期权定价模型

1、精选ppt 返回目录下一页 期权的概念 期权（Option），又称选择权：是一种权利合约，给予其持有者在约定的时间，或在此时间之前的任何时刻，按约定的价格买入或卖出一定数量某种资产的权利 基础资产（Underlying Asset ）：期权合约中的资产精选ppt 期权的履行价或执行价（Exercise Price或Striking Price ）：在期权合约中所规定买入或卖出基础资产的价格期权的到期日（Maturing Date ）：期权的最后有效日期权费（Option Premium）或期权的价格或期权权利金：期权的买卖双方购买或出售期权合约的价格 返回目录上一页下一页精选ppt 期权交易的

2、特点 标的物是一种权利 期权购买方在交付期权费后便获得了履行合约与否的权利 期权的购买方只付出有限风险，获得无限收益，期权的出售方可能承担无限的亏损，获得有限的收益（期权费）返回目录上一页下一页精选ppt 期权的分类按购买者权利划分 看涨期权（买入期权） 看跌期权（卖出期权） 双重期权 按交割时间划分 美式期权 欧式期权 按交易品种划分 外汇期权 利率期权 股票期权 股票指数期权 返回目录上一页下一页精选ppt 返回目录上一页下一页是指期权的购买者享有在规定的有效期限内按某一具体的履约价格买进某一特定数量的相关金融资产的权利，但不负有必须买进的义务。看涨期权又称为。是指期权的购买者享有在规定的

3、有效期限内按某一具体的履约价格卖出某一特定数量的相关金融资产的权利，但不负有必须卖出的义务。看跌期权又称为。精选ppt 返回目录上一页下一页是指期权的购买者既享有在规定的有效期限内按某一具体的履约价格买进某一特定数量的相关金融资产的权利，又享有在规定的有效期限内按某一具体的履约价格卖出某一特定数量的相关金融资产的权利。这种期权实为在同一价格水平上，看涨期权和看跌期权的综合运用。精选ppt 返回目录上一页下一页指期权合约的购买方在合约到期日才能决定是否履约的期权。指期权合约的购买方在合约的有效期内的任何一个时间都能决定是否履约的期权。精选ppt 返回目录上一页下一页又称货币期权。是指外汇交易双方

4、根据标准化合约，买方买入在一定期限内可以按协定汇率向卖方购入或卖出一定数量外汇或外汇期货合约的权利，卖方收取期权费，并有义务应买方要求卖出或买入该笔外汇或外汇期货合约。期权的购买方可以在到期时不进行外汇或外汇期货合约的买卖，这时他损失的只是支付的期权费。 精选ppt是指期权的购买者支付期权费，从而获得在一定期限内按约定价格出售或购买一定数量有息资产的权利。利率期权的标的物包括：存款或贷款、债券及其利率期货，其中利率期货占有相当大的比重。是指买方支付权利金后，便有权在一定期限内按协定价格购买或出售特定数额的股票的权利。 返回目录上一页下一页精选ppt是指以股票指数为期权合约标的物的一种选择权，买

5、方有权在一定期限内按履约价格向卖方购买或出售特定的股票指数期货合约。由于股票指数期货合约的价格以点数表示，所以股票指数期权的价格也是以点数表示的，它与股票期权的价格直接以货币表示明显不同。 返回目录上一页下一页精选ppt返回目录下一页上一页期权与期货合同双方交付的比较 v期货合同双方交付的特点 期货合同双方的交付具有“直线”的性质 多头空头最终支付结算价格市场价格精选ppt期权与期货合同双方交付的比较 v期权合同双方交付的特点 多头空头最终支付结算价格市场价格返回目录上一页下一页精选ppt期权交易的盈亏v期权的价值 内在价值（Intrinsic value）： 当期权立即行使时的正净值 价内（

6、In the Money）或实值状态：具有内在价值的期权 价外（Out of the Money）或虚值状态：暂时没有内在价值的期权 平价（At the Money）或两平状态：交割价格和当前基础资产的市场价格一致 返回目录上一页下一页精选ppt看涨期权和看跌期权的价值关系 看涨期权看跌期权S X 价内价外S为基础资产的市场价格，X为履约价看涨期权的内在价值为：c=max（0，S-X） 看跌期权的内在价值为：p=max（0，X-S） 返回目录上一页下一页精选pptv期权的盈亏看涨期权的盈亏 签发一个看涨期权购买一个看涨期权期权费 期权费 利润 标的资产价格S +-X返回目录上一页下一页精选pp

7、t签发一个看跌期权购买一个看跌期权利润 +-X标的资产价格S 看跌期权的盈亏 返回目录上一页下一页精选pptv 单步二叉树模型 susdscuCdCtt+ttt+t返回目录上一页下一页基础资产的价格在时间t为 S，它可能在时间t+ 上升至uS或下降至dS，则相应的看涨期权的价格也相应地上升到 或下降到 ，C未知，为看涨期权在到期日前的一段时期的价值tuCdC精选ppt返回目录上一页下一页对于一个无红利支付的股票的看涨期权的一般情况，可构造一无套利资产组合，即以价格C卖出一个看涨期权同时以价格S买入h股股票 ： 初始上升下降股票价值ShuShdSh期权价值C组合的总价值Sh-CuSh-dSh-u

8、CdCuCdCdSuSCChdu精选pptTrdufeCqqCC1dudeqTrf组合的初始价值必然等于组合到期日以无风险利率贴现的现值： TrufeCuShTrdfeCdShCSh将h代入：其中v 两步二叉树模型 多期二叉树所采用的是倒退分析方式，即从二叉树的最右边开始，分枝进行定价，直到二叉树起点的那一枝 返回目录上一页下一页精选ppt设初始股票价格依然为 100，在两步二叉树图的每个 单步二叉树图中，股票上升 20%或下降 10% （u=1.2，d=0.9） ，且每个单步的期限为 1 年， 无风险年利率为 10%，期权的执行价格为 100。 返回目录上一页下一页精选ppt风险资产 看涨期

9、权 t t+1 t+2 t t+1 t+2 144 44 120 1Cu 100 108 C 8 90 1Cd 81 0 返回目录上一页下一页精选ppt图中，先分别考虑 t+1 至 t+2 期的两个单期模型， 或者说先利用单步二叉树定价模型（9.3.5） 、 （9.3.4） 式求出1uC、1dC 的值 q=9 . 02 . 19 . 01 . 0e=0.6839 1uC=0.6839*44+（1-0.6839）*8*1 . 0e=29.52 1dC=0.6839*8+（1-0.6839）*0*1 . 0e= 4.95 返回目录上一页下一页精选ppt然后再直接利用（9.3.4）式计算 t 至 t

10、+1 期的单期期权价格，即 C=0.6839*29.52+（1-0.6839）*4.95*1 . 0e=19.68 c=19.68 就是两期看涨期权的期权价格或期权费。 返回目录上一页下一页精选pptv 二叉树的进一步讨论 二叉树模型的另一种表达 利用股票与无风险债券的适当组合来复制。由于是对买权价值变动的一种完全复制，故复制组合的成本就是期权的价值。单期买入期权的复制组合由以下方式生成：买入h股股票 借入本金为B的无风险资金（卖空无风险债券） 返回目录上一页下一页精选pptShuShdShBTrfBeTrfBeCuCdC 初始上升下降股票价值 无风险债券的价值期权价值)(duSCCdSuSC

11、ChdududuCdShCuShTrdufeduuCdCBTrufeCuShShC返回目录上一页下一页精选ppt保值匹配率期权的保值匹配率是指，当基础资产的价格变化一个单位时，期权价值变化的单位数。 依此定义，可得期权保值匹配率为 SCh所以保值匹配率就是无套利资产组合或复制组合中股票多头的购买量 返回目录上一页下一页精选pptv所谓风险中性（risk-neutral）：投资者对风险大小无所谓，且对所有资产所要求的预期收益率相同，不要求风险补偿，即预期收益率都是无风险利率。 v考察期权的二叉树定价模型 TrdufeCqqCC1如果将变量q视为股票价格上升的概率，（1-q）则可视为股票价格下降的

12、概率，则期权价值就是期权预期收益率用无风险利率贴现的现值 vn期的一般定价公式为 )()1 ()!( !0jnjfdujnjnjTrCqqjnjneC返回目录上一页下一页精选ppt随机过程及布朗运动 返回目录上一页下一页v随机过程（stochastic process） 随机过程的概念设E是随机试验， = 是它的样本空间，T是一个参数集。若对于每一个t T，都有随机变量X(t, )， 与之对应，则称依赖于t的随机变量X(t, )为随机过程，或称为随机函数。 精选pptv随机过程（stochastic process） 随机过程的分类按照参数集（时间）可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程 按

13、照变量取值可分为离散变量随机过程和连续变量随机过程 按照过程的概率结构分类，有独立随机过程、独立增量随机过程、马尔可夫过程和平稳随机过程等 返回目录上一页下一页精选pptv维纳过程（wiener process）（布朗运动Brownian motion） 维纳过程的概念 如果随机过程X(t), t T=0， 满足： X(0)=0 X(t)是齐次的独立增量过程 对于每一个t0，有X(t)N(0, ) t2则称随机过程X(t)为维纳过程或布朗运动过程 返回目录上一页下一页精选pptv随机微分及ITO定理 维纳过程的马氏性 所谓马氏性是指，随机过程在时刻状态 已知的条件下，它在 （ ）所处的状态仅与

14、时刻 的状态有关，而与过程在时刻 以前的状态无关。 1ntntnt1nt1nt1nt tdWttXbdtttXatdX,),( 表示在无穷小时间间隔 的不可测事件 tWdt随机微分等式 和 分别是漂移率和扩散因子 ),(ttXa),(ttXb返回目录上一页下一页精选pptITO定理 设函数 。其中 = ，且 为一随机过程，并有随机微分),(tXFttX)(tXtXtttdWdtatdX)(0t 具有漂移率 和波动参数 ，且 = ， = )(tXtatta),(ttXat),(ttXttttttttdWXFdtXFtFaXFdF22221则函数遵循如下过程 ),(tXFt漂移率返回目录上一页下一

15、页精选pptv股票价格的行为过程 返回目录上一页下一页股票价格变动的ITO过程 设 为股票的期望收益率， 为股票收益率变动的方差率，则股票价格的瞬时期望漂移率为 、瞬时方差率为 ，其ITO表达式为 2S22StSdWSdtdStdWdtSdS或 因此，在时间 内，股票价格的变动率服从均值为 ，标准差为 的正态分布，即tttttNSS2,精选ppt返回目录上一页下一页股票价格收益率遵循维纳过程（假设股票价格服从对数正态分布，即股票价格的自然对数服从正态分布）： tdWdtdF22ttSNST220,2lnln由此可知，时间 内F的变化服从均值为 ，标准差为 的正态分布 ttt22精选ppt返回目

16、录上一页下一页v布莱克斯科尔斯（BlackScholes）模型的假设条件 资产的收益率服从正态分布 基础资产可以自由买卖，并可分割成若干部分基础资产可以卖空基础资产在到期日前不支付股息及其他收入以同样无风险利率可以进行借、贷，且连续发生期权为欧式期权，到期日前不可行使没有税收、交易成本和保证金要求基础资产价格连续基础资产价格和利率的变化在期权有效期内保持一贯 精选pptv看涨期权的布莱克斯科尔斯（BlackScholes）模型BlackScholes微分方程 CrSSCSCSrtCff222221该方程可以有许多解，它的解取决于衍生证券的边界条件在这里欧式看涨期权关键的边界条件是到期日的价值为

17、：C=max(S-X，0)；它的以无风险利率为贴现因子的现值为：C= max(S-X，0) trfe返回目录上一页下一页精选ppt风险中性的讨论 方程中不包含风险偏好相关变量，即风险偏好将不会对方程的解产生影响，因此，在决定c的模型中，便可以提出一个简单的假设，即所有投资者都是风险中性的所有投资者都是风险中性的。而在一个所有投资者都是风险中性的世界里，证券的预期收益率均为无风险利率 。fr所以欧式看涨期权现在价值为C= max(S-X，0) trfettrSNSfT220,2lnln并且在风险中性的世界里 ，fr返回目录上一页下一页精选ppt看涨期权的BlackScholes定价公式 201d

18、NeXSdNCtrfttrXSdf)5 . 0()/ln(201tdttrXSdf1202)5 . 0()/ln(其中： 返回目录上一页下一页精选ppt其中： 为标的资产当前的市场价格；X为期权的执行价格； 为无风险连续年复利； 为离期满日的时间，以占一年的几分之几表示； 为标的资产的风险，以连续计算的年回报率的标准差来测度；N（ ）和N（ ）分别表示在标准正态分布中（期望为0、方差为1的正态分布），出现结果小于 和 的累计概率。 0Sfrt1d1d2d2d返回目录上一页下一页精选ppt与二项式定价模型的比较 201dNeXSdNCtrf相当于二项式中的hB保值匹配率投资者应借入的无风险资产的

19、数额返回目录上一页下一页精选ppt静态分析 标的资产当前的市场价格 越高，看涨期权的价值也越高；期权的执行价格X越高，看涨期权的价值越低；离期满日的时间 越长，看涨期权的价值也越高；无风险连续年复利越高 ，看涨期权的价值也越高；标的资产的风险 越大，看涨期权的价值也越高。0Stfr返回目录上一页下一页精选pptv看跌期权的布莱克斯科尔斯（BlackScholes）模型看涨看跌平价 看涨看跌平价关系，可以通过构筑以下投资组合来得到说明：（1）卖出看涨期权，到期日为 ，期权执行价格为X；（2）买入与看涨期权到期日与执行价格相同的看跌期权；（3）买入基础资产；（4）借入与期权执行价格现值相等（ ）的

20、一笔无风险资产。ttrfXe022SdNdNeXptrf返回目录上一页下一页精选ppt静态分析 标的资产当前的市场价格 越高，看跌期权的价值就越低；期权的执行价格X越高，看跌期权的价值越高；离期满日的时间 越长，看跌期权的价值也越高；无风险连续年复利 越高，看跌期权的价值也越低；标的资产的风险 越大，看跌期权的价值也越高。0Stfr返回目录上一页下一页精选pptv买权定价公式的数学推导 由期权的基本特征知，期权（买权或看涨期权）的价值为： 。其中， 为标的资产在 时即到期日的预期市场价值， 为期权合约中的执行价。0 ,)(maxXTS)(TSTX在风险中性的世界里，买权价格应为 期望值的现值，

21、即0 ,)(maxXTS0 ,)(max),()(XTSEettsctTrf返回目录上一页下一页精选ppt令)(TSf为)(TS的密度函数，则： ),(ttsc )()()()(TSdTSfXTSeXtTrf （9.7.1） )()(lntsTS)(),(2tTtTuN 其中，为标的资产收益率的期望值。 令tTtTutsTSZ)()()(ln （9.7.2） 返回目录上一页下一页精选ppt则有，Z) 1 , 0(N， )()()(tTutTZetsTS （9.7.3） 又由对数正态分布密度函数的具体表达式知 )(TSf=2_2)(ln)()(ln)(21exp)(2)(1tstTTStTtTT

22、S )(TSf=)2exp()(2)(12)(ztTetstTutTZ )()(TSdTSf=222ZedX （9.7.5） 返回目录上一页下一页精选ppt将（9.7.5）式代入（9.7.1）式得 ),(ttscdZeXedZeetsdZtTrdZtTrutTZff22)(2)(2)(22 （9.7.6） 当Z时，w，代入（9.7.6）式右边第一项得 dZeetsdZtTrutTZf2)(2)(2 dweetstTdwtTrutTf2)(2)()(2122 （9.7.7） 返回目录上一页下一页精选ppt对（9.7.6）式中的第二项，令wZ，则dwdZ 当dZ时，dw 当Z时，w，则有 dwedwedZedwdwdZ2)(22222222 （9.7.8） 再将（9.7.8）式、 （9.7.7）式代入（9.7.6）式得： 返回目录上一页下一页精选ppt),(ttsc dweXedweetsdwtTrtTdwtTruff22)(2)(2)(21(222（9.7.9） 令dd 2，tTdtTdd21，即有期权定价公式 )()()(2)(1dNXedNtsctTrf （9.7.