高等数学（10）无穷级数

1、第九章第九章 无穷级数无穷级数1.常数项级数常数项级数2.正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法3.任意项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法4.函数项级数及其收敛性（！）函数项级数及其收敛性（！）5.幂级数幂级数6.傅里叶级数傅里叶级数9.1.常数项级数常数项级数1.常数项级数的概念；常数项级数的概念；2.常数项级数的性质。常数项级数的性质。第九章第一、二节作业l9-1:l1(3，4);2(3，4);3;4;5(2);7l9-2:l1(2,3,5,6,7);2(3,4,56);3(2,3);l4(1,4);5(1,2,4,5,7,8);8;9(1);121.关于常数项级数的基本概念关于常

2、数项级数的基本概念（1）引言引言 高等数学与初等数学最本质的区别之一，是无限与高等数学与初等数学最本质的区别之一，是无限与有限的区别。级数理论十分清楚的反映了这种区别。有限的区别。级数理论十分清楚的反映了这种区别。 所谓所谓无穷级数无穷级数（简称为（简称为级数级数），就是），就是用加号将无限用加号将无限多项常数或者函数依次连接起来的式子多项常数或者函数依次连接起来的式子。 我们知道怎样求有限个数（或函数）的和。但是，我们知道怎样求有限个数（或函数）的和。但是，从可操作性讲，人们是无法完成无限多次加法计算的。从可操作性讲，人们是无法完成无限多次加法计算的。 那么，那么，无限多个数怎样做和呢无限多

3、个数怎样做和呢？或者说，什么是？或者说，什么是无无穷级数的和穷级数的和呢？呢？ 接下来的问题是：接下来的问题是：级数和总能存在吗级数和总能存在吗？ 有限加法运算的运算法则（性质）可以推广到无穷有限加法运算的运算法则（性质）可以推广到无穷加法运算吗加法运算吗？或者需要什么条件可以运用那些法则？或者需要什么条件可以运用那些法则？ 在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的在具体讨论之前，先将我们所要讲的内容做简略的分类。所要讨论的级数有两大类：分类。所要讨论的级数有两大类： 1.数项级数数项级数；2函数项级数函数项级数。 数项级数本身是有意义的，但是函数项级数才是更数项级数本身是有意义的，但是函

4、数项级数才是更重要的。而了解数项级数，是探讨重要的。而了解数项级数，是探讨函数项级数函数项级数的基础。的基础。数项级数：数项级数： 321正项级数；正项级数；交错级数；交错级数；其它的一般项级数。其它的一般项级数。函数项级数：函数项级数： 321一般函数项级数的基本理论；一般函数项级数的基本理论；幂级数；幂级数；三角级数。三角级数。（2）数项级数的相关概念）数项级数的相关概念（i）数项级数数项级数；项项，一般项（通项）一般项（通项）；（ii）部分和部分和；部分和数列部分和数列；（iii）数项）数项级数和级数和的定义的定义-级数收敛级数收敛与与发散发散。（iv）收敛级数的余和。收敛级数的余和。注

5、：教材中用余和概念给出的必要条件（余和趋注：教材中用余和概念给出的必要条件（余和趋近于近于0）有逻辑问题）有逻辑问题-因为余和存在，已经意味着因为余和存在，已经意味着级数收敛了。如果不收敛，也没有余和。级数收敛了。如果不收敛，也没有余和。 如果在逻辑上严谨些，应该用如果在逻辑上严谨些，应该用余级数余级数概念，或者概念，或者就将这个余级数称为余和，即记就将这个余级数称为余和，即记 1nkknur称为级数称为级数 的余级数（或余和）。的余级数（或余和）。1kku 这里的这里的 仅具有形式符号的意义，并不代表数。仅具有形式符号的意义，并不代表数。nr（3）主要的问题）主要的问题（i）级数和的存在问题

6、）级数和的存在问题-收敛和发散的判定。收敛和发散的判定。 （这也是与有限运算最大的区别这也是与有限运算最大的区别）（ii）由以上问题派生出来的问题）由以上问题派生出来的问题- 有限加法运算法则（如结合律，交换律）在级数有限加法运算法则（如结合律，交换律）在级数求和中是否依然成立？求和中是否依然成立？ 如果不是，那么使用这些运算律的条件是什么？如果不是，那么使用这些运算律的条件是什么？ （搞清楚无穷运算与初等运算的区别搞清楚无穷运算与初等运算的区别）（iii）某些收敛级数和的计算问题。）某些收敛级数和的计算问题。 也是求极限的问题，往往需要大量的积累和技巧。也是求极限的问题，往往需要大量的积累和

7、技巧。【例【例9-2】讨论等比级数（几何级数）】讨论等比级数（几何级数） 的敛散性的敛散性. 0)0(nnnaaqaqaaq【例【例9-3】证明级数】证明级数 收敛，并求其和收敛，并求其和. 12nnn 等比级数与等差级数逐项相乘所得级数的求和，等比级数与等差级数逐项相乘所得级数的求和，有例行方法，有例行方法， 与等比级数的部分和相近，与等比级数的部分和相近，可计算。可计算。nnSqS （4）简单的例题）简单的例题注：尽管等比级数简单，但关于它的敛散性，却是建立注：尽管等比级数简单，但关于它的敛散性，却是建立级数敛散性判据的基石。级数敛散性判据的基石。2. 常数项级数的基本性质常数项级数的基本

8、性质简单而基本的性质，必须特别熟悉。简单而基本的性质，必须特别熟悉。（1）收敛级数关于线性运算封闭，并且级数求和）收敛级数关于线性运算封闭，并且级数求和与线性运算可交换；发散级数对于非与线性运算可交换；发散级数对于非0的数乘也封的数乘也封闭（闭（性质性质1、2与与推论推论9-1）。）。（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项，）改变（包括增加和减少）级数中有限项，不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的值（值（性质性质3）。）。 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，由此可知，发散级数加括号

9、也可能改变敛散性发散级数加括号也可能改变敛散性。（3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性与级数和。与级数和。 可称之为可称之为单向单向结合律，因为：结合律，因为：如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！（4）级数收敛的一个必要条件）级数收敛的一个必要条件-通项趋近于通项趋近于0.【例【例9-4】判断级数】判断级数 的敛散性的敛散性. 1)11(1nnn但是（但是（4）中所述）中所述条件不是充分的条件不是充分的。讨论一个重要。讨论一个重要的例子：调和级数的敛散性。方法很多，举一例，的例子：调和级数的敛散性

10、。方法很多，举一例，可以考虑如下两个定积分之间的比较：可以考虑如下两个定积分之间的比较： 1xdx 1)(dxxf与与nxfnnx1)()1, 其中函数其中函数 取值为取值为)(xfy 9.2.正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法1.1.正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的基本定理；2.2.比较判别法比较判别法；3.3.积分判别法积分判别法；4.4.比值判别法与根值判别法比值判别法与根值判别法。 本节必须熟练掌握的内容本节必须熟练掌握的内容（注意，这里讨论的仅限于（注意，这里讨论的仅限于正项级数正项级数）：）：1.比较判别法：比较判别法： )3()2()1(简单的大小比较；简单的大小比较；

11、比较法的极限形式；比较法的极限形式；与积分的比较。与积分的比较。2.比值判别法（达朗贝尔判别法）。比值判别法（达朗贝尔判别法）。 3.根值判别法（柯西判别法）。根值判别法（柯西判别法）。 以下两种判别法，本质上是间接与等比级数比以下两种判别法，本质上是间接与等比级数比较）。较）。注：熟悉并积累收敛和发散级数的例子很重要！注：熟悉并积累收敛和发散级数的例子很重要！基本定理基本定理-正项数列收敛当且仅当部分和数列正项数列收敛当且仅当部分和数列 有界。有界。NnnS 1.正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的基本定理-部分和数列部分和数列 有界有界。nS 正项级数敛散性的判定，就是单调递增非负数列正项

12、级数敛散性的判定，就是单调递增非负数列（级数的部分和数列）是否收敛的判定。（级数的部分和数列）是否收敛的判定。 除了某些较为简单的的情况，探讨具体级数的敛除了某些较为简单的的情况，探讨具体级数的敛散性，基本的方法，往往是与某些已知敛散性的级散性，基本的方法，往往是与某些已知敛散性的级数进行比较得出结论。这就是所谓的数进行比较得出结论。这就是所谓的比较判别法比较判别法。2.比较判别法比较判别法（1）定理定理9-3与与推论推论9-2设有两个正项级数设有两个正项级数 与与 ，如果存在，如果存在某某个正整数个正整数 ， 当当 时，有时，有 ，那么，那么 1nnu1nnv NnN nnvu 1nnu 1

13、nnu1nnv 1nnv 如果如果 收敛，则收敛，则 收敛；收敛；如果如果 发散，则发散，则 发散。发散。（2）比较判别法的极限形式（定理）比较判别法的极限形式（定理9-3的的推论推论9-2） 1nnu1nnv 与与 是正项级数，并设是正项级数，并设 从某一从某一项之后是严格正项的。设项之后是严格正项的。设1nnv lvunnn lim（i） )0(l两个级数有相同的敛散性。两个级数有相同的敛散性。（ii） 1nnu 1nnu1nnv 1nnv 如果如果 发散，则发散，则 发散；发散；如果如果 收敛，则收敛，则 收敛。收敛。 )0(l（iii） 1nnu 1nnu1nnv 1nnv 如果如果

14、收敛，则收敛，则 收敛；收敛；如果如果 发散，则发散，则 发散。发散。 )(l 经常用来作为比较的，最重要的基本级数是经常用来作为比较的，最重要的基本级数是p级数级数和和等比级数等比级数。 下面给出三个相对下面给出三个相对具体或可操作具体或可操作的判别法，除了判的判别法，除了判别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。 尽管给出了上面两个定理以及一些推论，如果没有尽管给出了上面两个定理以及一些推论，如果没有可供参与比较的级数，这些定理也仅仅有理论推导的可供参与比较的级数，这些定理也仅仅有理论推导的意义，较难具体应用。意义，较难具体应用。3.积分判别

15、法积分判别法与与p级数级数 11npn（1）积分判别法（定理）积分判别法（定理9-2）：）：)(xf), 1 1)(nnf 1)(dxxf非负函数非负函数 在在 上上单调递减单调递减，则，则与反常积分与反常积分 有相同的敛散性。有相同的敛散性。 112111npppnn【例【例9-5】证明】证明p-级数级数 当当 时发散，当时发散，当 p 1 时收敛时收敛. 10 p【例【例9-6】讨论级数】讨论级数 的敛散性，其中的敛散性，其中 p0. 2ln1npnn 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比级数和级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象

16、，级数，便可以利用这些级数作为比较对象，判断某些级数的敛散性了。判断某些级数的敛散性了。（2）比较法的应用）比较法的应用讨论下面例题。讨论下面例题。;3sin2)1(1 nnn 【例【例9-7】判断下列正项级数的敛散性：】判断下列正项级数的敛散性：;)1(1)2(12 nnn.ln1)3(2 nn 11sinnn【例【例9-8】判断级数】判断级数 与级数与级数 的敛散性的敛散性. 12)11ln(nn【例【例9-9】判断级数】判断级数 的敛散性的敛散性. 1262323218nnnnn（4）比值比值（达朗贝尔达朗贝尔）与）与根值根值（柯西柯西）判别法判别法 这两种判别法，本质上都是参考等比级数

17、的敛散性得这两种判别法，本质上都是参考等比级数的敛散性得到的判别法。其思想与证明方法类似，下面仅证明比到的判别法。其思想与证明方法类似，下面仅证明比值判别法，两个定理一起陈述。值判别法，两个定理一起陈述。（1）比值与根值判别法（）比值与根值判别法（定理定理9-4,5） 1nnu 是正项级数，如果是正项级数，如果1lim(0),lim.nnnnnnnuuuu 或者或者则则 )1( 1nnu收敛；收敛；（i） 1nnu（ii） )1( 发散。发散。注：注：特别强调特别强调 第一：当上述定理中的第一：当上述定理中的 时，对于级数的敛散时，对于级数的敛散性无法作出判断，比如对性无法作出判断，比如对p级

18、数，该判断方法失效；级数，该判断方法失效；但是有时候但是有时候可以根据具体情况加以分析，见例可以根据具体情况加以分析，见例9-11与与9-12。 第二：无论是比值还是根值判断，都要求所提到第二：无论是比值还是根值判断，都要求所提到的的极限是存在极限是存在的，因此也只有很少的情况下才真正的，因此也只有很少的情况下才真正有效（我们所做的题目仅仅是那些很少的有效的部有效（我们所做的题目仅仅是那些很少的有效的部分）。分）。1 （2）比值判断法的应用）比值判断法的应用;)!1(1)1(1 nn【例【例9-10】讨论下列级数的敛散性：】讨论下列级数的敛散性：.2332)2(1 nnn 1!nnnnna【例

19、【例9-11】设】设a0，试讨论级数，试讨论级数 的敛散性的敛散性.（3）根值判断法的应用）根值判断法的应用 1)12(nannn【例【例9-12】讨论级数】讨论级数 的敛散性：的敛散性： 1)1(2nnn【例【例9-13】判别级数】判别级数 的敛散性的敛散性. 注意，最后一例用比值判别法失效。一般来说，根注意，最后一例用比值判别法失效。一般来说，根值判别法相对于比值判别法，适用范围更广，用达朗值判别法相对于比值判别法，适用范围更广，用达朗贝尔判别法可以判定的，用柯西判别法也可以判定。贝尔判别法可以判定的，用柯西判别法也可以判定。但是在某些情况下，比值判别法可能更简便一些。但是在某些情况下，比

20、值判别法可能更简便一些。 这两种判别法相对粗糙，还可以有更精细化的判定这两种判别法相对粗糙，还可以有更精细化的判定方法。但是没有万能的终极判别方法。方法。但是没有万能的终极判别方法。关于正项数项级数判别法的简单总结关于正项数项级数判别法的简单总结：（1）简单比较法（简单比较法的极限形式）；）简单比较法（简单比较法的极限形式）；（2）积分比较法（注意被积函数非负且单调递减）；）积分比较法（注意被积函数非负且单调递减）；（3）比值判别法和根值判别法都在极限等于）比值判别法和根值判别法都在极限等于1的时的时候失效。但是如果确定参数使得极限等于候失效。但是如果确定参数使得极限等于1时，有时，有1)(;

21、 111 nnnnuuu意味着级数的通项并不趋近于意味着级数的通项并不趋近于0，可知级数是发散的。，可知级数是发散的。 除了能应用比值和根植判别法判别级数的敛散性，除了能应用比值和根植判别法判别级数的敛散性，还要掌握这两个判别法的证明思想和方法。还要掌握这两个判别法的证明思想和方法。附加内容附加内容Raabe判别法判别法：)1(, 11ruunNnNrnn 则级数则级数 收敛。若收敛。若 1iiu1(1)1nnuN nNnu 则级数则级数 发散。发散。 1iiu例例.设设 ，证明级数，证明级数 收敛。其中收敛。其中 , 0 0|nn .10;!)1()1( nnn证明：利用证明：利用Raabe

22、判别法，判别法， 1)1()11(11nnnnnnnnn可知级数收敛。可知级数收敛。注注1.请试着用达朗贝尔判别法看看能不能得到结果。请试着用达朗贝尔判别法看看能不能得到结果。注注2.前面的比值和根值判别法都是将级数通项收敛前面的比值和根值判别法都是将级数通项收敛速度与等比级数做比较。速度与等比级数做比较。Raabe判别法则是将通项判别法则是将通项收敛速度与收敛速度与p级数的通项作比较。级数的通项作比较。1111()lnlnnnuunnnnn Gauss判别法：若有如下关系式判别法：若有如下关系式 则当则当 ，级数，级数 收敛；收敛；1 1iiu1 当当 时，级数时，级数 发散。发散。 1ii

23、u注注1.这个判别法是将级数通项的收敛速度与这个判别法是将级数通项的收敛速度与 )(ln1nn的收敛速度作比较。的收敛速度作比较。 注注2.假设在做题的时候，利用这类判别法，需要陈述假设在做题的时候，利用这类判别法，需要陈述Gauss判别法，或者判别法，或者Raabe判别法。判别法。例：设例：设 为正实数列，试证：为正实数列，试证：,nncu（1）若对所有的正整数）若对所有的正整数 n 满足：满足： ，且，且 发散，则发散，则 也发散；也发散；011 nnnnucuc 11nnc1nnu （2）若对所有的正整数）若对所有的正整数 n 满足：满足： ，（常数，（常数a0）且且 收敛，则收敛，则

24、也收敛也收敛 11nnnnuccau 11nnc1nnu 9.3.任意项级数敛散性判别法任意项级数敛散性判别法1.交错级数敛散性的判别法交错级数敛散性的判别法；2.绝对收敛与条件收敛。绝对收敛与条件收敛。第九章第三节作业第九章第三节作业l9-3:l1(5,6)(8,9,10);3;5;6l9-5:l1(2,4,6,8);2;3(1,2,4,6,7);5;6;7;8;l10;11;12 如果级数的各项是任意实数，其敛散性的判别将很如果级数的各项是任意实数，其敛散性的判别将很复杂，没有一定的方法。本节只探讨某些比较简单复杂，没有一定的方法。本节只探讨某些比较简单的情况。对于一般情况也仅能给出某些基

25、本概念。的情况。对于一般情况也仅能给出某些基本概念。1.交错级数交错级数-莱布尼茨判别法（定理莱布尼茨判别法（定理9-6） 111)1(41312111)1(nnnnn【例【例9-14】判别级数】判别级数的敛散性，并求的敛散性，并求n为何值时用部分和为何值时用部分和Sn代替级数和代替级数和S时时所得误差小于所得误差小于0.01. 若（若（1）通项绝对值递减通项绝对值递减；（；（2）通项趋近于通项趋近于0.则交错级数收敛，且余和的绝对值不大于余和中的则交错级数收敛，且余和的绝对值不大于余和中的首项的绝对值。（证明）首项的绝对值。（证明）注：对上述（例注：对上述（例9-14）交错）交错“调和级数调

26、和级数”进一步讨论，进一步讨论，可以发现，即便是收敛级数（可以发现，即便是收敛级数（条件收敛条件收敛），无穷），无穷交换交换律律也是不成立的。这是无穷运算与初等运算的一个重也是不成立的。这是无穷运算与初等运算的一个重大差异，需好好理解。大差异，需好好理解。 然而，如果满足比较强的收敛条件，级数求和时，然而，如果满足比较强的收敛条件，级数求和时，无穷交换律也还是可以成立的。这便产生了下面的无穷交换律也还是可以成立的。这便产生了下面的概念。概念。 13tan)1(nnn 【例【例9-15】判别级数】判别级数 的敛散性的敛散性.2.绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛（1）概念）概念- 级数的绝对值

27、级数级数的绝对值级数；绝对收敛绝对收敛；条件收敛条件收敛。注：区别级数收敛，绝对收敛，条件收敛的含义。注：区别级数收敛，绝对收敛，条件收敛的含义。绝对收敛与条件收敛是绝对收敛与条件收敛是不相容不相容的概念。的概念。 11)1ln()1(nnnnn【例【例9-16】判别级数】判别级数 的敛散性的敛散性.（2）例题）例题12(1)(1) )nnpnn 【附】讨论【附】讨论级数级数 的敛散性的敛散性. 1)0, 0()(nsnsana【例【例9-18】判别级数】判别级数 是绝对收敛、是绝对收敛、条件收敛还是发散？条件收敛还是发散？;1)1()1(11 nnn【例【例9-17】判断下列级数的敛散性，如

28、果收敛，指出是】判断下列级数的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：绝对收敛还是条件收敛：.)sin()2(12 nnn 注：注：利用比值或根植判别法判定利用比值或根植判别法判定一个交错（递减）一个交错（递减）级数的绝对值级数的敛散性，级数的绝对值级数的敛散性，当绝对值级数的敛散当绝对值级数的敛散性可以确定时，性可以确定时，实际上也确定了原来级数的敛散性。实际上也确定了原来级数的敛散性。因为因为它判定了级数通项是否趋近于它判定了级数通项是否趋近于0.1; 1; 10 aaa分别讨论分别讨论9.4. .函数项级数及其收敛性函数项级数及其收敛性1.函数列的收敛；函数列的收敛；2.函数项级数

29、的收敛概念；函数项级数的收敛概念；3.函数项级数一致收敛判别法；函数项级数一致收敛判别法；4.一致收敛的级数和函数的性质一致收敛的级数和函数的性质- 积分与导数。积分与导数。1.函数列的收敛函数列的收敛（1）函数列的极限函数和逐点（或处处）收敛）函数列的极限函数和逐点（或处处）收敛 设设 （ ）是一列定义在实数子集）是一列定义在实数子集 上的函数，上的函数，Dnf Zn称称 为为函数列函数列 。若对于任意给定的。若对于任意给定的 ，数，数列列 收敛，即收敛，即 存在，则称存在，则称函数列函数列收敛收敛，记，记 ZnnfDx Z( )nnfx )(limxfnn lim( )( )nnfxf x

30、 称函数称函数 为函数列为函数列 的极限函数。的极限函数。Dxxfy , )( Znnf并且称函数列并且称函数列 逐点（或处处）收敛逐点（或处处）收敛于于 。 Znnff例例1.在区间在区间0,1上讨论函数列上讨论函数列 （ ）nnxxf )( Zn 是否收敛。如果收敛，极限函数是什么？连续吗？是否收敛。如果收敛，极限函数是什么？连续吗？（2）函数列的一致收敛）函数列的一致收敛f ZnnfD 设函数列设函数列 与函数与函数 都是在都是在 上定义的函数，上定义的函数，若满足如下条件：若满足如下条件：)| )()(|(, 0 xfxfNnNn问题问题：（：（i）讨论逐点收敛与一致收敛的区别和联系。

31、讨论逐点收敛与一致收敛的区别和联系。（ii）讨论前面例）讨论前面例1中的函数列是否是一致收敛的。中的函数列是否是一致收敛的。则称函数列则称函数列 在在 上上一致收敛于一致收敛于 。 ZnnffD（3）函数列一致收敛的柯西准则）函数列一致收敛的柯西准则0,(|( )( )|)n mnN nNfxfx 注：这个条件主要是理论上的意义。注：这个条件主要是理论上的意义。（4）一致收敛函数列的极限函数的性质）一致收敛函数列的极限函数的性质设函数列设函数列 在闭区间在闭区间a,b上上 一致收敛于函数一致收敛于函数 ，并且函数列中的每一项并且函数列中的每一项 都是连续的，则都是连续的，则 Znnffnf（i

32、） 在区间在区间a,b上也连续；上也连续；f（ii）；dxxfdxxfdxxfbabannbann )()(lim)(lim（iii）若函数）若函数 是是 的原函数，并且的原函数，并且nFnfFFnn lim则则limlim(lim)nnnnnnffFFF注：以上注：以上“一致连续性一致连续性”只是充分条件，并非必要。只是充分条件，并非必要。但也是特别常用的判别条件。但也是特别常用的判别条件。 上面结论，给出了函数列上面结论，给出了函数列取极限依然保持连续取极限依然保持连续，或，或者者取极限与积分，求导可交换的取极限与积分，求导可交换的一个充分条件。这些一个充分条件。这些结果表明，一致收敛是一

33、个相当有意义的概念。结果表明，一致收敛是一个相当有意义的概念。 由于级数和是被定义为部分和的极限，因此将上面由于级数和是被定义为部分和的极限，因此将上面的概念和结论推广到级数理论，是很容易的。的概念和结论推广到级数理论，是很容易的。2.函数项级数的收敛函数项级数的收敛（1）函数项级数的相关概念）函数项级数的相关概念函数项级数函数项级数： 11)(,nnnnxuoru11,( )( )nnniniiiSuor Sxu x部分和函数部分和函数：1,( )lim( )( ) .nnnnxIS xSxux 收敛域收敛域，和函数和函数与与处处收敛处处收敛（逐点收敛逐点收敛）：）： 01nnnxxx【例【

34、例9-19】求级数】求级数 的收敛域的收敛域. )()(12nnxxxxx【例【例9-20】求级数】求级数的和函数的和函数S(x)，并讨论其连续性，并讨论其连续性.（2）关于逐点收敛的例题讨论）关于逐点收敛的例题讨论（3）函数项级数的一致收敛）函数项级数的一致收敛- 部分和函数列部分和函数列 （在某区间）一致收敛于和函数（在某区间）一致收敛于和函数nSS0,(|( )( )|)nN nNSxS x0,(|( )( )|)nN nNxI SxS x 22222)1(12)(1212nxnxnxxxx【例【例9-21】证明函数项级数】证明函数项级数在在0,1上一致收敛于上一致收敛于0. )()(1

35、2nnxxxxx【例【例9-22】证明级数】证明级数在在 上不一致收敛于和函数上不一致收敛于和函数 1 , 1 .)1(1)1 , 1(0)( xxxS注：事实上，这个例子在前面已经讨论过了。因为关注：事实上，这个例子在前面已经讨论过了。因为关于函数项级数收敛性的讨论，也就是关于函数列收敛于函数项级数收敛性的讨论，也就是关于函数列收敛性的讨论。性的讨论。 12sinnnnx【例【例9-23】证明】证明 在在 上一致收敛上一致收敛.),(3.函数项级数一致收敛的判别法函数项级数一致收敛的判别法（1）柯西一致收敛准则（略）柯西一致收敛准则（略）注：一点形式区别注：一点形式区别| )(| )()(|

36、1 mnniinmnxuxSxS（2）M-判别法（判别法（定理定理9-9） 本质上是观察，可否在指定的收敛域内，找到一个本质上是观察，可否在指定的收敛域内，找到一个收敛的正项级数作为收敛的正项级数作为优级数优级数，即，即，nnMxuIx | )(| ,且级数且级数 收敛。收敛。 1nnM4.一致收敛级数和函数的性质一致收敛级数和函数的性质（2） babannnbandxxSdxxudxxu)()()(11 这里只要将前面关于一致收敛函数列极限函数的性质这里只要将前面关于一致收敛函数列极限函数的性质作形式表达上转换，即得到所有相关内容：设连续项级作形式表达上转换，即得到所有相关内容：设连续项级数

37、数 11)(,nnnnxuoru在在 上一致收敛于上一致收敛于 ，则，则I)(xorSS（1）和函数）和函数 在在 上连续性；上连续性；)(xorSSI（3）在）在 上有上有 ，则，则I)()()()(1xTxvxuxvnnnn )()()() )()(111xSxuxvxvxTnnnnnn 一般的函数项级数理论是很复杂的，无论是判定其一般的函数项级数理论是很复杂的，无论是判定其敛散性还是求和函数，都没有一般通行的方法。本节敛散性还是求和函数，都没有一般通行的方法。本节给出的仅仅是一些概念，和某些抽象的理论结果。给出的仅仅是一些概念，和某些抽象的理论结果。 在所有的函数项级数中，有两大类比较具

38、体，但又在所有的函数项级数中，有两大类比较具体，但又特别重要函数项级数，即所谓的特别重要函数项级数，即所谓的幂级数幂级数与与三角级数三角级数（也称为傅里叶级数）。（也称为傅里叶级数）。 数学分析，分析或研究的主要是连续函数的性质，数学分析，分析或研究的主要是连续函数的性质，而上述两大类级数，之所以重要，就是因为它们对于而上述两大类级数，之所以重要，就是因为它们对于研究此类函数提供了大量的研究此类函数提供了大量的“工具和途径工具和途径”。 下面两节将分别讨论这两大类函数项级数（仅仅是下面两节将分别讨论这两大类函数项级数（仅仅是初步的）。初步的）。9.5.幂级数幂级数1.幂级数及其收敛域；幂级数及

39、其收敛域；2.幂级数的运算与性质；幂级数的运算与性质；3.泰勒级数；泰勒级数；4.常用初等函数的幂级数展开式。常用初等函数的幂级数展开式。第九章第五节作业第九章第五节作业9-5:l1(2,4,6,8);2;3(1,2,4,6,7);l5;6;7;8;10;11;121.幂级数及其收敛域幂级数及其收敛域 幂级数及其表达形式，在函数项级数中是最简单的，幂级数及其表达形式，在函数项级数中是最简单的，也是相对比较容易研究的。也是相对比较容易研究的。（1）幂级数：）幂级数： 00)(nnnxxa0nnna x 一般形式：一般形式：；基本形式：；基本形式： 01nnnx【例【例9-24】试求幂级数】试求幂

40、级数 的收敛域的收敛域.注：比值或根植判别法。注：比值或根植判别法。（2）阿贝尔定理阿贝尔定理（定理定理9-13）-该定理的含义是该定理的含义是-一般一般幂级数的收敛域必是一个区间。幂级数的收敛域必是一个区间。-推论：推论：基本形式的幂级数的收敛域（去掉端点）必基本形式的幂级数的收敛域（去掉端点）必 是对称区间。是对称区间。（3）收敛半径收敛半径及其计算方法（及其计算方法（定理定理9-14） 由比值判别法的可得：若由比值判别法的可得：若 存在，则存在，则|lim1nnnaa 。约定：约定：)0,0(111 R幂级数收敛半径为幂级数收敛半径为注：不要以为这就解决了问题，这个比值的极限并注：不要以

41、为这就解决了问题，这个比值的极限并非总存在。因此这个定理也仅仅解决部分问题。非总存在。因此这个定理也仅仅解决部分问题。;3)1(1 nnnnx【例【例9-25】求下列函数项级数的收敛域：】求下列函数项级数的收敛域：;3)3()2(1 nnnnx;3)3(12 nnnnx.31)4(1 nnnxn（4）收敛半径的具体例题计算）收敛半径的具体例题计算（1）是最基本的形式，直接按照收敛半径计算法即可。）是最基本的形式，直接按照收敛半径计算法即可。（2）这是幂级数一般形式，需要做一个平移变换，但）这是幂级数一般形式，需要做一个平移变换，但是也很简单。可直接利用前一小题结论。是也很简单。可直接利用前一小

42、题结论。 0)2sin1(121nnxn【例【例9-26】讨论函数项级数】讨论函数项级数 的收敛域的收敛域.（3）对于幂级数而言，这个级数缺少中间无穷多项，）对于幂级数而言，这个级数缺少中间无穷多项，千万注意不可盲目套用收敛半径计算法（千万注意不可盲目套用收敛半径计算法（为什么？）。为什么？）。 但是可以利用比较原始的比值判别法。但是可以利用比较原始的比值判别法。（4）这不是幂级数，但是可以做）这不是幂级数，但是可以做倒数变换，倒数变换，使其变使其变为幂级数。为幂级数。 但是在得到变换之后的幂级数收敛域之后，必须再但是在得到变换之后的幂级数收敛域之后，必须再做倒数变换，讨论原级数的收敛域！做倒

43、数变换，讨论原级数的收敛域！注：这也不是幂级数，但可以变换为幂级数形式。注：这也不是幂级数，但可以变换为幂级数形式。需要注意的是，对幂级数讨论过之后，要回头考虑需要注意的是，对幂级数讨论过之后，要回头考虑原级数的收敛域。原级数的收敛域。2.幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质（1）幂级数的加法和乘法（代数运算）幂级数的加法和乘法（代数运算）。,min21RRR （i）两个级数和（差）为）两个级数和（差）为 其收敛半其收敛半径为径为 ；R0()nnnnabx 0nnna x 与与的收敛半径分别是的收敛半径分别是 ， 。1R2R0nnnb x 0()nnnb x （ii）0()nnna x nnn

44、iinixba)(000()nnnc x 的收敛半径也是的收敛半径也是 。R（2）幂级数的分析运算（高等运算）幂级数的分析运算（高等运算-连续，积分，求导）连续，积分，求导）（i）和函数在收敛域内连续（）和函数在收敛域内连续（性质性质9-6）；）；（ii）在收敛域和函数可积，可逐项求变上限积分，）在收敛域和函数可积，可逐项求变上限积分，并且逐项变上限积分所得级数的收敛半径不变（并且逐项变上限积分所得级数的收敛半径不变（性性质质9-7）；）；（iii）在收敛域内部和函数可导，可逐项求导，并且）在收敛域内部和函数可导，可逐项求导，并且逐项求导所得级数的收敛半径不变（逐项求导所得级数的收敛半径不变（

45、性质性质9-8）。）。注：在收敛域的边界点处，要看具体情况而定，如注：在收敛域的边界点处，要看具体情况而定，如)1ln(1)(100001xtdtdttnxxxnnnn 收敛域为收敛域为-1,1). 02)!2()1(nnnxn【例【例9-28】求幂级数】求幂级数 的和函数所满足的二的和函数所满足的二阶微分方程，并由此求其和函数阶微分方程，并由此求其和函数.;)1(1 nnnx【例【例9-27】求幂级数】求幂级数 11)2(nnnx的和函数，并由此求出数项级数的和函数，并由此求出数项级数 及及 的和的和. 121nnn 112nnn（3）利用性质求解幂级数的和函数）利用性质求解幂级数的和函数3

46、.泰勒级数泰勒级数（1）问题的提出）问题的提出 在一元微分学中，曾有泰勒公式，其目的是考虑如在一元微分学中，曾有泰勒公式，其目的是考虑如何用多项式函数近似替代某个超越函数。其中提到，何用多项式函数近似替代某个超越函数。其中提到，如果函数有如果函数有n+1阶导数，该函数可以得到具有拉格朗阶导数，该函数可以得到具有拉格朗日余项的日余项的n次多项式作为其次多项式作为其泰勒展开式泰勒展开式。 假设函数具有任意阶导数，那么该函数是否可以被假设函数具有任意阶导数，那么该函数是否可以被精确地表达为幂级数呢？精确地表达为幂级数呢？ 以前已经知道，如果展开式的任意阶导数在指定点以前已经知道，如果展开式的任意阶导

47、数在指定点 处要求与给定函数相等，则展开式处要求与给定函数相等，则展开式 的系数是唯一确定的，即的系数是唯一确定的，即 （泰勒系数泰勒系数）。）。!)(0)(nxfann 00()nnnaxx 0 x因此上述问题具体化为：下面的等式因此上述问题具体化为：下面的等式( )000()( )()!nnnfxf xxxn （1）（2）函数幂级数展开定理（）函数幂级数展开定理（定理定理9-15）IIx 0内部，函数内部，函数 在区间在区间 内有任意阶导数，则内有任意阶导数，则f( )000()( )()!nnnfxf xxxn 。0!)(lim)(lim00)( nxxxfxRnnnn 在区间在区间 成

48、立的充要条件是，当成立的充要条件是，当 时，有时，有I(| 1)xI 总能成立吗？（总能成立吗？（1）式左边的级数称为函数在）式左边的级数称为函数在 点处点处的的泰勒级数（注意与泰勒展开式的区别与联系）泰勒级数（注意与泰勒展开式的区别与联系）。0 x 请注意这个定理，它表明：并非一个函数在某点处请注意这个定理，它表明：并非一个函数在某点处的泰勒级数就一定是该函数（在一个区间上）的幂级的泰勒级数就一定是该函数（在一个区间上）的幂级数展开式。数展开式。例如函数：例如函数：,)0(0)0()(21 xxexfx 该函数有任意阶导数，但是在该函数有任意阶导数，但是在0点处的导数总为点处的导数总为0.于

49、是，于是，0点处的泰勒级数，就是点处的泰勒级数，就是0.即该函数在即该函数在0点点处的泰勒级数，在其收敛域内并不收敛域该函数。处的泰勒级数，在其收敛域内并不收敛域该函数。 因此，在考察一个函数的泰勒级数是否在级数收因此，在考察一个函数的泰勒级数是否在级数收敛域内收敛于该函数，需要验证余项的极限。敛域内收敛于该函数，需要验证余项的极限。【例【例9-29】将函数】将函数 f (x)= ex 展开为展开为x的幂级数的幂级数.【例【例9-30】将函数】将函数 f (x)= sinx 展开为展开为x的幂级数的幂级数.4.常见初等函数的幂级数展开式及其应用常见初等函数的幂级数展开式及其应用（1）常见函数的

50、幂级数展开式）常见函数的幂级数展开式（i）直接展开法）直接展开法- 所谓直接展开，就是首先直接计算各阶导数，然所谓直接展开，就是首先直接计算各阶导数，然后考察拉格朗日型余项的极限（后考察拉格朗日型余项的极限（n趋向于无穷）是趋向于无穷）是否为否为0。 下面考虑初等函数中最重要的两个基本函数的幂下面考虑初等函数中最重要的两个基本函数的幂级数展开。级数展开。【例【例9-31】将函数】将函数 f (x)= cosx 展开成展开成x的幂级数的幂级数.【例【例9-32】将】将 f (x)= ln(1+x) 展开为展开为x的幂级数的幂级数.（ii）间接展开法）间接展开法- 利用已知某些函数的泰勒展开式，经

51、过适当的运算，利用已知某些函数的泰勒展开式，经过适当的运算，比如加、乘运算，求导或积分等等，简化某些环节。比如加、乘运算，求导或积分等等，简化某些环节。 有的可以避免大量重复性的求导运算；有的可以避免有的可以避免大量重复性的求导运算；有的可以避免比较困难的关于余项极限的讨论。比较困难的关于余项极限的讨论。注：利用正弦的展开式注：利用正弦的展开式-简约了重复的求导运算。简约了重复的求导运算。注：先求导，再展开，逐项求积分注：先求导，再展开，逐项求积分-简化系数的计算。简化系数的计算。【例【例9-33】将】将 f (x)= (1+x)a 展开为展开为x的幂级数的幂级数.注：先前已知该函数的泰勒级数

52、及其收敛域，但是余注：先前已知该函数的泰勒级数及其收敛域，但是余项的极限不是很容易讨论。为了避免对余项极限的考项的极限不是很容易讨论。为了避免对余项极限的考虑，可以利用级数的高等运算性质。虑，可以利用级数的高等运算性质。 可以根据已知的关系构造关于其和函数可以根据已知的关系构造关于其和函数 的一个的一个简单方程（其实就是原函数所满足的方程）简单方程（其实就是原函数所满足的方程）)(xS)()()1(xSxSx 解方程可得在级数收敛域内有：解方程可得在级数收敛域内有：)()1()(xfxxS 说明：解答此题，需要搞清楚其中的逻辑关系说明：解答此题，需要搞清楚其中的逻辑关系-并非并非泰勒级数就一定

53、是函数的幂级数展开式。泰勒级数就一定是函数的幂级数展开式。【例【例9-35】将函数】将函数 sinx 展开成展开成 的幂级数的幂级数.4 x【例【例9-34】将函数】将函数 展开为展开为x的幂级数的幂级数.231)(2 xxxf注：利用级数的初等运算简化系数的计算。注：利用级数的初等运算简化系数的计算。注：利用三角函数的初等变换（再求两个级数之和）注：利用三角函数的初等变换（再求两个级数之和）)4sin()4(cos(22)4sin(4cos)4cos(4sin)4(4sin(sin xxxxxx【例【例9-36】试求函数】试求函数 f (x)= exsinx 麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展

54、开式的前三项的前三项.【例【例9-37】求】求e的近似值，精确到的近似值，精确到10-6.注：由已知展开式，直接计算级数乘法中的所求系数。注：由已知展开式，直接计算级数乘法中的所求系数。（2）函数幂级数展开的某些应用）函数幂级数展开的某些应用（i）近似计算。）近似计算。注：教材中的估计，是方法之一。如果不严格要求限注：教材中的估计，是方法之一。如果不严格要求限制计算量，当然可以有更简单粗略的估计方法，制计算量，当然可以有更简单粗略的估计方法，【例【例9-39】求微分方程】求微分方程 满足初始条件满足初始条件042 yyxy 的幂级数解的幂级数解.1,000 xxyy【例【例9-38】用幂级数表

55、示函数】用幂级数表示函数 ，并计算，并计算定积分定积分 的近似值，精确到的近似值，精确到10-4.dxxxxx 0sin)( 10sindxxx 我们知道，大量初等函数的原函数不是处等函数，我们知道，大量初等函数的原函数不是处等函数，在求解微分方程或求积分时，幂级数提供了新的计在求解微分方程或求积分时，幂级数提供了新的计算途径。算途径。（ii）利用幂级数展开求积分或解方程）利用幂级数展开求积分或解方程. 11)0(; 00)0()(100 ayayxaxynnn 122)42()1(42nnnnnnxanxannyyxy0)2(2)2)(1()66(22232 nnnnxnaannxaa代入方

56、程：代入方程：).2(12, 1,0232 nanaaann可得：可得：.!122;01)1(2122nanaannn 120!1 kkxky9.6.傅里叶级数傅里叶级数1.三角级数；三角级数；2.以以2 为周期的函数的傅里叶级数；为周期的函数的傅里叶级数；3.一般周期函数的傅里叶级数；一般周期函数的傅里叶级数；4.定义在有限区间上的函数定义在有限区间上的函数 的周期延拓与傅里叶展开。的周期延拓与傅里叶展开。 第九章第六节作业第九章第六节作业l9-6:l1;2(1,4);4;6(1);7;8;9前言前言 将函数展开为幂级数，或者近似表示为多项式函数，将函数展开为幂级数，或者近似表示为多项式函数

57、，首先要求函数充分可导。还因为多项式函数不可能是首先要求函数充分可导。还因为多项式函数不可能是周期函数，所以当函数是周期函数时，幂级数展开很周期函数，所以当函数是周期函数时，幂级数展开很难提供研究周期现象的简明信息。难提供研究周期现象的简明信息。 而在世界上，周期性现象几乎是处处存在的。那么而在世界上，周期性现象几乎是处处存在的。那么是否可以利用数学工具分析、研究周期现象呢？是否可以利用数学工具分析、研究周期现象呢？ 迄今为止，我们所熟悉的周期函数，是三角函数，迄今为止，我们所熟悉的周期函数，是三角函数，特别是正弦（和余弦）。特别是正弦（和余弦）。 最基本的周期运动是所谓简谐振动，是由正弦函数

58、最基本的周期运动是所谓简谐振动，是由正弦函数表示的，即表示的，即)sin( tAyyt 2 位移；位移； 时间；时间； 角频率；角频率； 初相；初相； 周期。周期。如果将几个不同的简谐振动叠加起来，就会产生比较如果将几个不同的简谐振动叠加起来，就会产生比较复杂的非简谐振动。复杂的非简谐振动。 反过来，一个复杂的周期运动，是否可以将其分解反过来，一个复杂的周期运动，是否可以将其分解为若干个（甚至无限多）不同频率和振幅的简谐振动为若干个（甚至无限多）不同频率和振幅的简谐振动的叠加呢？的叠加呢？ 从数学角度讲，就是要考虑：在何种条件下，一个从数学角度讲，就是要考虑：在何种条件下，一个周期函数可以表示

59、为由三角函数为加项的级数呢？周期函数可以表示为由三角函数为加项的级数呢？ 1. 本节最主要概念和结论本节最主要概念和结论-学习基本要求。学习基本要求。 （1）一个周期函数的傅里叶级数一个周期函数的傅里叶级数 -设函数设函数 在任意有限区间上可积，在任意有限区间上可积， 是该函数的一个周期，是该函数的一个周期， 则下面的级数称为函数则下面的级数称为函数 的以的以 为周期的傅为周期的傅里叶级数，里叶级数，)(xfl 2)(xfl 201(cossin)2nnnan xn xabll 其中（需要特别熟悉）的系数如下确定其中（需要特别熟悉）的系数如下确定:1( )cos(N).lnln xaf xdx

60、nll +1( )sin(Z ).lnln xbf xdxnll （2）特别当）特别当 ，该函数的傅里叶级数为，该函数的傅里叶级数为 22 l01(cossin)2nnnaanxbnx 1( )cosnaf xnxdx N);( n；dxxxfdxxfa)0cos()(1)(10 其中特别的其中特别的+1( )sin(Z ).nbf xnxdxn （3）狄利克雷收敛定理：）狄利克雷收敛定理：（i）连续或只有有限个第一类间断点；）连续或只有有限个第一类间断点；（ii）只有有限个单调区间。）只有有限个单调区间。定理定理9-16：设以：设以 为周期的函数为周期的函数 在区间在区间 上满足上满足 2,