第四章 刚体转动

1、OrmzFtFnFrmmaFttM （1）设单个设单个质点质点 与转轴与转轴刚性连接刚性连接m2mrM 2tsinmrrFrFM定义：定义： 为质点为质点m对对O点的点的 “转动惯量转动惯量”2mrJ JM 2/202iejjjjrmMM 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM2mrM 刚体的刚体的转动惯量转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比，成正比，与刚体的与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(JM 2jj

2、jrmJ定义刚体转动惯量：定义刚体转动惯量：OzjmjrjFejFimrJd2 4/20讨论讨论JM（2）tJJMdd（3）（1） 不变不变M，0*转动定律转动定律*JM tvmmaFdd比较比较:*转动惯量转动惯量* 转动惯量转动惯量的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd2 转动惯量是对某一转轴的转动惯量是对某一转轴的 转动惯量转动惯量具有可叠加性具有可叠加性 转动惯量与刚体的转动惯量与刚体的质量质量、质量的分布质量的分布及及转轴的位置转轴的位置有关。有关。6/20v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmr

3、mrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd例题例题 均匀杆均匀杆m , ,求对求对O O 轴的转动惯量轴的转动惯量 CAml2l2x dxxOl23022313mlldxxdmxJlO232/2/22121121mlldxxdmxJllC运用微积分思想和方法运用微积分思想和方法dxdmlm8/20例题例题 求半径为求半径为R R均匀圆环均匀圆环m对圆心对圆心C C的转动惯量：的转动惯量：例题例题 求半径为求半径为R均匀圆盘均匀圆盘m 对轴的转动惯量对轴的转动惯量: :240222122mRRr

4、drrdmrJR m i iiCmRRmJ22C R2mRJC 圆环圆环?圆环圆环?距轴距轴R的质点的质点?r运用微积分思想和方法运用微积分思想和方法2rdmdJ rdrdm22Rm2mdJJCO 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量为：的转轴的转动惯量为：CJmddCOm10/20平行轴定理的证明平行轴定理的证明2mdJJCOiiiiiiiCyxmrmJ)(222iiiiiiiOyxmrmJ)(222iiiiiizzdyyxx,C 为刚体的质心，JC 为通

5、过质心轴的转动惯量iiiiiiiOdyxmrmJ)(222iiiiiiiiiOymdmdyxmJ2)(222Ciimyym质心通过坐标原点，yC=0 =m=0yxzJJJ yx z 圆盘圆盘 R C m 垂直轴定理垂直轴定理Jm rm xm yziiiiii 222薄板型物体薄板型物体222iiyxri12/20竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都分飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？布于外轮缘？( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) 与与 方向相同方向相同 M说明说明

6、转动定律应用转动定律应用JM 14/20 例例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水平面上，和一静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 mB 的物体的物体B上，上，B 竖直悬挂。竖直悬挂。滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计力可略去不计( (1) )两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖水平和竖直两段绳索的张力各为多少？直两段绳索的张力各为多少？( (2) ) 物

7、体物体 B 从静止落下距离从静止落下距离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？解解 ( (1) ) 用用隔离法分别对各物体作受隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系。力分析，取如图所示坐标系。ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2F BPBmT2FT1FCPCF16/20amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2F BPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm转动定律转动定律牛顿定律牛顿定律2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：BABAT2T1mmgmmFF如令如令 ，可得，可得0Cm18/2