华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

1、9.华中科技大学数理 方程与特殊函数课 后答案习题一证明 laplace方程uxx + uyy = 0在极坐标(r, e)下为证明:11curr +u+uee=Orr?x = r cos e?y = rsin e二 u(x, y) = u(r cos e, r sin e),?ur = cos eux + sin euy;?ue = - r sin eux + r cos euy.?ux ? ?uy=cos eur=sin eursin eUe；rcos eUe.r? -?x? -?y ? 7? ? 07.?cos e ?-sin e ?； ? ?r r ? e?nsi?.?r?.9?从而Ux

2、x=?严)?x ?x?=?cos e?r九?x ?.?e9 n rsi?.sin e ? ? A ?u sin e ?u ? ?cos e-?r ? e? ?r r ? e?yy u= cos2 e賛 +?r2?y?u一?ysin ecos e ?u sin ecos e ?2usin2+ ?r? er2c 2 u 一 n+6?nsi?e ?u?r?6?u2?62n si+u 0?.?u ?启+竺r r ? e?= ?sin+沁Z?sm? ?r r ? e ?所以.2八?2usin ecos e ?u=sin e o?r22 r2sin e cos e ? u+2sin ecos e ? uc

3、os2?r? e1+uyy = urr + ur + r+2 r2 2sin ecos e ?u cos e ? u+? e?e?r? e2 -e ?u?r2r1门Tuee= 0. rr2? e2 '习题二1.求下列问题的解2?Utt = a Uxx (0 < x< 1,t > 0), ?u(0,t) = u(1,t) = 0,? x,?u(x,0) = ?1-?Qx,0<x < 1,?Ut(x,0) = x(x- 1);解：应用分离变量法，令u(x,t) = X(x)T(t).代入方程分离变量，得T(t)+ 怡14nQ =/x(x- 1)sinnn<

4、;dx=?(-1)n-1?.ann 0n na ?因此，所求定解问题的解为o4n4u(x,t) = ”r2sincosannt+?(-1) - 1?sinann)sinnnc n=1 n n 2n n a T(t)=0,X (x)+ ZX(x) = 0.由边界条件分离变量，得 X(0) = X(1) = 0. 求解固有值问题?X (x)+ ZX(x)=0, ?X(0) = X(1 = 0.(n = 1,2,).得?入=(rn)2, Xn(x) = Bnsinnn< 代入另一常微分方程，得Tn(t) = Cncosann + Dn sinann(n = 1,2,).oou(x,t)=百為

5、cosann+bnsinann)sinnncn=1其中/、? 1a = 2? Jxsinnn<dx+1?认1- x)sinn%xdx?=2?.nnsin22?Utt =a Uxx(0<x<l,t >0),?u(O,t)=Ux(l,t) = O,？.-、-.3冗x _.5冗x?u(x,0) = 3sin+6s in2l2l?ut(x,0) =0.解：应用分离变量法，令u(x,t)=X(x)T(t). 代入方程分离变量，得T(t)+ /a2T(t) = 0,X (x)+ ZX(x) = O.由边界条件分离变量，得X(O) = X(I) = O. 求解固有值问题?X (x)+

6、 AX(x) = 0,?X(O)=X(I) = O.).得入=(叨2,代入另一常微分方程，得4=0.因此所求定解问题的解为2l 2l2l 2lu(x, t) = 3cos3ats in3 x+6cos5ant sin5nx3.求下列定解问题的解：?5 = 4Uxx (0 < x < l,t > 0), ?？Ux(O,t) = O,Ux(l,t) = O,?u(x,0) = x(l - x).解：应用分离变量法，令u(x,t) = X(x)T(t).代入方程分离变量，得T (t)+4 XT(t) = 0,X &)+ 入X(x) = 0. 由边界条件分离变量，得X 

7、9;(0) = X (l) = 0.求解固有值问题?X '(x)+ 入X(x) = 0,? / /?X (0) = X (l) = 0.得， 入=(平)2, Xn(x) = An cosn x (n = 0,1,2,). 代入另一常微分方程，得则其中因此，-(罕)2tTn(t)= Dne l1 -( u(x,t) = c a。+ Xa“e2 缶2 i a° = | 理-x)dx =2 |an = | 01 - x)2nln ncos x.l2l26 .n n ,cos xdx =l(n = 0,1,2,).-2l2- 1 + (- 1)n所求定解问题的解为|2 二-2l2-

8、1 + (- 1)n-(牛)2tnnu(x,t) = + 刀厂 e 1cosn x.6n=in nl5.求解下列定解问题:? ? ? A中其Urr +-Ur +2山产0r r(0< r <1),0a,a < | 9| W na为已知常数.解：应用分离变量法，令u(r,B)=R(r)(0).代入方程分离变量，得r2Rr) + rR (r)-入R(r) = O, 4(4)+ X0( 0) = 0.求解固有值问题? 4(0)+ 入(0) = 0,?4( 0)=(0 + 2n).得， 入=(n)2,).Xn(x) = A cos n 0 + Bn sin n 0 (n = 0,1,2

9、, 代入另一常微分方程的定解问题得，则其中因此，?r2R() + rR (r)-入R(r)=0,?|R(0)|Rn(r) = Cnrn1ou(r, 0) = a0 + X(an cos n 0 + bn sin n 0厂.1仪八八2 a AAd 0 =,n八 2A .Acos n 0d 0 = sin n a,n n< +*(n = 0,1,2,).a。anbnn勺1 aA sin n Bd 0 = 0.所求定解问题的解为u(x,t) =+ 52Arn sin n a cos n 0.n n=1 n noo9.求解下列定解问题:?uxx + uyy = 0(0 < x < l

10、,0 < y < g),?u(0, y) = 0, u(l,y) = O (0 <y < g),?x?u(x,0) = A(1- ), lim u(x, y) = 0 (0 < x< l), ?|y Tg其中A为已知常数.解：应用分离变量法，令u(x, y) = X(x)Y(y).代入方程分离变量，得X x) + 入X(x) = 0,丫 iy)- XY(y)=0.由边界条件分离变量，得X (0) = X (I) = 0.求解固有值问题?X '(x)+ 入X(x) = 0,?X(0) = X(l) = 0.得， 入=(节)2, Xn(x)=BnSi n

11、节 x (n = 1,2,). 代入另一常微分方程，得n nn ny- yYn(y) = Cneu(x,t)= +Dne l(n = 1,2,).gn nn n/yy / n n贝»u(x, y) = X?ane 丨 + bne 丨 ?sin x.紺？? l其中an + bn = 2 加1-半)sin ¥ xdx = ZA.I 0 l ln nlim u(x, y) = 0 ? an = 0. y t gn n马 esin x.g因此，所求定解问题的解为8.在以原点为心，a为半径的圆内,试求泊松方程uxx + uyy = -1 的解,使它满足边界条件U 2. 2= 2 =

12、0.x + y = a解：令x = r cos 6, y = r sin 0,作极坐标变换,得? 1 一 1 _?Urr + Ur + 2 U6 6= - 1(0 < r < a),? r r?U r = a= 0.由固有函数法,相应的固有函数系为Acosn6 + Bsinn。. 因此,设方程的解为OOu(r®= £a n(r)cosn6 + bn(r)sin n。n=0代入方程,得?a0?an ?bn?1+ _a°r1+ar= -1,-Fan =0,(n 工0)(2)+纭'- r方程(2),3)的通解：an(r) = Aj bn(r) = C

13、 nr由有界性条件及边界条件，an (0)1 < +Obn(0)| <+O,2n I c rbn = 0,(3)+ Bnr-n,(n M0) + Dn r-n.an( a) = 0; bn(a) = 0. an(r) = 0(n 工0),bn(r) = 0.1 2 r + B- r , 4得方程(1)的通解:a0(r) = Aln由有界性条件及边界条件，|a°(0)| <+oa°(r) = 4(a2则定解问题的解为化成直角坐标，则得a°(a) = 0.T2). u(r，)=4(a2- rJ u(x,y) = ¥?a2- (x2 + y2

14、)?.12 2a - r1 C 22210.求下列问题的解：?2n?utt = a uxx + t sinx,?I?u(0,t) = 0,u(I,t) = 0 (t >0),?u(x, 0) = 0, ut (x,0) = 0(0 <x <I);?oo解：由固有函数法,相应的固有函数系为sin nn x.设方程的解为u(x,t) = "un(t)sin 平x.n =1I代入原方程,得n naUn(n 工1),u1 +naI2)U1 = t.由初始条件,得Un (0) 当 n 工1 时，un (t) = 0;当 n = 1时，u1(t)=- na ? I=Un(0)=

15、0(n =1,2,""/isin nna (t - r)d t2%a?t - sin na t ?. ?naI ?),故所求的解为? u(x,t) = ? na2I ? ?t-?Uin nat?sin n x %a I ? I?ut = a uxx + A (0 < x < l,t > 0), ?(3)?u(0,t) = 0,u(l,t)= 0,?u(x,0) = 0.解：由固有函数法,相应的固有函数系为sinx.设方程的解为oU(x,t) = ”Un(t)sinn =1n n x.l并将A展为:coA =刀 An sin -nnx,n = 1l其中An

16、= 2 /Asin 节 xdx代入原方程可得丝1 -(-1门n nnu2?a冗I o ?n0?= +o) n n u u ? ? o?2 A= 1- (-1)n, n n(-1)ne-(-1)n得：Un2?nna? T-? ? (t- T)? l ?2?n na ?丄 -? t1 - e ? 1 ?.故所求的解为00u(x,t)=刀n = 12A3 3 2n n a-?»?t1-(-1)n1? 1 ?e - sinn n x.111.求下列问题的解?22 n 2 n?utt = a uxx +4sinxcos x,? 1 1(2)?u(0,t)=0,u(l,t) = (t >0

17、),?u(x,0) = x,ut(x,0) = x(l - x) (0 <x <l). ?l解：设问题的解为u(x,t) = v(x,t) + w(x).将其代入上面的定解问题，得?22 n 2 n?vtt = a (vxx + w ) + 4sinxcos x,?l l?v(0,t) + w(0) = 0,v(l ,t) + w(l)=,?v(x,0) + w(x) =x, vt(x,0) = x(l - x).?l化成下面两个问题：(1)解得:/2a7O.?.4si n2nlxcos2nw(t)=0, w(l)=.l2. 4nx+in x.8 n2a2l(2)解得:?Vtt =

18、 a2Vxx?v(0,t) = 0,v(l,t) = 0,? ?v(x,0) = x- w(x),Vt(x,0)v(x,t) = JJan cos罟 t+bnn=1?loo?s?X冗nn其中，an = 2Sin4 l 0 8n2a2lbn = n冗aml2则 V(x,t) =- 2 28n ai理-x)?sin4冗a丄.4 cos1 sin ll? 0， x?sin 'nnxdx = ?i2l? 8n2a2n n ,41nxdx=-1- (-1)ln n a4l31-(-1).sinoo7tXx+刀n=1.nn工4;n = 4.ua丄. t sinlnnx.因此，原问题的解为1?.4-nsi?.B u(x,t) =v(x,t) + w(x) = x + -l 84l31-(-1) . n Tta, . nn Xsin tsi n x.禽1n n all14求下列问题的固有值与固有函数?X + AX=0,?x(-n = x(n,x(- n=x(n.解：当入0寸，方程的通解为X(x)=Ae-Xx + Be- ”由边界条件，有Ae-+ Be -入冗=Ae-入冗+ BG -入A -沁-"-B J-疋-宀=AJ-疋-"-B -入e-入;得 A=B = 0? X(x) = 0.当入=0时，方程的通解为X(x) =