高等数学（5）常微分方程 修正稿-

1、高等数学高等数学- -谢琳主讲谢琳主讲第四章第四章常微分方程初步常微分方程初步 微分方程理论，在整个高等数学体系中可以微分方程理论，在整个高等数学体系中可以算是最核心内容之一。很多近、现代数学数学算是最核心内容之一。很多近、现代数学数学理论分支的产生，几乎都是围绕着微分方程派理论分支的产生，几乎都是围绕着微分方程派生出来的。生出来的。 从现实应用的角度讲，微分方程也是在建立数学模从现实应用的角度讲，微分方程也是在建立数学模型时被运用得最多的。不仅仅是力学（最早运用微分型时被运用得最多的。不仅仅是力学（最早运用微分方程的领域）、物理学、化学这些基础学科，也包括方程的领域）、物理学、化学这些基础学

2、科，也包括生物学、经济学、金融理论，甚至社会学等领域，在生物学、经济学、金融理论，甚至社会学等领域，在构建其过程变化的模型时，也都会遇到微分方程问题。构建其过程变化的模型时，也都会遇到微分方程问题。 道理很简单，因为导数反映变化率，所以如果变化道理很简单，因为导数反映变化率，所以如果变化率和其他变量相关，就可能遇到微分方程。率和其他变量相关，就可能遇到微分方程。第四章作业第四章作业第二节：第二节：2（2,4）；）；3（2,4）；）； 4（2,4）；）；5；6；7（4）；）；8.第四节：第四节：2；4（2,3,6,8,9,10,15,16） 5；6（2）；）；8；10；11.第五节：第五节：1（

3、2,3）；）；2；3；4.第四章第四章 常微分方程初步常微分方程初步1 基本概念；基本概念；2 2 初等积分法；初等积分法；3 3 一阶方程建模（阅读材料一阶方程建模（阅读材料- -略）；略）；4 4 高阶线性微分方程；高阶线性微分方程；5 5 线性微分方程组线性微分方程组微分方程的基本概念微分方程的基本概念1 基本概念基本概念2 作为数学模型的微分方程作为数学模型的微分方程 1 与微分方程相关的基本概念与微分方程相关的基本概念（1）微分方程微分方程：包含自变量、未知函数及其导数：包含自变量、未知函数及其导数（或微分）的等式称为（或微分）的等式称为微分方程微分方程。如果方程中的未知。如果方程中

4、的未知函数是一元函数。则称方程为函数是一元函数。则称方程为常微分方程常微分方程。例如：。例如：xdxdy2 （i） ；）时时（2,1 yx且且 。（ii） ；kMdtdM 且有且有 。）（0)0(MM （iii）pthxkdtdxndtxdsin2222 其中，出现未知函数导数的最高阶数称为其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶方程的阶。（2） 线性与非线性微分方程：假设微分方程中线性与非线性微分方程：假设微分方程中的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现的，方程就称为的，方程就称为线性线性的；否则就是的；否则就是非线性非线性的。的。2)(bx

5、axbxaxdtdx )()()(32xgbyyay niiixgya0)()(一般线性方程的形式为：一般线性方程的形式为： 。下面是两个非线性方程的例子：下面是两个非线性方程的例子：；。（3）关于微分方程的解：）关于微分方程的解：方程的解；通解、积分方程的解；通解、积分曲线族；特解、积分曲线；定解条件（个数）；初始曲线族；特解、积分曲线；定解条件（个数）；初始条件与初值问题。条件与初值问题。下面通过一个例子说明这些概念。下面通过一个例子说明这些概念。例例 考虑一个简单方程：考虑一个简单方程：tnnAedtxd ，其中，其中 是常数。是常数。A【例【例4-1】（曲线的方程问题）设一曲线通过点】

6、（曲线的方程问题）设一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为处的切线斜率为2x，求此曲，求此曲线方程线方程【例【例4-2】（放射性元素的衰变问题）放射性元素铀，】（放射性元素的衰变问题）放射性元素铀，由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变由原子物理学的含量就不断减少，这种现象叫衰变由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成成正比如果时刻正比如果时刻t=0时铀的含量为时铀的含量为M0，试求在衰变过，试求在衰变

7、过程中铀在任一时刻程中铀在任一时刻t的含量的含量M(t)【前述方程（【前述方程（ii）】【见前述方程（【见前述方程（i）】【例【例4-3】（弹簧振动问题）设有一弹簧，它的上端固】（弹簧振动问题）设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为定，下端挂一个质量为m的物体，弹簧伸长的物体，弹簧伸长l后就会处后就会处于静止状态，这个位置就是物体的平衡位置如果用于静止状态，这个位置就是物体的平衡位置如果用力将物体向下拉至某一位置，然后突然放开，那么物力将物体向下拉至某一位置，然后突然放开，那么物体就会在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的运体就会在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的运动规律动规律x（图（

8、图4-14-1）lOxa)简谐振动（无阻尼自由振动）简谐振动（无阻尼自由振动）220d xmcxdtb) 有阻尼自由振动有阻尼自由振动，设阻力与速度成正比，为，设阻力与速度成正比，为dtdxR ，则有方程，则有方程dtdxcxdtxdm 22将其将其“首一化首一化”，即得：，即得：。0222 xkdtdxndtxdc)有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动，设有铅直干扰力，设有铅直干扰力ptHFsin ，pthxkdtdxndtxdsin2222 其中其中 。mHh 2 关于数学模型关于数学模型 （1）在构建数学模型的时候，首先要搞清楚所）在构建数学模型的时候，首先要搞清楚所要探讨的对象是什么？建立模型

9、的目的是什么？要探讨的对象是什么？建立模型的目的是什么？（2）在（）在（1）明确的情况下，确定构建模型）明确的情况下，确定构建模型的系统因素，即选择与目的和对象有关的变量。的系统因素，即选择与目的和对象有关的变量。 当然，选择模型所涉及的变量，有一定的主观性。当然，选择模型所涉及的变量，有一定的主观性。考虑的变量太多，会使模型过于复杂，太少也可考虑的变量太多，会使模型过于复杂，太少也可能使模型严重失真。这往往需要权衡能使模型严重失真。这往往需要权衡（3）作出假设。没有假设，就没有数学的应用。）作出假设。没有假设，就没有数学的应用。当然，要尽可能使假设合理。但假设是否合理，当然，要尽可能使假设合

10、理。但假设是否合理，往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的。往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的。 这是一相当主观的模型。尽管据说比较准确反映这是一相当主观的模型。尽管据说比较准确反映了美国了美国70年左右的人口增长。但是那时候的美国却年左右的人口增长。但是那时候的美国却是大量移民的时代。多数文献似乎不太提及这一点。是大量移民的时代。多数文献似乎不太提及这一点。（4）关于马尔萨斯的人口模型）关于马尔萨斯的人口模型 。kPdtdP 一个可以做调整的相对静态模型是：一个可以做调整的相对静态模型是：)(PPfdtdP 说它是说它是相对静态相对静态，因为这个模型假设人口增长，因为这个模型假设人口

11、增长仅仅与仅仅与“瞬时人口瞬时人口”相关，而与其它社会与自然相关，而与其它社会与自然因素无关（比如计划生育政策因素无关（比如计划生育政策-一点历史比较）。一点历史比较）。不过这个模型常用来描述动物数量增长。不过这个模型常用来描述动物数量增长。（5）关于牛顿热力学定律）关于牛顿热力学定律 ： 其含义无非是说，温度变化速率与温差成正比。其含义无非是说，温度变化速率与温差成正比。)(mTTkdtdT 微分方程的初等积分法微分方程的初等积分法1.一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程3.利用变量代换化简方程利用变量代换化简方程 绝大多数的微分方程，是无法用解析法（代数

12、和绝大多数的微分方程，是无法用解析法（代数和积分方法）求解的。积分方法）求解的。 当然，总有一些微分方程可以解出其未知函数。当然，总有一些微分方程可以解出其未知函数。 本章各节中，主要介绍可以用解析方法解出来的本章各节中，主要介绍可以用解析方法解出来的某些类型的常微分方程。某些类型的常微分方程。 更为深入的方程理论，不在本教程的要求范围。更为深入的方程理论，不在本教程的要求范围。1.一阶可分离变量的微分方程一阶可分离变量的微分方程 此类方程，可以直接分离变量，实际相当于两个此类方程，可以直接分离变量，实际相当于两个一阶微分形式的等式。从解法上讲，属最简单的。一阶微分形式的等式。从解法上讲，属最

13、简单的。 解这类方程就是直接积分。如果涉及的函数可积，解这类方程就是直接积分。如果涉及的函数可积，也就解出了方程。但是此类方程得到的往往是也就解出了方程。但是此类方程得到的往往是隐式通隐式通解解，在解决初值问题时，注意这一点。，在解决初值问题时，注意这一点。【例【例4-4】求方程】求方程 的通解的通解22(1)(1)0 xydxyxdy【例【例4-5】求解初值问题】求解初值问题 .4)0(0sin)1(cos yydyeydxx注：事实上，由解析法解微分方程，基本途径总是注：事实上，由解析法解微分方程，基本途径总是要把微分方程变换成可以求积分的形式。而要把微分方程变换成可以求积分的形式。而“可

14、分可分离变量离变量”，便是此类形式中最重要、最基本的形式。，便是此类形式中最重要、最基本的形式。 下面一系列微分方程的解法，基本上是用下面一系列微分方程的解法，基本上是用变量代换变量代换将方程转化为可分离变量的形式。将方程转化为可分离变量的形式。221(1)ycx将相同变元分离到一边，易解得：将相同变元分离到一边，易解得：1cos;2 2 .xecy c分离不同变量到两侧，易解得：分离不同变量到两侧，易解得：2.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 从方程分类角度讲，类似在代数学中的一元线性方从方程分类角度讲，类似在代数学中的一元线性方程，一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了。程，一阶线性微分

15、方程应该是最简单的微分方程了。不过从方程的形式上看，一阶微分方程有两个相互关不过从方程的形式上看，一阶微分方程有两个相互关联的未知元（未知函数及其导函数）。联的未知元（未知函数及其导函数）。 尽管一阶线性微分方程最简单，可是掌握这类方程尽管一阶线性微分方程最简单，可是掌握这类方程的解法和解的结构形式，却是进一步探讨其它复杂方的解法和解的结构形式，却是进一步探讨其它复杂方程的重要基础。程的重要基础。 类似于考察代数方程解的结构，对于微分方程也是类似于考察代数方程解的结构，对于微分方程也是首先考虑对应的齐次方程，因其可分离变量，故易解。首先考虑对应的齐次方程，因其可分离变量，故易解。 假设解出对应

16、齐次方程之后，再考虑一阶线性微分假设解出对应齐次方程之后，再考虑一阶线性微分方程解的结构应该具有什么形式。方程解的结构应该具有什么形式。)()(xqyxpdxdy （1）非齐次（代数）线性方程的通解是由其一个）非齐次（代数）线性方程的通解是由其一个特解加上对应齐次方程的通解得到的。特解加上对应齐次方程的通解得到的。 由于由于求导算子也是线性算子求导算子也是线性算子，可知关于线性微分，可知关于线性微分方程解的结构，这个结论也应该成立。方程解的结构，这个结论也应该成立。（2）一阶线性微分方程的标准形式为：）一阶线性微分方程的标准形式为：)()(xqyxpdxdy 或者简写为：或者简写为： 。qpy

17、y 其对应的齐次方程为其对应的齐次方程为0 pydxdy或或 。0 pyy为为可分离变量可分离变量的方程，计算（或看出）其通解为：的方程，计算（或看出）其通解为：-( )p x dxyCe （3）考察其特解的形式。如果熟悉导数公式的话，）考察其特解的形式。如果熟悉导数公式的话，在观察方程的时候，可以想到：在观察方程的时候，可以想到：( )( )( )( ( )( )( ( )p x dxp x dxp x dxdduu x ep x u x eedxdx 如果令如果令 ，( )( )p x dxyu x e 那么只要那么只要 pdxexqdxdu)(也就是也就是dxexqxudxxp )()(

18、)(即可满足方程。即可满足方程。于是我们得到一个解为：于是我们得到一个解为：)(dxqeeypdxpdx （4）方程的通解为：）方程的通解为： pdxCe)(dxqeeypdxpdx （注：这又是可分离变量的形式）。（注：这又是可分离变量的形式）。（5）关于常数变易法（一种变量代换法）。）关于常数变易法（一种变量代换法）。 回顾前面的分析过程。我们看到作为对应齐次方程回顾前面的分析过程。我们看到作为对应齐次方程解的函数解的函数pdxCe ，其乘积因子是常数项，其乘积因子是常数项C，求导，求导时时不能产生非齐次项。于是将其变换为待定的函数不能产生非齐次项。于是将其变换为待定的函数u(x)（所谓的

19、（所谓的常数变易法常数变易法），并由此将原方程），并由此将原方程变换为可变换为可分离变量分离变量（即可利用积分求解）的方程。（即可利用积分求解）的方程。【例【例4-6】求方程】求方程 的通解的通解522(1)1dyyxdxx （6）例题）例题( )22( );(1)1p x dxp xec xx 222( )(1)(1)2 (1)2 (1)(1)yu xxyu xu xu xx。用常数变易法：。用常数变易法：有有【例【例4-7】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它在点在点(x,y)处的切线斜率等于处的切线斜率等于2x+y)(dxqeeypdxpdx p

20、dxCe2(0)0dyxydxy ( 2)( 22)2(1)dxdxxxxxexedxcexeecxce (0)022(1)xycyex 代入公式可得通解：代入公式可得通解：由初始条件有：由初始条件有：22( )(1)(1)u xxuxc 可得：可得：32222( )(1)(1) ( (1)3yu xxyxxc注：这里仅为注：这里仅为常数变易法常数变易法做例。也可直接代入公式计算。做例。也可直接代入公式计算。 3.变量代换化简方程变量代换化简方程 前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在本质上也是利用变换，转化为本质上也是利用变换，转化为“可分离变量可分

21、离变量”的形的形式。式。 由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属于成功转化为于成功转化为“可分离变量可分离变量”的形式了。的形式了。 下面主要有两大类内容：下面主要有两大类内容： 变量代换的目的就是把方程变换为变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量可分离变量”的类型。的类型。（1）能变换为）能变换为“可直接分离变量可直接分离变量”的一类方程；的一类方程；（2）可变换为）可

22、变换为“一阶线性一阶线性”类型的方程。类型的方程。（1）能够变换为）能够变换为“可直接分离变量可直接分离变量”的一类方程：的一类方程：)(222111cybxacybxadxdy 111222dya xb ycdxa xb yc 或者其最简形式：或者其最简形式：（2）。）。分如下三种情况讨论：分如下三种情况讨论：120cc；（；（iii）1122,0,abab ；（1），），0,2211 baba0max2, 1 iic（ii）（i），（i）当）当 120cc时，方程为：时，方程为：)(xyhdxdy 此类型的方程称为（此类型的方程称为（0次）齐次（式）方程。次）齐次（式）方程。此时只需做变换

23、：此时只需做变换：xyu ，即，即xuy ，得，得dxduxudxdy 于是方程变换为于是方程变换为“变量分离型变量分离型”：xdxuuhdu )(解此方程并代回解此方程并代回xuy 即可。即可。注：这里关于齐次方程的变换，不仅仅限于方程（注：这里关于齐次方程的变换，不仅仅限于方程（1）的类型了。只要是的类型了。只要是 类型的齐次方程均可。类型的齐次方程均可。)(xyhdxdy （ii）0max2, 1 iic并且并且0,2211 baba时，做平移变换：时，做平移变换： *yxyxvu，其中：，其中：0,21*2211 ccyxbaba则方程（则方程（1）变换为齐次方程形式：）变换为齐次方程

24、形式：)(2211vbuavbuadudv 注：请注意这里线性变换与平移变换的意义注：请注意这里线性变换与平移变换的意义-齐次线性齐次线性方程组的通解与非齐次方程组的特解之间的关系与几何方程组的通解与非齐次方程组的特解之间的关系与几何意义。随着数学学习的深入，线性代数的内容和思想方意义。随着数学学习的深入，线性代数的内容和思想方法将不断的出现。法将不断的出现。（iii）1122,0,abab 时，时，22ua xb y1222()duucbadxuc 则方程（则方程（1）变换为可分离变量的形式：）变换为可分离变量的形式：。变换：。变换：。说明：教材中的说明：教材中的228页注（页注（i）中所述

25、情况，其实已）中所述情况，其实已经包含在这个范围之内了。无须特别讨论。经包含在这个范围之内了。无须特别讨论。其中的其中的2121bbaa 。0max2, 1 iic【例【例4-8】求解方程】求解方程=tan().dyyydxxx 【例【例4-9】求方程】求方程 的通解的通解13xyyxy xyu ( )tandududxh uuux 令令，则，则1,2,11YXYXXxYydYXYdXXYYuX 令令得得再令再令方程变换为：方程变换为：22211(1)(21)122(21)dYduuuXdXdXuu dud uudXuuuuX ，即有：，即有：（2)可变换为可变换为“一阶线性一阶线性”的微分方

26、程类型的微分方程类型 所谓一阶线性方程，有两个特点：一是线性；二所谓一阶线性方程，有两个特点：一是线性；二是一阶。一般情况下，非线性的高阶方程是不会变是一阶。一般情况下，非线性的高阶方程是不会变换成这样的简单情况的。但也有某些特殊情况，经换成这样的简单情况的。但也有某些特殊情况，经过适当的变换，可以归结为一阶线性方程。过适当的变换，可以归结为一阶线性方程。（i）某些可转化为线性方程的非线性一阶方程。）某些可转化为线性方程的非线性一阶方程。 （a）在常微分方程中，涉及到的主变量是两个，）在常微分方程中，涉及到的主变量是两个，比如说比如说x 和和y。此时，对于一阶方程而言，即可以将。此时，对于一阶

27、方程而言，即可以将y 看做看做x 的函数，也可以将的函数，也可以将x 看做看做y 的函数。这时，的函数。这时，只要方程对于某个变量是线性的，该方程就可以作只要方程对于某个变量是线性的，该方程就可以作为一阶线性方程求解了。下面便是一例：为一阶线性方程求解了。下面便是一例：【例【例4-10】求方程】求方程 的通解的通解21+y=(ln )dyx ydxx21yxdxdy 这里有这里有y 的高次项，对的高次项，对y来说，不是一个线性程，来说，不是一个线性程，但是将但是将x作为未知函数，方程便是线性方程了，即：作为未知函数，方程便是线性方程了，即：2yxdydx 。解之可得：。解之可得：yceyyx

28、222（b）伯努利方程：）伯努利方程：nyxQyxPdxdy)()( 令令，)1(1 nyzn代入，方程变换为：代入，方程变换为：)()1()()1(xQnzxPndxdz 。)()1()()1(xQnzxPndxdz 1ln ,zzxx - -22111(ln ) 12(ln ) 2zcxxyycxx 1 21=zyy 令令代入变换公式：代入变换公式：原方程变换为原方程变换为2yzy ，得，得这是一阶线性方程，解之可得：这是一阶线性方程，解之可得：（ii）某些可降阶的方程类型）某些可降阶的方程类型（a）)()(xfyn 此类方程，只需要逐次积分便可以了。此类方程，只需要逐次积分便可以了。（b

29、）方程中不显含因变量）方程中不显含因变量y 的情况。的情况。对于对于0),()()1()( nkkyyyxF，类型的方程，类型的方程，做变换：做变换：),1()( kyzk则方程变为则方程变为n-k阶。阶。【例【例4-11】求微分方程求微分方程 的通解的通解sinyxx 【例【例4-12】解方程】解方程22(1)10.xyy注：目前情况下，我们一般也只能解决此类二阶方程。注：目前情况下，我们一般也只能解决此类二阶方程。【例【例4-13】求解初值问题】求解初值问题31.(0)1,(0)0y yyy （c）不显含自变量）不显含自变量x 的方程：的方程：( )( ,)0nF y y yy ，做变换：

30、做变换：yyz )(，则方程可以降一阶。，则方程可以降一阶。但是方程往往也不再是线性方程了。因为此时有但是方程往往也不再是线性方程了。因为此时有;dzdz dydzyzdxdy dxdy 2222)(dydzzdyzdzy 等等。等等。注意：变换为以注意：变换为以y为自变量与为自变量与z的方程。计算多处理二的方程。计算多处理二阶情况。阶情况。高阶时注意约掉因子可能失根，因此失解高阶时注意约掉因子可能失根，因此失解。( )z yy 22231()dzyzzzzyycdyy (1)( , ,)0nF y z zz ，（关于（关于z的方程，的方程，y是自变量）是自变量）【例【例4-14】求解方程】求

31、解方程2()0.yyy（d）导数）导数=0的形式，首次积分法。的形式，首次积分法。若方程具有若方程具有),(),(0)1()( nnyyyxdxdyyyxF，的形式。则方程实际是的形式。则方程实际是(1)( , ,)nx y yyc ，这已经是这已经是n-1阶的方程了。阶的方程了。2()()0,.dyyyyyyycdx注：注：2(0)1,(0)01;1yycdyydx 222(0)1,11dyyydxyx 小结：本节的核心内容是小结：本节的核心内容是分离变量法分离变量法和和一阶线性方程一阶线性方程。其它几个变换，也都是为了将某些特殊类型的方程线其它几个变换，也都是为了将某些特殊类型的方程线性化

32、、低阶化，最终还是要分离变量，求积分。性化、低阶化，最终还是要分离变量，求积分。 解微分方程，一般的，说到底还是与积分相关的问解微分方程，一般的，说到底还是与积分相关的问题。题。 当然，在已经有了固定公式的情况下，可以直接代入当然，在已经有了固定公式的情况下，可以直接代入公式计算。公式计算。 不过，第四节以及后面的内容，仅从计算的角度讲，不过，第四节以及后面的内容，仅从计算的角度讲，积分却不是主角。起主要作用的是代数方法，解代数积分却不是主角。起主要作用的是代数方法，解代数方程或求矩阵的特征值等等。不过这只是对一类形式方程或求矩阵的特征值等等。不过这只是对一类形式简单的高阶方程或方程组（非简单

33、的高阶方程或方程组（非0次项系数为常数）而次项系数为常数）而言。其中积分（指数函数的积分）是潜在起着作用的。言。其中积分（指数函数的积分）是潜在起着作用的。附录。关于失去解的情况。考察下面例题：附录。关于失去解的情况。考察下面例题：23()()0.yyyy解方程解方程( ),z yy 0.z 解：因为方程中不显含解：因为方程中不显含x，可以设，可以设于是方程变换为于是方程变换为23200zzzzzzz以及以及求解这两个方程即可。求解这两个方程即可。20zzz ，yc 注：一般存在的问题是仅仅求解注：一般存在的问题是仅仅求解0.zy 忽略了忽略了 从而失去了从而失去了 这个解。这个解。问题：为什

34、么会出现三个看上去无关的解呢？问题：为什么会出现三个看上去无关的解呢？解答：因为解答：因为方程不是线性的方程不是线性的，有三次项。多出的一，有三次项。多出的一次，就意味着多出一个一次（一阶）方程作为因子。次，就意味着多出一个一次（一阶）方程作为因子。高阶线性微分方程高阶线性微分方程1.通解的某些结构关系；通解的某些结构关系；2.高阶常系数齐次线性方程；高阶常系数齐次线性方程；3.高阶常系数线性非齐次方程；高阶常系数线性非齐次方程；4.某些变系数线性方程。某些变系数线性方程。附录：齐次方程解的结构问题；附录：齐次方程解的结构问题； 一般的（一般的（n 阶）线性微分方程为如下形式：阶）线性微分方程

35、为如下形式：( )(1)1( )( )( )nnnya x yax yf x （1）( )(1)1( )0nnnya x yax y （ ）（ ）该方程对应的齐次方程为：该方程对应的齐次方程为：（2） 本节给出一些与线性微分方程的解有关的结论，都本节给出一些与线性微分方程的解有关的结论，都是相当直接的。是相当直接的。1.高阶线性微分方程解的某些关系高阶线性微分方程解的某些关系（1）高阶线性微分方程与其对应的齐次方程）高阶线性微分方程与其对应的齐次方程（2）齐次与非齐次线性微分方程的解）齐次与非齐次线性微分方程的解叠加原理叠加原理1（教材中的定理（教材中的定理4-2） 设设)(, )(),(21

36、xyxyxyn，是齐次方程是齐次方程（2）的一组解，则其线性组合的一组解，则其线性组合)(1xycinii 也是方程也是方程（2）的解。的解。下面的结论都是平凡的。下面的结论都是平凡的。如果引入算子符号如果引入算子符号 niiiidxdxaL0)(。即有：。即有：iiniidxydxaxyLyL 0)()()(则线性微分方程方程（则线性微分方程方程（1）与（）与（2）可以分别表示为：）可以分别表示为：( )L yf ( )0L y ；叠加原理叠加原理2（教材定理（教材定理4-6） 设设21)(,)(fyLfyL *2ty的特解。则的特解。则是方程是方程*1sy+12sftf )(1)()(in

37、iiyxayL =推论推论（教材定理（教材定理4-3的另一种表述）的另一种表述）*1y与与分别是方程分别是方程*2y1y是方程是方程（1）的解，则的解，则21yy 为方程为方程（2）的解，即存在的解，即存在（2）的的 12yy设设2y是方程是方程（1）解的充解的充要条件是要条件是解解，使得，使得 。的一个特解（其中的一个特解（其中 都是实数）。都是实数）。ts,程程（1）的一个特解，并且得到方程的一个特解，并且得到方程（2）通解的某种通解的某种表示形式，则表示形式，则方程方程（1）的通解的通解便可以便可以表示为表示为这个这个特特解与解与（2）的通解之和的通解之和。这便是这便是非齐次方程非齐次方

38、程（1）的的通解结构定理通解结构定理的内容（教材定理的内容（教材定理4-5）.分析：由以上结论可以看出，如果我们可以求得方分析：由以上结论可以看出，如果我们可以求得方 为了不为纯理论问题所困扰，在深入探讨线性齐为了不为纯理论问题所困扰，在深入探讨线性齐次微分方程解的结构问题之前，我们暂时先考虑次微分方程解的结构问题之前，我们暂时先考虑线性齐次微分方程的解法问题。线性齐次微分方程的解法问题。 接下来的问题便是，齐次线性微分方程的通解应该接下来的问题便是，齐次线性微分方程的通解应该是怎样的呢？这不是一个很平凡的结果。是怎样的呢？这不是一个很平凡的结果。2.高阶常系数齐次微分方程的解法高阶常系数齐次

39、微分方程的解法 尽管从理论上讲，线性微分方程解的这种关系已尽管从理论上讲，线性微分方程解的这种关系已经很清楚了，但是即便对于齐次线性方程也还没有具经很清楚了，但是即便对于齐次线性方程也还没有具体的解法。体的解法。 不过，如果齐次线性方程的各项系数都是常数，不过，如果齐次线性方程的各项系数都是常数，在理论上讲，其解法算是彻底给出了。有趣的是，解在理论上讲，其解法算是彻底给出了。有趣的是，解这类微分方程的问题，被归结为解代数方程。这类微分方程的问题，被归结为解代数方程。 然而，在归结为代数方程之前，然而，在归结为代数方程之前，首先是观察与猜测！首先是观察与猜测！ 前面已经说明，一般的前面已经说明，

40、一般的n阶线性微分方程的解，阶线性微分方程的解，可以表示为其一个特解与对应齐次方程的通解的和。可以表示为其一个特解与对应齐次方程的通解的和。 不夸张的说，解方程是数学永远的问题。因为总有不夸张的说，解方程是数学永远的问题。因为总有解不完的方程，也没有一劳永逸的解决方法。解不完的方程，也没有一劳永逸的解决方法。（1）欧拉待定指数函数法欧拉待定指数函数法( )(1)10nnnya ya y 设有系数都是常数的线性齐次方程：设有系数都是常数的线性齐次方程：（1） 显然，对于一阶的情况，很容易看出来，一个指数显然，对于一阶的情况，很容易看出来，一个指数函数可以是它的解。那么如果将一个指数形式的函函数可

41、以是它的解。那么如果将一个指数形式的函数，比如说将数，比如说将xey 代入到方程中，会得到什么结果呢？立刻得到代入到方程中，会得到什么结果呢？立刻得到一个如下的方程：一个如下的方程：xe 0)(111 nnnnaaa 而这个方程等价于：而这个方程等价于：1110nnnnaaa （2） 不难看出，如果得到代数方程（不难看出，如果得到代数方程（2）的一个根，也）的一个根，也就可以得到微分方程（就可以得到微分方程（1）的一个解。）的一个解。方程（方程（2）被）被称为齐次线性微分方程（称为齐次线性微分方程（1）的特征方程）的特征方程。其根被称。其根被称为为特征根特征根。 由于由于n 次代数方程有次代数

42、方程有n 个根，不难看出，这个转化，个根，不难看出，这个转化，提供了一个清晰的途径，可以解出微分方程（提供了一个清晰的途径，可以解出微分方程（1）的）的某些解。某些解。一般的，通过计算和讨论。可以得到如下结果：一般的，通过计算和讨论。可以得到如下结果： 注意到每个特征根对应方程的一个解，那么当特征注意到每个特征根对应方程的一个解，那么当特征方程恰好有方程恰好有n个相异实数根，对于齐次线性微分方程个相异实数根，对于齐次线性微分方程（1），我们起码可以给出），我们起码可以给出n个解个解.但是，这就便产生但是，这就便产生了几个问题。了几个问题。 问题问题1：如果特征方程的某个根是重根，比如说：如果特

43、征方程的某个根是重根，比如说k重根，重根，我们如何能够给出我们如何能够给出n个互不相关的解呢？个互不相关的解呢？ 问题问题2：假设特征根中有复数根，那么按照前面所说：假设特征根中有复数根，那么按照前面所说的方式，给出的解，会是复指数函数。那么，能不能的方式，给出的解，会是复指数函数。那么，能不能给出实函数的解呢？给出实函数的解呢？ 问题问题3：就算可以给出：就算可以给出n个解，是不是齐次方程的解个解，是不是齐次方程的解就都可以由这就都可以由这n个解表示呢？个解表示呢？ 会不会还存在着不能由这会不会还存在着不能由这n个解线性表示的解呢？个解线性表示的解呢？ 对于第三个问题，暂时不讨论（留待以后再

44、说）对于第三个问题，暂时不讨论（留待以后再说） 。 姑且假设，只要得到了姑且假设，只要得到了n个线性无关的解，其它的个线性无关的解，其它的解都可由这解都可由这n个解线性表示（即解决了通解问题）。个解线性表示（即解决了通解问题）。 下面先给出前两个问题的答案。下面先给出前两个问题的答案。表表1 n阶常系数齐次微分方程通解的组成函数阶常系数齐次微分方程通解的组成函数特征根情况特征根情况单实根单实根 k重实根重实根单重共轭复根单重共轭复根K重共轭复根重共轭复根方程通解中对应的解项方程通解中对应的解项 i i xce )(12321 kkxcxcxccxe x sinx cos1c2cxe （）+xe

45、 x sinx cos112()kkcc xc x +112()kkcc xc x 对于二阶方程，其特征方程的共轭复根只能是单对于二阶方程，其特征方程的共轭复根只能是单重的。下面分别讨论这些对应是怎样得到的。重的。下面分别讨论这些对应是怎样得到的。根据前面的表，容易看出来二阶方程通解的情况：根据前面的表，容易看出来二阶方程通解的情况：（i）两个相异实根）两个相异实根（ii）（iii）21, xxecec2121 通解通解；二重根二重根 通解为通解为12()cc x xe 共轭复根共轭复根 i 通解为通解为x sinx cos1c2cxe （）+注：（注：（i）是显然的；（）是显然的；（ii）注

46、意到对首）注意到对首1多项式多项式； （iii）此时通解形式的出处可以考虑欧拉公式。）此时通解形式的出处可以考虑欧拉公式。，其重根满足：，其重根满足：2 +0p 22+()xpxqx 22+0;+()0ypyqyxpxqx 附：关于（附：关于（ii）的推导过程。设二阶方程）的推导过程。设二阶方程2222( )( )( )( )( )( )2( )( )xxxxxxyxx yx eyx ex eyx ex ex e ；设设得得2222+(2)(+)( )0 xxypyqyeppqex ；代入代入只需满足只需满足，便得到方程的另一个解。，便得到方程的另一个解。( )xx 最简明可设最简明可设 ，即

47、可。，即可。【例【例4-24】求方程】求方程 的通解的通解.06 yyy【例【例4-25】求方程】求方程 满足初始条件满足初始条件0222 sdtdsdtsd2, 400 ttdtdss的特解的特解.【例【例4-26】求方程】求方程 的通解的通解.0134 yyy【例【例4-27】求方程】求方程 的通解的通解.02)5( yyy【例【例4-28】求初始问题】求初始问题 的解的解. 0)0()0(, 1)0(0539yyyyyyy3.高阶常系数非齐次微分方程的解法高阶常系数非齐次微分方程的解法 由可以理解的原因，这里仅仅考虑二阶方程。显然由可以理解的原因，这里仅仅考虑二阶方程。显然对于常系数非齐

48、次线性方程，主要的是找出其一个对于常系数非齐次线性方程，主要的是找出其一个特解。特解。 一般而言，我们考虑的非齐次方程中的非齐次项，一般而言，我们考虑的非齐次方程中的非齐次项，是初等函数，而最常见的是多项式、指数函数、三是初等函数，而最常见的是多项式、指数函数、三角函数以及它们的组合形式。角函数以及它们的组合形式。 解方程的基本方法是解方程的基本方法是待定系数法待定系数法。主要是。主要是代数方法代数方法。下面主要介绍三种情况，对应方程的非齐次项下面主要介绍三种情况，对应方程的非齐次项)(xf分别为：分别为：（i）指数函数与多项式的乘积；）指数函数与多项式的乘积；（ii）指数函数、多项式与三角函

49、数的乘积；）指数函数、多项式与三角函数的乘积；（iii）上述两类函数之和的情况。）上述两类函数之和的情况。（i）( )(1)1nnnya ya y )(xPemx 其中其中 miimimxbxP0)(是常数，是常数，是是m次多项式。次多项式。 由于指数函数与多项式的乘积的各阶导数依然还是由于指数函数与多项式的乘积的各阶导数依然还是指数函数与多项式的乘积。因此为求得（指数函数与多项式的乘积。因此为求得（1）的一个）的一个特解，可以合理的设该解也具有这样的形式。即设特解，可以合理的设该解也具有这样的形式。即设（1）)(*xQeyx 是方程的一个解。这里的是方程的一个解。这里的)(xQ是一个待定的多

50、项式。是一个待定的多项式。（1*）将（将（1*）代入方程（）代入方程（1）可得如下等式：）可得如下等式：下面仅以二阶方程为例，说明如何确定下面仅以二阶方程为例，说明如何确定)(xQ。高阶。高阶方程的情况完全类似。只是公式和符号略显繁复，可方程的情况完全类似。只是公式和符号略显繁复，可以自行推导和讨论。以自行推导和讨论。mPQqpQpQ )()2(2 （1*） miimixa0( )mQx设有一个待定的设有一个待定的m次多项式为：次多项式为：下面分三种情况考虑：下面分三种情况考虑：qp 2 （a）非非0，即，即不是特征方程的根，不是特征方程的根，则知则知)(xQ应该是是应该是是m次多项式。次多项

51、式。设设( )mQx利用待定系数法确定利用待定系数法确定( )mQx的各项系数即可。的各项系数即可。)(xQ=p 2（b）非非0，但是，但是qp 2=0，即，即 特征方程的一个单根，则特征方程的一个单根，则是是)(xQ 应该是一个应该是一个m次多次多项式，而项式，而)(xQ是一个是一个m+1次多项式，于是设次多项式，于是设)()(xxQxQm 同样可以用待定系数法确定同样可以用待定系数法确定( )mQx)(xQ的各项系数，也就的各项系数，也就求出了求出了。（c）如果）如果qp 2p 2与与均为均为0，即，即 是特征是特征重根。则重根。则)(xQ 是一个是一个m次多项式。次多项式。)(xQ应该是

52、应该是m+2次多项式。这时设次多项式。这时设2( )( )mQ xx Qx 依然由待定系数法，利用（依然由待定系数法，利用（1*）求出）求出)(xQ即可。即可。注注1：以上讨论不难看出对于一般的高阶方程（：以上讨论不难看出对于一般的高阶方程（1），），其特解的形式应该为：其特解的形式应该为：)(*xQexymxk （其中（其中 是是 作为特征根的重数）。作为特征根的重数）。k 【例【例4-29】求方程】求方程 的一个特解的一个特解.23522 xxyyy注注2 （求解方程（求解方程（1）基本步骤）先给出特征方程，）基本步骤）先给出特征方程，然后：然后： 检查检查 是特征方程的几重根，据此写出方

53、程待定是特征方程的几重根，据此写出方程待定特解的基本形式；特解的基本形式；最后给出原方的通解形式。最后给出原方的通解形式。将待定的特解代入方程，确定相关系数；将待定的特解代入方程，确定相关系数；如需要，根据特征方程给出对应齐次方程的通解；如需要，根据特征方程给出对应齐次方程的通解；解：非齐次项函数解：非齐次项函数f (x)=x2+3x+2=e0 x(x2+3x+2)，而，而 =0不是特征方程不是特征方程 的根，故可设特解为的根，故可设特解为2250 2yaxbxc 将将 及及 带入原方程，带入原方程，整理得整理得aybaxy2,2 2yaxbxc 23)54()52(522 xxcbaxbaa

54、x比较比较x同次幂的系数，得联立方程同次幂的系数，得联立方程 25435215cbabaa解之，得解之，得.12517,2513,51 cba由此得方程的一个特解为由此得方程的一个特解为.125172513512 xxy接续接续【例例4-29】【例【例4-30】求方程】求方程 的通解的通解.xxeyyy 23解：方程相应的齐次微分方程为解：方程相应的齐次微分方程为 ，其特，其特征方程为征方程为02 yyy023-2 ；特征根为；特征根为. 2121 ，由于由于 是特征方程的单根，故设原方程一个特解为是特征方程的单根，故设原方程一个特解为1 xebaxxy)( 将其带入原方程，整理得将其带入原方

55、程，整理得xbaax 22 于是有于是有 , 解得解得 ， 所以所以1,21 ba02 , 12 baa.)2(2xexxy 从而所求通解为从而所求通解为2212().2xxxxyc ec ex e 【例【例4-31】求解微分方程】求解微分方程xyyyye 3 34 42 2解：这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，其对解：这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次微分方程的特征方程为应的齐次微分方程的特征方程为 ，解出其特征根解出其特征根024323 .1,1, 1321ii 原方程非齐次项为原方程非齐次项为ex， 为特征方程的单根，故设为特征方程的单根，故设特解为特解为1 xAxe

56、y 从而从而xxxexAyexAyexAy)3(,)2(,)1( 带入原方程，可解得带入原方程，可解得A=1，于是得原方程的通解为，于是得原方程的通解为.)sincos(321xxxxexcxceecy （ii）第二种形式非齐次项（指、三、多组合）第二种形式非齐次项（指、三、多组合）( )(1)1nnnya ya y )(xf)sin)(cos)(xxBxxAemlx )(xf（2）其中其中)(xAl)(xBm lm,max mln 是常数，是常数，与与分别是分别是 次和次和次次多项式。取多项式。取，则方程（，则方程（2）的待定解）的待定解kx( )cos( )sin)xnneP xxQxx

57、具有如下形式：具有如下形式：*y*y （2*）)(xPn)(xQn其中其中与与均为均为n次多项式；次多项式；k是复数是复数 i 作为特征方程根的重数。作为特征方程根的重数。由于导出过程需要一些复变函数的知识，略去。由于导出过程需要一些复变函数的知识，略去。【例【例4-32】方程】方程 具有具有什么形式的特解？什么形式的特解？( cossin )xyyyexxx222222解：因特征方程解：因特征方程 的特征根为的特征根为0222 i 1 是是1重特征根，故重特征根，故k=1；Al(x)=x，l=1，Bn(x)=2，n=0，m=maxl,n=1，故设，故设Pm(x)=a0 x+a1，Qm(x)=

58、b0 x+b1于是，特解形式为于是，特解形式为ii 1, 1, 1 0101()cos()sin .xyxea xaxb xbx 【例【例4-33】求微分方程】求微分方程 的一个特解的一个特解.cosyyxx 2 2解：因特征方程解：因特征方程 的特征根为的特征根为012 i 而而 不是特征根，故不是特征根，故k=0;ii2, 2, 0 又又( )( )0max , 1lnA xxBxml n，；，故特解可设为故特解可设为,2sin)(2cos)(xdcxxbaxy 带入原方程得带入原方程得.2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax 先比较先比较cos2x,sin2

59、x同类项系数，得同类项系数，得 0433433adcxxcbax再比较再比较x的同次幂系数，得的同次幂系数，得 0430304313acccba解得：解得： 于是求得一个特解为于是求得一个特解为.94, 0, 0,31 dcba.2sin942cos31xxxy 接续接续【例例4-33】【例【例4-34】求微分方程】求微分方程 的通解的通解.+cosyyxx （iii）非齐次项是上述两种类型之和。）非齐次项是上述两种类型之和。此类方程，可利用叠加原理（即微分算子的线性性质）此类方程，可利用叠加原理（即微分算子的线性性质）分别求得特解。然后相加即可。下面以例子说明。分别求得特解。然后相加即可。下

60、面以例子说明。xyyxyycos 与与分别求出分别求出的特解：的特解：*1y*2y和和，则则*2*1*yyy 是原方程的一个特解。再求出对应是原方程的一个特解。再求出对应齐次方程的通解，相加即得原方程的通解。齐次方程的通解，相加即得原方程的通解。下面给出具体的计算过程。下面给出具体的计算过程。解：方程右端解：方程右端f (x)=x+cosx是由两项组成的根据是由两项组成的根据4.4.1节定理节定理4-6的叠加原理，可分别求出方程的叠加原理，可分别求出方程xyyxyycos 和和相应的相应的 特解分别记为特解分别记为 与与 1y 2y因特征方程因特征方程 的特征根为的特征根为 ，故，故 原原方程