8.17097£2.弱乳6E, 2006953.1M9

6、55T. 5228562. 284836T.49LQ2T3. U240f由于该题的t可以改变，时间问隔越长，股价 分叉”得更快。几布朗运动估计与模拟2.1几布朗运动参数估计原理令S(t)代表某股票在t时刻的价格，由以下公式给出 S的模型。dS Sdt SdB其中，、 是常量，B服从布朗运动，而该程的解就是几布朗运动。即：2 St So exp Bt (/2)t其中，Bt是均值为0,差为t的正态随机变量，由此得到的就是股价的几布 朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前， 要对股价模型进行参数估计，即波动率和漂移率。假设我们得到了在一段较长时间0, T的股价数据记录，

7、这段时间由n个长度 相等的子区间t组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为：S:第i个子区间末的股价样本观测值为n+1个；令U表示均值，则：_n一 1 U n Uii 1样本差用S2表示，则：n一 221S2 (n 1) 1 (Ui U)i 1而U的观测值的均值为(2/2) t,差为2 to即：-2_U (/2) t22s22 t最后算的参数和为:2_u S /2 口 X及 S/V tt而对于Bt ,则需要随机产生一系列标准正态分布， 通过累加处理获得计算所需要的值。也可运用对数正态分布模型，即：ST SoeWT (2/2)T其中，WT是一个均值为0,差为T的随机正态分布变量，WT

8、的获取与Bt相仿。2.2举例应用我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见 附件2.计算股价，先随机生成均值为0,差为n t的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下:ABCDEJHJK1日用的工涧括.用%僧任屿是阿利&格情心脚平娴Q. 0CQ422U22015-13依.必1工 77253.LO3-OLOtGonsi也期翼延CL 067600M咯4钠1上 DWTSML3017-1-434Z区"叫5'居9Q 口056鼬回几辞1网:庭QE询变弱$工7如5丁在羊壬0.0COT39T2543.钠3支 77711924-L.0L26L11J林。S3霞舒U九W婚猊

9、泣q2013-1-743.8343.喈口力晒1-0.00336S8SOlG&BT 少U. H75?eS手工 T1876890.20OLlS4dt-2015-1-843. T75X 77BK8腼0L QUOOQQQ口中E-0* QW59DP5瓯 B1Q2T4TTI湎涮戏2013-1-9以7763,圜脏5a 口区P郅阳CLetDteoitCL1汹的绯67, 6693439cqrt (TJ0.眄12E部0013-1-104U混7M -5卜-8,口-(1L0&11.3SKT.吃必-a 013731 u?59.1新强5$n123以别A51 "阳酗a 3变支e附0.07M2T2B

10、4以 23031&7扁而后将预测值与实际值进行比较，得到:股阶时比表腹挈现测他预测价格值时序根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为 0,差为1的标准正态分布随机数,而后进行处理生成预测值，结果如下:ACDJr t1I；L11睥k空却噩可守f咂铤112t%肱（里j rd眄般北单般I漠诩膻二妒嬲2阻1H-2此的11772SSH1J-,它0二虹魄力泡c跳*电7M网aoomMJ蜕罚声SOl则用期13北小1T心再2工 ,网出口工疗出"匚口口一,M眦般L业浦钝t._ .： j.443.693.it./.: .生一一刖融也网

11、把U.1泌喉匕口5皿的41134工题:闽q4鲫徵舐L时夜也1州位的做1T2：哪B姻跋期:飙rimI1S0C11J5D962C13-1-B43JT&110.10000000.7?山上 Q川嘘姓殂纲72W3-1-3TT617Y3Ma&l0团凝L氏:双2.窗般'海4CLL5OUT610.0H5?J47短把982013-1 111此眄7 r£而踏硼fi.'ir.H-匕了黑 1-3071130. J36I534""0.0U9WK&骂.旧以讥nIMm4114£X,既碗总阳12U蹴厘6如图骊f.,0183如区锁S,妆心10501

12、3-1-14做熟q士9伽M】T雨或L跋（型L5515F加(1(61211569：,D3IT®71112013-1-15犹旭103.修E：T<irin«n、皎沏0L峙法的小4叼时-773娥F而后将预测值与实际值进行比较，得到:股价对比招70股票观测值股票预测值1 1U 19 28 37 46 55 64 73 E2 91 100 109 118 127时间推移由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下:LrN0p口RSIu 1U：的黑咫效0. 00242201消州后时中月的肥价7«TM3E&E1 (

13、St>5)(tl-SiETC , J2 4 里位：股和划值20.010474441SO5九58-Oi 09HT氏的896T-0.H；W85 门 20. 002422Q0BEG 2BB461&13的归D. 00E739T26-D. 1.222E-D. 821249-0. M29GE1220100434401655. 351S91544 .U0. aUdOFEBTlT.836dE?, fsr'-0.1391118250. DO723BKd2BE昨那si gma0. 20011391：-i), 6(1233-3. 260061-0.170t3e：393 WM铝画3254. Z1

14、752TO56-0. 65301-3.91MS-0, 2O4R19STTOl 0121100395X . irS526BS7.L.yjiy-3. 353124-0. IT阳3四后UI非能L酬.4一- J?Sa128-L 2T4ST7. 6376-0. 242r4924»0. Oie®E40555X E30G02T4&血蛆-Hd90d-5.118103Y. K7K3TC4也 0191TBM3EX S9OL9OB111-LMflE-616202$F. :心然的3.oemei?n3 中也好11M鹤网-7,166233-0, 374674348n.陋.2 7952.队】制已

15、11Z01 MTE一比 703453-a. 3&L13efl0 02654Z0B75Ml癖日烟13-D,即 41-7, 405SG1-0, 3E7MU64T0. U2SOB4D955Z相奠口W2E101.邮融-6. 32SS03TL 331il2S2SCl帕1的轨晤53l1SC', 9VU23&-5.班 5TF. 21121424aOGO&lll54S539554SIt-o. orstt:,"一：T. 2S2W4B2L6谈0加1&:46： 51睡事预测欣1 r f T ¥ 1 11 m I E IT 1守不】*5 W不 ET 叼 R

16、弗 3T wi TJ TB 丁日q H E了 s犀 5F 时中三、B-S模型及多期二叉树的期权定价3.1.B-S期权定价公式：假设有一股票现价为So, V是看涨期权的价格，X执行价T到期时间 股价波动率 股价漂移率 r 无风险利率看涨期权V值可表示为：V SoN(di) XerTN(d2)其中：1 x x2 /2N(x) PZ xe dxln(S0/X) (r 2/2)Td2 d1T对于欧式看跌期权的价格P,可表示为:_rTPSoN( di) Xe N( d2);3.2举例应用我选用了 2013年11月16日的执行价，而后通过运用 BS公式及多期二叉树计算期权价格的式，将实际值与两法的预测值进

17、行比较，而后进行分析，详细数据见附件3。计算结果数据:hBCDEF1处选看裱期权价格3舟页裁用期权抵格多朗二叉机他口!的期权仃格对同跨度2013, L 5-201111462畋007.607. 61357EL 605142Miat0.3589011350.005.806.7773016,771143signa0.20203053452.505.30.鸵能留.B930745Ej6555.002.953.322m3.315394年利率i0.04.6立502.252.14D0512.149485i0, 0001CS589160.001.301.2999S9B1. 300029uL. 01255438

18、65.000,300,如36依C. 30S136d0.991418 -1%70-00Q.2。赢DJI39T3期效131再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图:OOOOOOOOO 00000 0 0 0 0 8.7.&5.13.ZLS塾与服噩从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较高,但对来说，BS的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一次的处理分析：12It君蛆111£V1*.'； Infill常帮111于3；哨"5“2的军的便tnT. 6135780.013578000.0037S6580. QO01

19、&4M2以1切56"9 |1&凤观6.7HM10.o.Lasanr0. 45511 Y2<513工却4.非施a也也也力制酊例。0.17EC5EM12.箫*鼠淅5q* ar比了前aQ. LFHnMMQQ 13911 喻2,252.U0061-OlLWWOCLggee侬a 013038733U 出>M期L 2339E9B-CLOOftOlOaoTLQM帅处：.a so0.4036M0. MKMMOa0.345546670.0107i6Z25丝OlS)0.104341我画淑心4侬州力也期2Z23弱,注明更，箱步期二夏期陶N的题双m特更墙坐修闻洲1t2 3EFSS

20、2SETII- 6。9】42Q* W9142000-0012890 O0OOS35B0,15752525工而7门1蝠Q.rniq 3sO.MS11B73翻四S.304一 B9307A-0. t)TTT网学0.I6555B77工转1 515»MQ.0. 133542工253.1'LXISE-0L1.1XJB1500-CL 04673 j j0. 01010327291301. 30OT290.00002030.00002231Q. 00000000300i3熊LJ6O.M>3t260Uo.oniioQa0. 0000661931aao0.117#7301 口驳，02TM0

21、.0074 帆&44最后算的，多期二叉树的预测误差的差为：0.162756979 ,而几布朗运动的预测误差的差为：0.15752995 ,由此也可以得出，几布朗运动拟合程度更好一些。四、对冲4.1 做题思路2 ,计算对冲，即计算 值， N(di),而di ln(S0/X)=包,对一 只股票，在一年的时间里，假设我们每进行一次对冲，那每相应的对冲值又该如 计算呢？在解这个题目时，最重要的计算出 S。的值，在第一时，S。为初始价，但到 了第二，So有所变动，它的值为：St So exp( Wt (2/2)T),而对于,其值等于到期时间数与总期数的比值。对于 Wt,先产生随机数，而后再将它转

22、换 为正态分布随机数。4.2 举例应用对于附件 2 里的数据，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005 , r=0.04，假设卖出1000股股票，在这样的情况下，实现对冲 为：ZJ P入学用致件仁+阳。口$ 口代¥1加占1 5皿4。如尸|可金口共5口皿T6鹏四父诗输入初始股价S器 修薮I以年为单位约时间】： 9.S15B6B4?请输入刑率八0.04请输入执行侨X：到期时间周敝股要价格E.01154,26953.78353.33152.S9953.326b4.UU355.466175C.B13请输入漂移率讪

23、二 0.72318005请输入波动率苫iST吃二B.2B283653售输A卖出的期权教9：dl 0.821 HZ?方 0,709 0/佑 0/22 0.5?9 0/比 a-viu 0.866 1.024Ndl&.7970.7R20.7610.7498.8t)80.048股票股数 79 7»2 ?61 74B ?35719735 7b4807B4B课程小结：对于金融数学这门课程，一个多星期的计算机操作，让我惊叹。突然间才 发现，这是一门综合性特别强的学科，才明白自己在某些知识点的掌握上拿捏得 不是很好，所以做起来还是有一定的挑战性的， 可能在学习理论知识的时候，这 样的缺陷不是

24、暴露的特别明显。一开始决定编写C语言，是因为自己电脑上安装了这一软件，如果赶不上进度自己可以补一下，最后才发现自己这一举动是那 么的正确，因为自己在 C这面学的不扎实，下课后，我还不得不窝在电脑前一 次次修改程序，不过看到自己的程序可以完美实现的时候，真的真的特别开心，废寝忘食”的程序员生活，稍稍体验了一把，才可以懂得他们为什么会有很大的 情绪波动。在做这个课程设计的时候，最麻烦的是计算积分与产生正态分布随机 变量，这个涉及到了数值计算法和概率统计的知识，自然，C语言是基础，在计算积分的时候，我运用了复合梯形公式，但在n的取值上遇到了一点问题，不能 很好地把握它的取值。在后面进行分析比较时，我

25、运用了统计预测与决策的相关 知识。总的来说，这一个星期真的过的特别充实，懂得了时间的概念。但是时间 比较紧，我们要做的容又比较多，做的还是不够精细。源程序如下：欧式看涨期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("%f",&s

26、0);printf("请输入每期利率i:n");scanf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d",&n);

27、r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%.6lf ",akj);printf("n");printf("期权二叉树为:n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj>X)anj=an

28、j-X；elseanj=0；printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)； printf("%.6lf ",akj);printf("n");printf("欧式看涨期权定价为：");printf("%f n",a01);欧式看跌期权：#include "stdio.h" #include "std

29、lib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("%f",&s0);printf("请输入每期利率i:n");scanf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf(&q

30、uot;请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d",&n);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj

31、=s0*w*v；printf("%f ",akj);printf("n");printf("期权二叉树为:n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj<X)anj=X-anj;else anj=0；printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；pr

32、intf("%f ",akj);printf("n");printf("欧式看跌期权定价为：");printf("%f n",a01);欧式向上敲出障碍看跌期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h" #include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf("请输入初始价s0

33、:n");scanf("%f",&s0);printf("请输入每期利率i:n");scanf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n

34、");scanf("%d",&n);printf("请输入向上敲出障碍期权 Q:n");scanf("%f",&Q);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q;printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%f ",akj);printf("n");printf(&

35、quot;期权二叉树为:n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj<X&&anj<Q)anj=X-anj;elseanj=0；printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)if(akj<Q)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；elseakj=0；printf("%f ",akj);p

36、rintf("n");printf("欧式向上敲出障碍看跌期权定价为：");printf("%f n",a01);欧式向上敲出障碍看涨期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("

37、%f",&s0);printf("请输入每期利率i:n");scanf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d

38、",&n);printf（"请输入向上敲出障碍期权Q:n"）;scanf("%f",&Q);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q；printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%f ",akj);printf("n");printf("期权二叉树为：n");fo

39、r(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj>X&&anj<Q)anj=anj-X;elseanj=0;printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)if(akj<Q)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；elseakj=0；printf("%f ",akj);printf("n");pr

40、intf("欧式向上敲出障碍看涨期权定价为:");printf("%f n",a01);欧式向下敲出障碍看跌期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("%f",&s0);print

41、f("请输入每期利率i:n");scanf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d",&n);printf(”

42、请输入向下敲出障碍期权 Q:n");scanf("%f",&Q);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q；printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%f ",akj);printf("n");printf("期权二叉树为：n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,

43、j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj<X&&anj>Q)anj=X-anj;elseanj=0;printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)if(akj>Q)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；elseakj=0；printf("%f ",akj);printf("n");printf("欧式向下敲出障碍看跌期权定价为：

44、");printf("%f n",a01);欧式向下敲出障碍看涨期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("%f",&s0);printf("请输入每期利率i:n");s

45、canf("%f",&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);Word文档printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d",&n);printf(”请输入向下敲出障碍期权 Q:n"

46、);scanf("%f',&Q);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q；printf("股价二叉树为：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%f ",akj);printf("n");Word文档printf("期权二叉树为：n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j

47、+1);akj=s0*w*v；if(anj>X&&anj>Q)anj=anj-X;elseanj=0;printf("%f ",anj);printf("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)if(akj>Q)akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；elseWord文档akj=0；printf("%f ",akj);printf("n");printf("欧式向下敲出障碍看涨期权定价为:");pr

48、intf("%f n",a01);美式看跌期权：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 100main() int n,k,j;float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T;float aNN+1;printf("请输入初始价s0:n");scanf("%f",&s0);printf("请输入每期利率i:n");scanf("%f&qu

49、ot;,&i);printf("请输入增长因子u:n");scanf("%f",&u);printf("请输入下降因子d:n");scanf("%f",&d);printf("请输入执行价X:n");scanf("%f",&X);printf("请输入期数n:n");scanf("%d",&n);r=exp(-i);q=(1/r-d)/(u-d);p=1-q；printf("股价二叉树为

50、：n");for(k=0;k<=n;k+)for(j=1;j<=k+1;j+)w=pow(u,j-1);v=pow(d,k-j+1);akj=s0*w*v；printf("%f ",akj);Word文档printf("n");printf("期权二叉树为：n");for(j=n+1;j>=1;j-)w=pow(u,j-1);v=pow(d,n-j+1);akj=s0*w*v；if(anj<X)anj=X-anj;elseanj=0;printf("%f ",anj);printf

51、("n");for(k=n-1;k>=0;k-)for(j=k+1;j>=1;j-)T=X-akj;akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1)；Word文档if(T<akj)akj=ak用;elseakj=T；printf("%f ",akj);printf("n");printf("美式看跌期权定价为：");printf("%f n",a01);欧式看涨期权BS价格：#include<stdio.h>#include<math.h>#define d -1000#define pi 3.1415926double f(double x)return ex