高等数学（1）引言与逻辑

1、两点说明两点说明 1.平时成绩的评定：以下各项分别占总成绩的平时成绩的评定：以下各项分别占总成绩的10% （1）完成作业情况；）完成作业情况； （2）笔记整理（标明时间）与课堂表现（出席与）笔记整理（标明时间）与课堂表现（出席与状态）；状态）； （3）期中测验成绩。）期中测验成绩。2.期末考试成绩占总成绩的期末考试成绩占总成绩的70%。数学的学习数学的学习与逻辑预备与逻辑预备知识知识怎样算是学懂了一门数学课程怎样算是学懂了一门数学课程问题：问题： 学习一门数学课程，或者是其学习一门数学课程，或者是其中一章，一节，一次课，怎么判中一章，一节，一次课，怎么判断自己是否学到了东西？是否学断自己是否学

2、到了东西？是否学明白了这些内容？明白了这些内容？ 搞清这一点，需考虑可否清晰地搞清这一点，需考虑可否清晰地回答如下一些问题。回答如下一些问题。1.干什么呢？干什么呢？ 就是弄清楚所学的一门课、一章、一节、或就是弄清楚所学的一门课、一章、一节、或者一次课到底是在解决什么问题？者一次课到底是在解决什么问题？ 这个问题是从哪来的？有什么意义？与以这个问题是从哪来的？有什么意义？与以前学过的数学内容有什么联系？前学过的数学内容有什么联系？2.怎么干的？怎么干的？ 如果知道要解决的问题，自然就该考虑如何解如果知道要解决的问题，自然就该考虑如何解决问题。当然，前人建立了相关的理论，已经决问题。当然，前人建

3、立了相关的理论，已经解决了问题。那么，思考前人是怎么想的，都解决了问题。那么，思考前人是怎么想的，都有什么创造性的想法，是学懂数学的重要途径有什么创造性的想法，是学懂数学的重要途径（某些情况下，你也可能有解决问题的思路。看看与前（某些情况下，你也可能有解决问题的思路。看看与前人的想法是否相同，是很有趣的事）人的想法是否相同，是很有趣的事）。3.如何整理的？如何整理的？ 无论是解决一个大的综合性问题（由一系列层次递进无论是解决一个大的综合性问题（由一系列层次递进的问题组合而成，有时还会有一些值得探讨的派生问题）；的问题组合而成，有时还会有一些值得探讨的派生问题）；还是一个小的问题（比如一个单一的

4、问题，甚至习题），还是一个小的问题（比如一个单一的问题，甚至习题），将其解决方法表现出来的，都是一个理论将其解决方法表现出来的，都是一个理论“体系体系”（可能（可能很长很复杂，也可以短而简单）。很长很复杂，也可以短而简单）。 那么这个体系的逻辑关系是怎样构成的？那么这个体系的逻辑关系是怎样构成的？ 这如写一篇文章，事先须想好文章的总体提纲。先写什这如写一篇文章，事先须想好文章的总体提纲。先写什么，后写什么，前后如何衔接，即事先想好了么，后写什么，前后如何衔接，即事先想好了“启承转启承转合合”。假设想起什么写什么，就可能缺乏条理，甚至自相。假设想起什么写什么，就可能缺乏条理，甚至自相矛盾。矛盾。

5、 一个成熟的数学理论，必然有其较为合理的体系结构一个成熟的数学理论，必然有其较为合理的体系结构（但不见得是唯一合理的，所以同一个理论也可能有不同（但不见得是唯一合理的，所以同一个理论也可能有不同的体系结构）。要学懂数学，就要理清理论的整体逻辑关的体系结构）。要学懂数学，就要理清理论的整体逻辑关系。这有助于从整体上深刻、灵活的把握相关理论内容。系。这有助于从整体上深刻、灵活的把握相关理论内容。 如果仔细考察，会发现，很多情况下，被如果仔细考察，会发现，很多情况下，被人们整理出来的理论体系，往往会把发明人们整理出来的理论体系，往往会把发明或发现者的原始思路给隐蔽起来。或发现者的原始思路给隐蔽起来。

6、 有时候，理论体系所展现的次序层次，有时候，理论体系所展现的次序层次，与解决问题的思考层次是反向的。与解决问题的思考层次是反向的。 这不奇怪，因为在解决问题的时候，基这不奇怪，因为在解决问题的时候，基本上都是从问题本身出发，逐次发现需要本上都是从问题本身出发，逐次发现需要解决或确立的其它基础条件，并构建所需解决或确立的其它基础条件，并构建所需要的概念。但是，表现理论时，却先界定要的概念。但是，表现理论时，却先界定好概念，整理好所需的基础条件（问题）。好概念，整理好所需的基础条件（问题）。4.如何表达的？如何表达的？ 每个学科，都会形成一定的语言表述范式。有些每个学科，都会形成一定的语言表述范式

7、。有些学科要求比较严格，有些相对宽松。比较而言，数学科要求比较严格，有些相对宽松。比较而言，数学语言，差不多可以说是最严格的。学语言，差不多可以说是最严格的。 最严格的数学语言，是所谓的形式化的符号语言。最严格的数学语言，是所谓的形式化的符号语言。一般不需要采用这么严格的语言，通常见到的是自一般不需要采用这么严格的语言，通常见到的是自然（日常）语言与形式符号语言相结合的语言。但然（日常）语言与形式符号语言相结合的语言。但是，从逻辑上讲，这样的语言也基本上可以转化成是，从逻辑上讲，这样的语言也基本上可以转化成严格的形式语言（忽略某些自然语义的解释）。严格的形式语言（忽略某些自然语义的解释）。 掌

8、握数学的语言，对于学习数学当然是十分重要掌握数学的语言，对于学习数学当然是十分重要的。初学者需要经常琢磨标准的数学表述，即的。初学者需要经常琢磨标准的数学表述，即 这些语言在表达什么？这些语言在表达什么？ 为什么要这样表达？为什么要这样表达？ 还有没有更好，或者更简明的表述（规定）方式？还有没有更好，或者更简明的表述（规定）方式？ 其实，数学语言也不神秘。要掌握数学语言，其实，数学语言也不神秘。要掌握数学语言，主要关注两部分：主要关注两部分： 一是逻辑连接词、以及量词关系（可以用符号一是逻辑连接词、以及量词关系（可以用符号或者自然语言的词汇表达）的准确理解和使用；或者自然语言的词汇表达）的准确

9、理解和使用； 二是符号（及其指代对象或指代关系）的清晰二是符号（及其指代对象或指代关系）的清晰界定。界定。 进一步，假设能看清楚形式化语言背后的直观背进一步，假设能看清楚形式化语言背后的直观背景，那么数学学习将进入到一个新的境界。景，那么数学学习将进入到一个新的境界。小结小结 不难做出判断，搞清楚前面两个问题是最主要的。不难做出判断，搞清楚前面两个问题是最主要的。如果连干什么和怎么干的都不知道，就等于什么也如果连干什么和怎么干的都不知道，就等于什么也没学到，什么也没搞明白！没学到，什么也没搞明白！ 但是，如果对于整体的逻辑关系，以及数学语言但是，如果对于整体的逻辑关系，以及数学语言的表达都不能

10、把握，那么也就无法搞清楚前面两个的表达都不能把握，那么也就无法搞清楚前面两个问题。问题。 较好的掌握了数学语言，并具有清晰的逻辑判断较好的掌握了数学语言，并具有清晰的逻辑判断能力之后，那么学习数学的时候，所关注的往往就能力之后，那么学习数学的时候，所关注的往往就是前面两点了。这时候，自学数学的基本能力也会是前面两点了。这时候，自学数学的基本能力也会大大提高。大大提高。 很多人感觉数学太难学，当然也有人说数学最容易很多人感觉数学太难学，当然也有人说数学最容易学。说容易的人认为：数学是最讲理的，无论多大学。说容易的人认为：数学是最讲理的，无论多大的权威，都无法改变数学所得到的结论。所以解答的权威，

11、都无法改变数学所得到的结论。所以解答数学问题，不需要看什么人的脸色给出答案。数学问题，不需要看什么人的脸色给出答案。 那么认为数学学习困难的原因是什么呢？那么认为数学学习困难的原因是什么呢？本人认为，一般可能有三方面原因：本人认为，一般可能有三方面原因：一、逻辑思维问题；一、逻辑思维问题；二、抽象思维问题；二、抽象思维问题；三、建立联系的能力和知识面的问题，（这一点，三、建立联系的能力和知识面的问题，（这一点，下面不讨论。）。下面不讨论。）。 较强的逻辑分析能力，是受过高等正规教育的人必较强的逻辑分析能力，是受过高等正规教育的人必须具备的。破除畏难情绪，认真学习数学，对提高这须具备的。破除畏难

12、情绪，认真学习数学，对提高这个能力是极大帮助。反之，自觉地学习和思考各种逻个能力是极大帮助。反之，自觉地学习和思考各种逻辑关系，也将有助于学习数学。辑关系，也将有助于学习数学。 没有抽象思维能力（的不断提高），概念不会产没有抽象思维能力（的不断提高），概念不会产生，人类的符号语言系统也不可能构建起来。猿也生，人类的符号语言系统也不可能构建起来。猿也就永远不会演变成人。所以，有意识的提高自己抽就永远不会演变成人。所以，有意识的提高自己抽象思维的能力，也是使自己不断完善化的过程。象思维的能力，也是使自己不断完善化的过程。 一个小问题：说说一个小问题：说说“3”是什么？是什么？ 只要不是真正的弱智，

13、在这两个方面提高是完全只要不是真正的弱智，在这两个方面提高是完全可以做到的。当然不同的人所要下的功夫会有区别。可以做到的。当然不同的人所要下的功夫会有区别。 不能自觉地提高自己的逻辑和抽象思维能力，在不能自觉地提高自己的逻辑和抽象思维能力，在学习数学的过程中，仅仅停留在于刚才所说的第四学习数学的过程中，仅仅停留在于刚才所说的第四个层次的后半个层次上：个层次的后半个层次上： 背数学的表达。背数学的表达。 既不知道在干啥，也不知道怎么干的，甚至不知既不知道在干啥，也不知道怎么干的，甚至不知道为什么那样表达。于是，学习数学的过程也就变道为什么那样表达。于是，学习数学的过程也就变成了遭受苦难的过程。啥

14、也没学会，啥也记不住。成了遭受苦难的过程。啥也没学会，啥也记不住。 前人既然都已经创造出了这一切。他们发现而且前人既然都已经创造出了这一切。他们发现而且解决了问题，还系统严格的将其表达出来了，难道解决了问题，还系统严格的将其表达出来了，难道今天的我们还看不懂吗？！今天的我们还看不懂吗？！更何况，还有很多人在交流！更何况，还有很多人在交流！ 本门课涉及到的三个相关分支，都是在三百多年本门课涉及到的三个相关分支，都是在三百多年前开始形成（某些思想方法，甚至可以追朔到两千前开始形成（某些思想方法，甚至可以追朔到两千年前），到一百多年前完全成熟的理论。年前），到一百多年前完全成熟的理论。 也是高等也是

15、高等数学中最基本的内容。是进一步学习数学的基础，数学中最基本的内容。是进一步学习数学的基础，也都具有十分广泛的应用性。作为名牌工科大学的也都具有十分广泛的应用性。作为名牌工科大学的学子，没有理由不把它学好。学子，没有理由不把它学好。 来到这里的学生，都有学好数学的可能行，相信来到这里的学生，都有学好数学的可能行，相信自己有这样的能力。自己有这样的能力。 但是。仅仅有能力不够，可能性也并非现实！但是。仅仅有能力不够，可能性也并非现实！ 学无止境，努力也无止境。没有艰苦的努力，就没学无止境，努力也无止境。没有艰苦的努力，就没有成功！有成功！所谓天才，就是能长时间思考同一问题的人。所谓天才，就是能长

16、时间思考同一问题的人。一些逻辑常识一些逻辑常识形式逻辑的基本规律（公理）形式逻辑的基本规律（公理）p1.同一律（同一律（A是是A）；）；p2.矛盾律（矛盾律（A不是非不是非A）；）；p3.排中律（排中律（A，或者非，或者非A）。）。p说明：这里的说明：这里的A指的是一个没有变化的静止的对指的是一个没有变化的静止的对象。假设你所讨论的对象本身是变化的，那么你象。假设你所讨论的对象本身是变化的，那么你也要经过适当的规定，使得所讨论的对象转化成也要经过适当的规定，使得所讨论的对象转化成静态对象。这往往要有明确的界定，即关于对象静态对象。这往往要有明确的界定，即关于对象概念的清晰定义。概念的清晰定义。

17、p对于变动不居的对象，形式逻辑的应用将可能失对于变动不居的对象，形式逻辑的应用将可能失效。效。同一律的几点说明同一律的几点说明-论域和判定标准论域和判定标准p1.在人们进行交流，讨论问题的时候，对所涉及在人们进行交流，讨论问题的时候，对所涉及到的讨论对象，必须界定统一的讨论对象的范围。到的讨论对象，必须界定统一的讨论对象的范围。这个范围就被称为这个范围就被称为“论域论域”。p例：本教材中所讨论的数（经常用变元符号例：本教材中所讨论的数（经常用变元符号x或或y等字母表示），如无特殊说明，都是实数。那么实等字母表示），如无特殊说明，都是实数。那么实数集，就是我们所讨论的关于数集，就是我们所讨论的关

18、于“数数”的的“论域论域”。而函数，也都是定义在实数（或其子集）上取值为而函数，也都是定义在实数（或其子集）上取值为实数的函数。实数的函数。 试考虑下面集合的表示方式有什么问题：试考虑下面集合的表示方式有什么问题： x R| x可以被可以被2整除整除。注：很多诡辩，就是依靠或明或暗的改变注：很多诡辩，就是依靠或明或暗的改变“论域论域”达到目的达到目的的。的。2.在确定的范围内对判定命题的是与非，必须确定在确定的范围内对判定命题的是与非，必须确定判定标准。比如，在特定的数学教材中，总会给出判定标准。比如，在特定的数学教材中，总会给出主要概念的明确定义和必要的约定（算作公理）。主要概念的明确定义和

19、必要的约定（算作公理）。这些是建立判定的基础。学习数学，必须对定义和这些是建立判定的基础。学习数学，必须对定义和约定有特别清晰的理解。决不能自以为是。约定有特别清晰的理解。决不能自以为是。 再比如，数学问题的答案，需要用数学的语言再比如，数学问题的答案，需要用数学的语言和符号以符合逻辑关系的方式推导并表示给出。和符号以符合逻辑关系的方式推导并表示给出。仅仅通过直观对某个具体情况的描述（尽管有意仅仅通过直观对某个具体情况的描述（尽管有意义和启发作用），不能算作正确的答案。义和启发作用），不能算作正确的答案。注：脑筋急转弯给出的答案，主要是改变题目中没有明确说注：脑筋急转弯给出的答案，主要是改变题

20、目中没有明确说出的、但又是通常被人默认的论域或判别标准。出的、但又是通常被人默认的论域或判别标准。 但是，数学不允许这类脑筋急转弯，因为那只是诡辩！但是，数学不允许这类脑筋急转弯，因为那只是诡辩！命题命题&命题函项命题函项n1.命题命题.可以判定真假的陈述语句（的语义）称为可以判定真假的陈述语句（的语义）称为命题。命题。n例例1：3是偶数；是偶数；8是偶数；温家宝是美国财长。是偶数；温家宝是美国财长。n例例2：x是偶数；是偶数；y=f(x);0.3=sinx (x是实数是实数);nx是刘德华的粉丝（是刘德华的粉丝（x是女士）。是女士）。n上面例上面例2中的语句都不能判断真假。因为里面有

21、中的语句都不能判断真假。因为里面有变元符号，只有用属于论域的常元（某个具体对变元符号，只有用属于论域的常元（某个具体对象）替换这里的变元，才使其成为命题，这样的象）替换这里的变元，才使其成为命题，这样的语句（或公式）称为语句（或公式）称为“命题函项的开式命题函项的开式”（或开（或开命题）。命题）。 那么是否含有变元符号的语句或公式变都不是命题呢？不那么是否含有变元符号的语句或公式变都不是命题呢？不能这样死记硬背。现在观察如下几个例子：能这样死记硬背。现在观察如下几个例子：例例1：x不小于不小于0（假设已经默认论域是自然数集）。（假设已经默认论域是自然数集）。 例例2：若：若x大于大于y,并且并

22、且y大于大于z,则则x大于大于z（默认论域为实数集）。（默认论域为实数集）。例例3：任意（实数）：任意（实数）x，x大于大于0. 不难看出，上面三例都是可以判断真假的语句，因此也都不难看出，上面三例都是可以判断真假的语句，因此也都分别表述了一个命题。可是它们的表达式中也都有变元。分别表述了一个命题。可是它们的表达式中也都有变元。 那么如何辨析那些含有变元的语句或公式（命题函项）实那么如何辨析那些含有变元的语句或公式（命题函项）实际上已经表述了命题，而哪些还是命题函项而非命题呢？际上已经表述了命题，而哪些还是命题函项而非命题呢？ 事实上事实上 ，稍微思考就会发现：例稍微思考就会发现：例1的句子等

23、价于的句子等价于“任意任意自自然数然数x不小于不小于0”；例；例2的句子等价于的句子等价于“对于对于任意任意的实数的实数x、y、z，只要，只要x大于大于y，y大于大于z，则有，则有x大于大于z”.例例4：x小于小于3；存在；存在x（x小于小于3）；任意）；任意x（x小于小于3）。）。例例5：x小于小于y；存在；存在x(x小于小于y)；任意；任意x（x小于小于y）；）；对任意对任意x，存在，存在y（x小于小于y）；存在）；存在x，对任意，对任意y（x小于小于y）。）。 比较这些句子，可以发现，一个在语法表述上正确的语句比较这些句子，可以发现，一个在语法表述上正确的语句或公式，只要语句（公式）中的

24、变元都受到量词（中学提到或公式，只要语句（公式）中的变元都受到量词（中学提到过这个概念）的约束，这个语句（公式）其实也就是命题了。过这个概念）的约束，这个语句（公式）其实也就是命题了。 而前面某些表面上没有量词的语句（或公式），其实都已而前面某些表面上没有量词的语句（或公式），其实都已经蕴含了量词在句子中的作用。经蕴含了量词在句子中的作用。 上面的讨论表明，量词的理解和使用，是特别重要的。不夸上面的讨论表明，量词的理解和使用，是特别重要的。不夸张的说，对于语言表述进行形式（或符号）逻辑的分析，其张的说，对于语言表述进行形式（或符号）逻辑的分析，其最主要的内容，就是对其中量词关系的分析。最主要的

25、内容，就是对其中量词关系的分析。 因此，有必要对量词（以及逻辑连接词）再做一些说明。因此，有必要对量词（以及逻辑连接词）再做一些说明。关于逻辑词（连接词和量词）关于逻辑词（连接词和量词）3.关于量词的说明关于量词的说明：（：（1）量词与量词符号；）量词与量词符号；（2）量词的日常语言解释：全称量词符号解释）量词的日常语言解释：全称量词符号解释“任任意一个意一个”，或解释为，或解释为“对于任意一个对于任意一个”（特别是后（特别是后面紧跟着单称量词），不要解释为面紧跟着单称量词），不要解释为“对于所有的对于所有的”（切记这一点！后面还会说明产生这种现想的原切记这一点！后面还会说明产生这种现想的原因

26、因）；）； 单称量词符号解释为单称量词符号解释为“存在（某个）存在（某个）”。1连接词连接词. 有有“若若则则”；“并且并且”；“或者或者”；“非非”，分别由符号表，分别由符号表为：为： 。 ,，2.量词量词.全称（或任意）量词如：全称（或任意）量词如： ；单称（或存在）量词如：单称（或存在）量词如： 等等。等等。tyx,tyx;(3)(3)派生概念：量词的辖域；约束；约束变元；自派生概念：量词的辖域；约束；约束变元；自由变元；闭式与命题（开式、开命题、命题函项由变元；闭式与命题（开式、开命题、命题函项包括了命题）。包括了命题）。（4 4）几点注意）几点注意：（：（a a）在全称量词和单称量词

27、都出）在全称量词和单称量词都出现的语句或公式中，量词的顺序是很重要的。改动现的语句或公式中，量词的顺序是很重要的。改动这两类量词出现的顺序，将会改变语句的涵义。这两类量词出现的顺序，将会改变语句的涵义。例例. .设论域是人类，考虑下面两个语句设论域是人类，考虑下面两个语句: :（i i）对任意）对任意x x，存在，存在y y（y y是是x x的母亲）；的母亲）；（iiii）存在）存在y y，对任意，对任意x x（y y是是x x的母亲）。的母亲）。注：如在第（注：如在第（i）句中将）句中将“任意任意”改成改成“所有所有”，会怎，会怎样？样？(b)一个约定：如果将一个开式（即存在自由变元的一个约

28、定：如果将一个开式（即存在自由变元的命题函项）看做命题，那么它将被看做有前置全称命题函项）看做命题，那么它将被看做有前置全称量词的命题函项，即已作为闭式看待。量词的命题函项，即已作为闭式看待。 特别的，一个含有自由变元的蕴含式，如：特别的，一个含有自由变元的蕴含式，如： “ “ 若若A(xA(x) )，则，则B(xB(x)”)”， 总被解读为：总被解读为：“对任意对任意x x（若（若A A（x x）, ,则则B B（x x）”。（c）在一个命题函项中，如果一个变元符号）在一个命题函项中，如果一个变元符号x不属于不属于某个特定量词某个特定量词 的辖域之内，即便该量词辖域中也有的辖域之内，即便该量词辖域中也有变元符号变元符号x出现，这两个变元符号出现，这两个变元符号x却并不指却并不指 代同一代同一个对象（详略）。个对象（详略）。思考题思考题（1）陈述句）陈述句“a、b、c都是等于都是等于0的数的数”的否定式应该如的否定式应该如何表述？何表述？（2）有人说：）有人说：“若若A则则B”的否定式是的否定式是“若若A则非则非B”，你认为，你认为对吗？说说你的看