点、线、平面投影培训教程

1、点、线、平面投影培训教程 3.1 3.1 投影法的基本知识投影法的基本知识3.1.1 投影法的概念3.1.2 投影法的分类3.1.3 三视图的形成3.1.1 3.1.1 投影法的概念投影法的概念1. 1. 中心投影法中心投影法2. 2. 平行投影法平行投影法 3.1.2 3.1.2 投影法的分类投影法的分类1. 1. 中心投影法中心投影法投射线由投射中心出发的投影方法，称为中心投影法。中心投影法。 改变物体与投影面间的距离，物体的投影发生变化 。用中心投影法画出的图形称为透视图，其立体感强，符合人们的视觉习惯，常用于绘制建筑效果图；但透视图作图复杂，度量性差，不适合绘制机械图样。c2. 平行投

2、影法：平行投影法： 投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法平行投影法。 （1） 斜投影法斜投影法（2） 正投影法正投影法3.1.3 三视图的形成三视图的形成 1.1.三投影面体系三投影面体系 将三个两两互相垂直的平面作为投影面，组成一个三投影面体系，如将三个两两互相垂直的平面作为投影面，组成一个三投影面体系，如图所示。其中水平投影面用图所示。其中水平投影面用H H标记，简称水平面或标记，简称水平面或H H面；正立投影面用面；正立投影面用V V标记，标记，简称正立面或简称正立面或V V面；侧立投影面用面；侧立投影面用W W标记，简称侧面或标记，简称侧面或W W面。两投影面的交线面。两投影面的交

3、线称为投影轴，称为投影轴，H H面与面与V V面的交线为面的交线为OXOX轴，轴，H H面与面与W W面的交线为面的交线为OYOY轴，轴，V V面与面与W W面面的交线为的交线为OZOZ轴，三条投影轴两两互相垂直并汇交于原点轴，三条投影轴两两互相垂直并汇交于原点O O。三个投影面把空。三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。间分成八个部分，称为八个分角。OZXYVHW正立投影面水平投影面侧立投影面三投影面体系三投影面体系 2.三视图的形成三视图的形成 将物体放置于三面投影体系中，并注意安放位置适宜，即把形体的主要将物体放置于三面投影体系中，并注意安放位置适宜，即把形体的主要表面与三个投影面

4、对应平行，用正投影法进行投影，即可得到三个方向的正表面与三个投影面对应平行，用正投影法进行投影，即可得到三个方向的正投影图，如图所示。从前向后投影，在投影图，如图所示。从前向后投影，在V面得到正面投影图，叫主视图；从面得到正面投影图，叫主视图；从上向下投影，在上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯视图；从左向右投影，在面上得到水平投影，叫俯视图；从左向右投影，在W面上面上得到侧面投影图，叫左视图。这样就得到了物体的主、俯、左三个视图。得到侧面投影图，叫左视图。这样就得到了物体的主、俯、左三个视图。ZXYVHW从左向右从上向下从前向后主俯左 三视图的形成三视图的形成 返回返回 为了把三个投影面上

5、的投影画在一张二维的图纸上，我们假设沿为了把三个投影面上的投影画在一张二维的图纸上，我们假设沿OY投影轴投影轴将三投影面体系剪开，保持将三投影面体系剪开，保持V面不动，面不动，H面沿面沿OX轴向下旋转轴向下旋转90，w面沿面沿OZ轴轴向后旋转向后旋转90，展开三投影面体系，使三个投影面处于同一个平面内，如图，展开三投影面体系，使三个投影面处于同一个平面内，如图2-16所示。需要注意的是：这时所示。需要注意的是：这时Y轴分为两条，一条随轴分为两条，一条随H面旋转到面旋转到OZ轴的正下方，用轴的正下方，用YH表示；一条随表示；一条随W面旋转到面旋转到OX轴的正右方，用轴的正右方，用YW表示，如图所

6、示。表示，如图所示。 ZXVHWYHYW三投影面体系的展开三投影面体系的展开 实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不注写实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不注写H、V、W字样，也不必画出投影轴（又叫无轴投影），只要按方位置和投影字样，也不必画出投影轴（又叫无轴投影），只要按方位置和投影关系，画出主、俯、左三个视图即可，如下图关系，画出主、俯、左三个视图即可，如下图b，这就是形体的三面，这就是形体的三面正投影图，简称正投影图，简称三视图。三视图。ZXVYHYWWH主视图俯视图左视图长高高长宽宽a)b)形体的三视图形体的三视图3 三视图之间的投影关系三视图之间的投影关系 在三

7、投影面体系中，形体的在三投影面体系中，形体的X X轴方向（左右间）尺寸称为长度，轴方向（左右间）尺寸称为长度，Y Y轴方向轴方向（前后间）尺寸称为宽度，（前后间）尺寸称为宽度，Z Z轴方向（上下间）尺寸称为高度。在形体的三轴方向（上下间）尺寸称为高度。在形体的三面投影中，水平投影图和正面投影图在面投影中，水平投影图和正面投影图在X X轴方向都反映物体的长度，它们的轴方向都反映物体的长度，它们的位置左右应对正，即位置左右应对正，即“长对正长对正”。正面投影图和侧面投影图在。正面投影图和侧面投影图在Z Z轴方向都反轴方向都反映物体的高度，它们的位置上下应对齐，即映物体的高度，它们的位置上下应对齐，

8、即“高平齐高平齐”；水平投影图和侧面；水平投影图和侧面投影图在投影图在Y Y轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即“宽相等宽相等”。ZXVYHYWWH主视图俯视图左视图长高高长宽宽a)b)主视图、俯视图长对正；主视图、俯视图长对正；主视图、左视图高平齐；主视图、左视图高平齐；俯视图、左视图宽相等。俯视图、左视图宽相等。 这称为这称为“三等关系三等关系”，也称，也称“三等规律三等规律”，它是形体的三视图之间最基本的投影，它是形体的三视图之间最基本的投影关系，是画图和读图的基础。应当注意，这种关系无论是对整个物体还是对物体局关系，是画图和读图的

9、基础。应当注意，这种关系无论是对整个物体还是对物体局部的每一点、线、面均符合。部的每一点、线、面均符合。ZXVYHYWWH主视图俯视图左视图长高高长宽宽a)b)3.2 点的投影点的投影3.2.1 3.2.1 点的三面投影点的三面投影3.2.2 3.2.2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系3.2.3 3.2.3 空间两点的相对位置的判定空间两点的相对位置的判定3.2.4 3.2.4 重影点及其可见性重影点及其可见性3.2.1 点的三面投影点的三面投影1 1. . 点的三面投影点的三面投影2 2. . 点的三面投影规律点的三面投影规律3 3. . 由点的两面投影求第三投影由点的两面

10、投影求第三投影1. 点的三面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影Aaaaaxaya z三投影面体系展开VWHa aa XOZYWYHaxaya zay点的三投影图点的三投影图2. 点的三面投影规律a aa XOZYWYHaxaya zaya a X轴，轴，a a Z轴，轴， a a z = a aya ax =a a y a ax = a a z aaaAaxaya z例例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。aa a XOZYWYH4. 根据点的两个投影求其第三投影根据点的两个投影求其第三投影例例2 已知点A的正面

11、与水平面投影，求点A的侧面投影。aa a XOZYWYH4. 根据点的两个投影求其第三投影根据点的两个投影求其第三投影3.2.2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 如果把投影面V视为坐标面XOZ，把投影面H视为坐标面XOY，把投影面W视为坐标面YOZ，把投影轴OX、OY、OZ作为三个坐标轴，原点仍为原点，则三投影面体系就是一个空间直角坐标系。aaaAaxaya z三面投影体系与直角坐标系的关系 在空间直角坐标系中，点A到投影面的距离可由点的坐标x、y、z表示 。aaaAaxaya zxyz点的直角坐标与三面投影的关系a aa XOZYWYHaxaya zay a a z = a

12、 ay =xa ax =aa y =za ax = a a z =y xyzy例题例题 已知点已知点A的坐标为的坐标为(10,20,15)，求其三面投影。，求其三面投影。YWYHZXO152010aaa”3.2.3 空间两点的相对位置的判定空间两点的相对位置的判定 空间两点的相对位置是指两点间的上、下，左、空间两点的相对位置是指两点间的上、下，左、右，前、后关系。可通过点的投影确定空间两点的相右，前、后关系。可通过点的投影确定空间两点的相对位置：对位置： 点的点的V V面投影可确定空间两点的左右和上下位置；面投影可确定空间两点的左右和上下位置； 点的点的H H面投影可确定空间两点的左右和前后位

13、置；面投影可确定空间两点的左右和前后位置； 点的点的W W面投影可确定空间两点的前后和上下位置。面投影可确定空间两点的前后和上下位置。由投影判断空间两点的位置a aa XOZYWYHbb b a a ab b bBA两点中两点中x值大值大的点在左的点在左两点中两点中y 值大值大的点在前的点在前 两点中两点中z 值大值大的点在上的点在上 设两点分别为A和B： 若A点的x坐标大于B点的x坐标，A点在左，B点在右； 若A点的z坐标大于B点的z坐标，A点在上，B点在下； 若A点的y坐标大于B点的y坐标，A点在前，B点在后。 空间两点的相对位置的判定 例题例题 已知点已知点A A在点在点B B之前之前5

14、 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，之右毫米，之右8 8毫米，求毫米，求点点A A的投影。的投影。a a a985b b bXZYWYHO3.2.4 重影点及其可见性 当空间两点位于一个投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影重合成一个点，称为重影，这空间两点就称为该投影面的重影点重影点。d(c)cda(b)abCDAB重影点的投影形成重影点的投影形成 在投影图中，判别重影点的可见性与观察方向有关，约定: 可见性观察方向为自上向下，自前向后，自左向可见性观察方向为自上向下，自前向后，自左向右右。 判别重影点的可见性方法可归纳为： （1）若两点的水平投影重合，z坐标值大者为可见。（2）若

15、两点的正面投影重合，y坐标值大者为可见。（3）若两点的侧面投影重合，x坐标值大者为可见。 规定，不可见点的重合投影加一圆括号不可见点的重合投影加一圆括号 例题例题 点点A在水平面上的投影可见在水平面上的投影可见YWYHZXOaa(b)a”bb”3. 3 直线的投影直线的投影3.3.1 直线的投影直线的投影3.3.2 各类位置直线的投影特性各类位置直线的投影特性3.3.3 直线上的点的投影直线上的点的投影3.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置3.3.5 垂直两直线的投影垂直两直线的投影3.3.1 直线的投影 直线的投影可由属于该直线的两点的投影来确定。在正投影法中，如果直线与投射线不平行，

16、直线的投影仍是直线直线的投影仍是直线。 如果直线与投射线平行，直线的投影直线的投影为一点。abc(d)DCBAH直线的三面投影ABbbabaaZXOY332 各类位置的直线的投影特性各类位置的直线的投影特性 一般位置直线 投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线 1. 一般位置直线ABbbabaa与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。 ( (一般位置直线对一般位置直线对H H面的倾角为面的倾角为，对，对V V面的倾角为面的倾角为；对；对W W面的倾角为面的倾角为) cosABab cosABbacosABba投影特性：投影特性：1 a b、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2 a

17、 b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 a b、a b 、a b 与投影轴夹角不反映与投影轴夹角不反映 、 、 大小大小ZXOY一般位置直线的投影图ZXaaaOYHYWbbb一般位置直线的投影特性为： 其三面投影均与投影轴倾斜，且小于线段的实长。其三面投影均与投影轴倾斜，且小于线段的实长。 各投影与投影轴的夹角均不反映一般位置直线对投影面的真实倾角。各投影与投影轴的夹角均不反映一般位置直线对投影面的真实倾角。2. 投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。有三种位置： 正平线正平线: 平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。

18、水平线水平线：平行于水平面，而与正面和侧面倾斜的直线。 侧平线侧平线：平行于侧面，而与水平面和正面倾斜的直线。 正平线：平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。aababbABZXOYXabab baOZYHYW 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 a b 与X轴、Z轴夹角反映、角的大小正平线的投影图正平线的投影图水平线 ：平行于正面，而与水平面和侧面倾斜的直线。aababb ABZXOYXa b ab baOZYHYW投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3ab与X轴、Y轴夹角分别反映、 角的大小水平线的投影图水平线的投影图侧平线平行于侧面

19、，而与水平面和正面倾斜的直线。 aa b a bbABZXOY投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3 ab与Y轴、Z轴夹角反映 、 角的大小XZa b bbaOYHYWa侧平线的投影图侧平线的投影图投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 在直线所平行的那个投影面上的投影反映在直线所平行的那个投影面上的投影反映线段的实长。线段的实长。 反映实长的那个投影与投影轴的夹角是直线反映实长的那个投影与投影轴的夹角是直线段与相应投影面的真实倾角。段与相应投影面的真实倾角。 在另外两个投影面上的投影，平行于相应的在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且长度小于实长。

20、投影轴，且长度小于实长。2. 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。有三种位置： 正垂线正垂线：与正面垂直的直线（与H面及W面平行） 铅垂线铅垂线：与水平面垂直的直线（与V面及W面平行） 侧垂线侧垂线：与侧面垂直的直线（与H面及V面平行）正垂线与正面垂直的直线（与H面及W面平行）投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =ABzXb(a)baOYHYWab正垂线的投影图正垂线的投影图babaABZXOYb（a）铅垂线与水平面垂直的直线（与V面及W面平行）b a(b)a abABZXOYZb Xa

21、ba(b)OYHYWa投影特性：1 a、 b 积聚 成一点 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB铅垂线的投影图铅垂线的投影图侧垂线与侧面垂直的直线（与H面及V面平行）ABbaa（b）abZXOY投影特性： 1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABZXa(b)baOYHYWab侧垂线的投影图侧垂线的投影图投影面垂直线的投影特性 在直线所垂直的那个投影面上的投影积聚在直线所垂直的那个投影面上的投影积聚为一点。为一点。 在另外两个投影面上的投影垂直于相应的在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且反映线段的真实长度。投影

22、轴，且反映线段的真实长度。 3.3.3 直线上的点的投影直线上的点的投影 1. 直线上点的投影规律2. 点分直线段的定比性定比性 1. 直线上的点的投影规律直线上的点的投影规律 如果点在直线上，则点的各个投影必在该如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上直线的同面投影上,且符合点的投影规律。且符合点的投影规律。 直线上的点的投影图直线上的点的投影图 根据点在直线上，则点的各个投影必在该直线的点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上同面投影上, ,且符合点的投影规律且符合点的投影规律这一特性，可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。例: 点的投影在直线的两个平行于投影轴的

23、投影上 ，判断 是否在直线上。点不在直线上点不在直线上 2. 点分直线段的定比性定比性 直线段上的点分直线段为两线段的长度之比等于点的各投影分同面直线投影长度之比AK:KBAK:KBak:kbak:kba a k k : k: k b b a ak k“ : k: kb b3.3.4 两直线的相对位置 1. 平行两直线2. 相交两直线 3. 交叉两直线1. 平行两直线 若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行或重合相互平行或重合。aAbdcBDC2. 相交两直线 当空间两直线相交时，则它们的各同面投影也必然相交，且交点的投影符合点的投影规律交点的投影符合点的投影规律。aAbdcBDC

24、3. 交叉两直线两直线既不平行也不相交，称两直线交叉 。3. 交叉两直线b Xa abc d dc11 (2 )2 交叉两直线可能有一组或二组同面投影互相平行,但决不可能三组同面投影都互相平行。 交叉两直线的同面投影，可能有一组、二组或三组同面投影都相交，但它们交点的投影一定不符合点的投影规律。 实际上，交叉两直线同面投影的交点是空间两直线上的对该投影面的一对重影点。 335 垂直两直线的投影垂直两直线的投影cXbacbaabcCAB 直角投影定理：当两直线成直角，且其中一条直线为某投影面平行线直角投影定理：当两直线成直角，且其中一条直线为某投影面平行线时，则两直线在该投影面上的投影仍成直角。

25、时，则两直线在该投影面上的投影仍成直角。 逆定理逆定理：若空间两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中有一条若空间两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中有一条直线为该投影面的平行线时，则此两直线在空间必定成直角。直线为该投影面的平行线时，则此两直线在空间必定成直角。3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.4.1 3.4.1 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法3.4.2 3.4.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3.4.3 3.4.3 平面上的直线和点平面上的直线和点 341 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法baacbcbaacbcaabcbcabcabcddbaa

26、cbc不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点直线与直线外一点直线与直线外一点相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线平面图形平面图形3.4.2 各种位置平面的投影特性1. 投影面的垂直面2. 投影面的平行面3. 一般位置平面1. 投影面的垂直面铅垂面正垂面侧垂面 垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面叫投影面垂直面叫投影面垂直面 （1）铅垂面XOVHWPABCacbabab bab cccXZYWOYH投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、abc 为ABC 的类似形 (3) abc 与OX、OY 的夹角反映、 角的真实大小铅

27、垂面投影图铅垂面投影图（2）正垂面XOVHWPABCacbDdXZYWOYHcdabab bab ccd d投影特性 (1) abc d 积聚为一条线 (2) abcd、 abc d 为ABCD的类似形 (3) abc d 与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小 正垂面投影图正垂面投影图（3）侧垂面XOVHWPABCab c投影特性 (1) abc 积聚为一条直线 (2) abc、 abc 为 ABC 的类似形 (3) abc 与OZ、OY 的夹角反映、角的大小 cbabbaccaOXZYWYH侧垂面投影图侧垂面投影图 投影面垂直面的投影特性 平面在它所垂直的投影面上积聚成平面在它所垂直的投

28、影面上积聚成倾斜于投影轴的直线段；该线段与投影轴倾斜于投影轴的直线段；该线段与投影轴的夹角，即平面对另外两个投影面的倾角。的夹角，即平面对另外两个投影面的倾角。 另外两个投影面上投影为平面图形另外两个投影面上投影为平面图形的类似形。的类似形。2. 投影面的平行面水平面正平面侧平面平行于一个投影面的平面叫投影面平行面平行于一个投影面的平面叫投影面平行面 （1）水平面XOVHWPABab ccabbacC投影特性： (1) abc、abc 积聚为一条直线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc 反映 ABC 实形 cabbbaaccXZYWOYH水平面的投影图水平面的投影图（2）正平面XOVHWcbPabcbcaCBAcabbacbcaXZYWOYH投影特性： (1) abc 、abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc 反映 ABC 实形