人教版七级数学下册二元一次方程组知识点及应用题

1、第八章二元一次方程组第一节、知识梳理二元一次方程组一、学习目标1. 了解并认识二元一次方程的概念2. 了解与认识二元一次方程的解 .3. 了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别5. 掌握代入消元法和加减消元法.二、知识概要1. 二元一次方程：像x+ y= 2这样的方程中含有两个未知数 x和y，并且未知数的指数都是1,这样的方程叫做二元一次方程.2. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3. 二元一次方程组：把两个方程x + y= 3和2x + 3y= 10合写在一起为加十勿=住

2、像这样， 把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5. 代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程， 把一个未知数用含另一个未知数的式子 表示出来，再代入另一方程，实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做 代入消元法，简称代入法.6. 加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.三、重点难点代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点 四、知

3、识链接本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来， 为以后解决实际问题提供了 一种有力的工具 .五、中考视点本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、 选择中出现， 还有的出现在解答题的计 算当中 .二元一次方程组的实际应用一、学习目标将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型即二元一次方程组 ，解决问题 .二、知识概要列方程组解应用题的常见类型主要有：1 .行程问题包括追及问题和相遇问题，根本等量关系为：路程=速度X时间；2 .工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题， 一类是工作总量为1的工程问题根本等量关系为：工作量=工作效率X 工作时间；3. 和差倍分问题.根本等量关系为

4、：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X1 倍量;4. 航速问题 . 此类问题分为水中航行和风中航行两类，根本关系式为：顺流风：航速=静水无风中的速度+水风速逆流风：航速=静水无风中的速度水风速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等 .三、重点难点 建立数学模型二元一次方程组是本周的重点，也是本周的难点.四、知识链接 本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问题提供了一个模型， 一种方法 .五、中考视点二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面： 1 从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题； 2 能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题 .第二节、教材解

5、读1.二兀一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：1是方程；2有且只有两个未知数；3方程是整式方程，即各项都是整式；4各项的最高次数为 1.t mm例如：像+y = 3中，.一不是整式，所以.+y = 3就不是二兀一次方程；像 x+1=6, x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为2,所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点.2 .二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做

6、二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如凭41 =2,薛十都是兀一一次方程组.3. 二元一次方程的一个解符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解.4. 二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或局部左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时

7、满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解.第三节、错题剖析【例1】方程组2x-y=8A_1尸2x= 1 r3f=lOr冃4U,1tc誤' 尸尸2【误解】A或D.【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的.验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解.【正解】C.仙】用代人法解方廖雹防闵解】由式i旱%=8-3y

8、把式代入式得 8-3y+3y=8 , 0Xy=0.所以y可以为任何值所以原方程组有无数组解.【思考与分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种根本方法.它的一般步骤是：1从方程组中选一个系数比拟简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如此题中方程中的x,用含y的代数式表示为x=8-3y ; 2将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“另一个方程，“误解把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y的恒等式，出现了错误.3解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；4将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个

9、未知数，从而得到方程组的解.【正解】由式得 x=8-3y把式代入式得 2 8-3y+5y=-21 ,解得y=37.把y=37代入式得x=8-3X 37,jx=-103,解得x=-103.所以y二口®-2y=2【例3】解方程组h-y=-2【错解】 方程-得：3y=0，所以y=0,把y=0，代入 得x= 2,所以原方程组的解为【分析】在-时出错.【正解】 -得：x 2y x y= 2 2x 2y x + y = 4y=4y= 4把y= 4代入得x= 6,3；=-6所以原方程组的解为【小结】 两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心【例4】 某化装晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂

10、红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的 &，问晚会上男、女生各有几人？错解：设晚会上男生有x人，女生有y人.¥二生- I r根据题意，得把代入，得 x=£ 2x-1，解得x=3.把x=3代入，得y=5.所以 "答:晚会上男生3人，女生5人.【分析】此题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝而是除自己色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数,之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数正解：设

11、晚会上男生有x人，女生有y人.尸2亢I 根据题意，得二 把代入，得131x=T :2x-1 丨-1- 1 ,解得x=12.把x=12代入，得y=21.I所以!-答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误 【例5】解方程组时尸2"尸2®【错解】 方程+ 得：2x=4 ,原方程组的解是：x=2【错因分析】错解只求出了一个未知数 x，没有求出另一个未知数 y.所以求解是不完整的.【正解】接上将x=2带入得：y=0.所以原方程组的解为【小结】 用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，这是对二元一

12、次方程组的解的意义不明确的表现应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.【例6】解方程组2(7-yy=2x-19把式代入式得【错解】由式得所以字R和即工二&杷 =6 代人旱 y=2x &-19所以r=-7.所以汽；尸二7【错因分析】“错解在把变形后的式代入式时，符号书写出现了错误当解比拟复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，防止出现错误.【正解一】化简原方程组得由I星尸-誓(3)所以托斗$=-代入得y=-|J 14 = 95TT TF'所以原方程组的解为【正解二】化简原方程组

13、得 X6+得 17x=114 ,杷汗罟代入到中得缶-y= 19所以尸-勞.所以原方程组的解为P5【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是 0时，用代入法比拟方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比拟方便.第四节、思维点拨【例1】 小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票假设干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系寄信需邮资3元8角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元.再接着往下找数量关系

14、，所需邮票的总票额等于所需6角邮票的总票额加上所需8角邮票的总票额.所需6角邮票的总票额等于单位票额6角与所需6角邮票数目的乘积.同样的，所需8角邮票的总票额等于单位票额8角与所需8角邮票数目的乘积.这就是题中蕴含的所有数量关系第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额第三步要在构建等式的根底上找出这个数量关系中牵涉到哪些量和未知量量是所需邮资3 .8兀，两种邮票的单位票额0.6兀和0.8兀，未知量是两种邮票的数目第四步是设元即设未知量，并用数学符号语言将数量关系转化为方程.设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其

15、转化为方程： 0.6x+0.8y=3.8.第五步是解方程，求得未知量.由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可护I r或帶=5 r以用列表尝试的方法求解.方程的解是I尸41尸L第六步是检验结果是否正确合理 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要 5张6角的邮票和1张8 角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片12 0张 .商店里有两种型号的胶卷： A 型每卷3 6张底片，E型每卷12张底片 .小聪一共买了4卷胶卷，刚好有12 0张底片 . 求两种胶卷的数量.【思考与解】

16、第一步：找数量关系.A型胶卷数+E型胶卷数=胶卷总数，A型胶卷的底片总数+E型胶卷的底片总数=底片总数.A型胶卷的底片总数=每卷A型胶卷所含底片数XA型胶卷数，E型胶卷的底片总数=每卷E型胶卷所含底片数XE型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系， 构建等式.A型胶卷数+E型胶卷数=胶卷总数，A型胶卷的底片总数+E型胶卷的底片总数=底片总数第三步： 找出未知量和量.量是：胶卷总数，度片总数，每卷A型胶卷所含底片数，每卷E型胶卷所含底片数；未知量是：A型胶卷数，E型胶卷数.第四步： 设元，列方程组.设A型胶卷数为 x,E型胶卷数为 y,根据题中数量关系可 列出方程组：|;鳥得1» = 3

17、 F尸1.第五步：答：A型胶卷数为3,E型胶卷数为1.【小结】我们在解这类题时，一般就写出设元、列方程组并解出未知量和答这几步，如有必要可以加上验证这一步.其他步骤可以省略.【例3】用加减法解方程组藩+2尸弓r3x-2y=5.【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加,消去y.解：+，得 4 x=8.解得 x=2.把x=2代入，得 2+2y=3.m解得 y= 2.所以，原方程组的解为:【例4】用加碉去解方程组2s3y=8 4a+5y-6.【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程X2再与方程作差消去x较好.解： X2,得 4x-6y=16.，得

18、11y=-22.解得 y=-2.把y=-2代入，得2 x-3X -2=8 .解得x=1.所以原方程组的解为r=-2-【例引解方程俎2x+5y=2l,兀+2尸&【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比拟简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.此题中，方程的系数比拟简单，应该将方程进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比拟简单.只要将方程两边乘以 2，然后将两方程相减即可消去x.解法1 :由得x=8-2y.把代入得2 8-2y+5y=21，解得 y=5.把y=5代

19、入得x=-2.所以原方程组的解为：严-lr=5.解法2:X2得2x+4y=16.-得 2x+5y-2x+4y=21-16，解得 y=5.把y=5代入得x=-2.所以原方程组的解为【小结】 我们解二元一次方程组时，用到的都是消元的思想，用代入法还是加减法解题,原那么上要以计算简便为依据【例6】用代入法解方程组af=y+3 r -Sy=L4.【思考与分析】经观察，我们发现方程为用y表示x的形式，故将代入，消去x.解：把代入，得3 y+3-8y=14.解得 y=-1.把y=-1代入，得x=2.牡-羽=16【例7】 用代入法解方程组 3*戶【思考与分析】经观察比拟，我们发现方程更易于变为用含一个未知数

20、的代数式表示另一个未知数的形式，应选择变形，消去y.解： 由，得 y=2x-5.把代入，得3x+4 2x-5=2.解得 x=2.把x=2代入，得 y=-1.所以原方程组的解为：潜至ry=-.【例8】 甲、乙两厂，上月原方案共生产机床90台，结果甲厂完成了方案的112%，乙厂完成了方案的110 %，两厂共生产机床 100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，此题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么， 而是采用先设出一个中间未知数， 求出这个中间未 知

21、数，再利用它同题中要求未知数的联系， 解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂 原方案生产x台，乙厂原方案生产 y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产 x台，乙厂超额生产 y台，那么共超额了 100-90= 10台，而甲厂常y方案生产的台数是'1'"台，乙厂方案生产的台数是台.根据题意，得y-4-.化简得答：上月甲厂超额生产 6台，乙厂超额生产 4台.解法二：间接设法设上月甲厂原方案生产 x台，乙厂原方案生产 y台.根据题意，得曜得所以 xX 112% 1= 50X 12%= 6,yx 110% -1= 40 X 10%= 4.答：上月甲厂超额生产 6台，乙厂超额

22、生产 4台.【例9】 某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行先坐车的人在途中某处下车步行，汽车那么立即回去接先步行的一半人.步行每小时走 4千米，汽车每小时走20千米不计上下车的时间，要使大家下午5点同时到达，问需何时 出发【思考与分析】我们从行程问题的 3个根本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人， 车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组如下列图是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系解：设先坐车的一半人下车点距起点X千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相

23、距 y千米，根据题意得畫I Lt _ 100卜舒 5+20，I丁_了 十 100_文十了 _ (M>+2y420 20'卄沖，解得皿化简得滋-号f尸50.T f 100-t _10从起点到终点所用的时间为沁 4'所以出发时间为：17- 10 = 7.即早晨7点出发.答：要使学生下午 5点到达，必须早晨 7点出发.【例10】 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25 %的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 %的一年定期存款, 一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？利息所得税=利息金额X20%

24、教育储蓄没有利息所得税【思考与分析】设教育储蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我们可以根据题意可列出表格:tr - 1!；啟宽暫丿；£1-军定耦/X.；咅计丿死! 1 丫2000 1.,1 !H'2.25ft204275 !jy元，那么解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.第五节、竞赛数学2富+ 3尸斤r【例1】方程组丨3x-4

25、y=A+ I I的解x, y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法1由方程组消去 k,得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出 x,y的值，最后将x, y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.2 把k当做数，解方程组，再根据 5x-y=3建立关于k的方程，便可求出 k的值3将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11 ,又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.2帯十3尸看3怎-4尸m 一勺rQ解也一：得7尸II 一 ©-5 r 得 34尸-52 »轻得 y=-yj-.杷尸睜代人，得盼各O解得尸青

26、斗=严一空-2+3x(-)=Jt把 门b丄日代入，得丄门，解得 k=-4.解法二： X 3 X2,得 17y=k-22 ,解得尸爷-杷尸骨代入,得N柘浓皆注 解得沪斗导-把“斗畀_和尸午孚-代人r得弘号铲 与尹勻解得艮7解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧当然，巧妙解法很容易想到的妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,话，那就应该用巧妙解法了 【例2】某种商品价格为每件3 3元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各假设干张，买了一件这种商

27、品假设无需找零钱，那么付款方式有哪几种 指付出2元和5元钱 的张数？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】此题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式然后找出量和未知量设元，列方程组求解.最后，比拟各个解对应的 x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少解：设付出2元钱的张数为 x，付出5元钱的张数为 y,那么x, y的取值均为自然数.依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是0或5,I|»=14pJy=l -所以2x个位上数应为3或8.又因为2 x是偶数，所以2 x个位上的数是8,从而此方程的

28、解为:茶弓'得!¥=9；由,yT 得 x+y=12;由尸1由得 x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少答：付款方式有3种，分别是：付出4张2元钱和5张5元钱； 付出9张2元钱和3张5元钱；付出14张2元钱和1张5元钱 .其中第一种付款方式付出的张数最少 【例3】解方程组+盼圧 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组 解含字母系数的方程组同解含字 母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零解：由，得y=4 mx,把代入，得 2x+5 4 mx =8,解得 2 5m x=-12，当 2 5m= 0,2_即m= 丁时，方程

29、无解，那么原方程组无解2_当2 5m0,即'时，方程解为125rrt-2 '将"环弋一代入，得S-8m2-Sm故当:时,原方程组的解为125m22-5m【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解 时需要讨论字母系数的取值情况.中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同平安检查中，对 4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过 560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.1求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？2检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%.平安

30、检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门平安撤离假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这 4道门是否符合平安规定？请说明理由.【思考与解】1设平均每分钟一道正门可通过 x名学生，一道侧门可以通过 y名学生.根据题意，得 仪沂丁詔呱y.所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.2这栋楼最多有学生 4X 8X 45=1440人.拥挤时5分钟4道门能通过5X 2X 120+80X 1-20%=1600人.因为1600>1440，所以建造的4道门符合平安规定.答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这

31、4道门符合平安规定.【例5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：加千克如千克以上但 不趙吕40千克趕千克鬲千克价 格6元*元张强两次共购置香蕉 50千克第二次多于第一次，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购置香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购置香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买 的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购置香蕉的千克数.解：设张强第一次购置香蕉x千克，第二次

32、购置香蕉y千克由题意，得0<x<25 . 当0<xw20, yw40时，由题意，得 &十盼2皿,36.|玄廿解得 当0<x<20, y>40时，由题意，得 尿山尸2開.尸&与0<xw20, yw40相矛盾，不合题意，舍去 当20<x<25时，25<y<30 .此时张强用去的款项为5x+5y=5 x+y=5X 50=250<264不合题意，舍去.综合可知，张强第一次购置香蕉14千克，第二次购置香蕉 36千克.答：张强第一次、第二次分别购置香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候， 一定要考虑周全，

33、不能说想出了一种情况就认为万事大 吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意【例6】 用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒现在仓库里有1 0 0 0张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 1$ 目a 1国它【思考与分析】 我们已经知道量有正方形纸板的总数1000,长方形纸板的总数 2 0 00,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式

34、纸盒要用的正方形纸板数X竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数X横式纸盒个数=正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数X竖式纸盒个数 +每个横式纸盒要用的长方形纸板数X横式纸盒个数=长方形纸板的总数通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系空牛竖武，个横武 敎盒中合计正方形飯 板的张数X1000长方形紙 板的张数2000设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个根据题意，得工今二1000,务+分二 X4-，得 5 y=2000,解得y=400.把 y=400 代入，

35、得 x+800=1000 ,解得x=200.y=200p所以方程组的解为 7=-因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意答：竖式纸盒做2 0 0个，横式纸盒做4 0 0个，恰好将库存的纸板用完第六节、本章训练根底训练题一、填空题每题 7分，共35分1. 一个两位数的数字之和是7,这个两位数减去 27,它的十位和个位上的数字就交换了位置，那么这个两位数是2. 甲、乙两人从相距3 6 km的两地同时相向而行，li_lh相遇.如果甲比乙先走Llh，那么在乙出发后Hh与甲相遇.设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，贝U x=, y=.3. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么

36、甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数 是4. 一队工人制造某种工件， 假设平均每人一天做 5件，全队一天就超额 30件；假设 平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成 20件.假设设这队工人有 x人，全队每天的 数额为y件，那么依题意可得方程组5. 某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记 0分.小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，那么他答对了.二、选择题每题 7分，共35分1. 一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被3整除，假设将十位数字与个位数字交换又能被5整除，这个两位数是丨.

37、A. 53B. 57C. 35D. 752. 甲、乙两车相距150km,两车同时出发，同向而行，甲车 4h可追上乙车；相向而 行，1.5h后两车相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为 xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的选 项是14务-ybi別弓-E+yblR150x4-Ar-y-150x43. 甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行假设乙先行12km那么甲1小时追上乙；如果乙先走1小时，甲只用二小时就追上乙，那么乙的速度是km/h.A. 6B. 12C. 18D. 364. 一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的2倍，那么船在静水中的速度与水流的速度之比为.A. 4 : 3B. 3

38、 : 2C. 2 : 1D. 3 : 15. 某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所.报考第一高中的人数是报考第二高中的 2倍，第一高中的录取率为50%,第二高中的录取率为 60%，结果升入第一高中的人数比升入第二高中的人数多 .64人，那么升入第一高中与第二高中的分别有A. 320 人，160 人C. 160 人，96 人B. 100 人，36 人D. 120 人，56 人三、列方程组解应用题每题15分，共30分1. 一批机器零件共 840个，如果甲先做4天，乙参加合做，那么再做8天才能完成； 如果乙先做4天，甲参加合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？2. 师

39、傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？答案一、填空题1.522.9,1 13甲跑6米，乙跑4米|4s=y-205. 19道题二、选择题1. B2. B3. A4. D5. C、列方程组解应用题1.【解题思路】由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做 9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做 y个机器零件，根据题意，得)y-344).輯得心0,y-30.答：甲每天做50个机器零件，乙每天做 30个机器零件2. 【解题思路】由“我像你这样大时， 你才4岁可知

40、师傅现在的年龄等于徒弟现 在的年龄加上徒弟现在的年龄减4,由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄.由这两个关系可列方程组求解解：设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得化简为尸20答：现在师傅36岁，徒弟20岁.提高训练题1. 甲、乙两人分别从相距 30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到 A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度|寸忙卜产112. 2小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组丨好?戸心中第一个方程y的系数和第二个方程 x的系数看不到了，现在小丽的结果

41、是 由此求出原来的方程组吗？3. 假设厅是关于x, y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值.4. 方程组IC rr+2=73C£2其中正确的说法是A.只有11、3是二-元次方程组;B.只有11、4是二-元次方程组;C.只有:2、3是二-元次方程组;D.只有.2不是二一元次方程组.答案1. 解：设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时.第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米.根据题意，得I3*+3y-3O-3,130-( 3+2 >r-2 30-( 34-2)/.If I第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米.根据题意，得3O-U+2kTTO-并 2刃.16戎旺

42、答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时；或甲、乙的速度分别为16千米/5时和I r千米/时.2. 解：设第一个方程中y的系数为a,第二个方程的x系数为b.那么原方程组可写成Asr+2y*2*把厂匚代人二元一决方程组=2.2得到广如1解得罗U+42-U6l所以原方程俎为3«44/=11» -&r2y=-2.答膜方程组为|环存山一矗十2严一 £3. 解：既然I尸2是关于X、y的二元一次方程 3x y+ a= 0的一个解，那么我们把尸？代 入二元一次方程 3x y+ a= 0得到3 2 + a = 0，解得a = 1.4. 解：二元一次方程组是由两个以上一

43、次方程组成并且只含有两个未知数的方程组，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程组中方程的个数可以超过两个.此题中的1、3、4都是二元一次方程组，只有2不是所以选 D.强化训练题3不十2尸I就t1. 解关于x, y的方程组 尸-亚，并求当解满足方程4X 3y= 21时的k值2. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5 : 4,第二个长方形的长与宽之比为3 : 2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm,求这两个长方形的面积3. 甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0,得和为2342,乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为

44、65,你能求出原来的两个加数吗？4. 某校2006年初一年级和高一年级招生总数为 500人，方案2007年秋季初一年级招生人数 增加20%,高一年级招生人数增加 25%,这样2007年秋季初一年级、 高一年级招生总数比 2006年将增加21%，求2007年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？答案:=-3.2.解:设第一个长方形的长勻 宽分别为Sscrri和第二个长 方形的长与宽分别为乃呗和2 毋 in_根扌居题意，得2x5j;44!r-2x 37-+27>=112：3.解：设两个加数分别为解得門所以原来的两个加数分别为230和42.4.解：设2007年初一年级秋季招生人数为x，高一年级

45、招生人数为y.根据题意得常叙ISO,解得|尸1药_答：2007年初一年级秋季招生人数为480人，高一年级招生人数为125人.综合训练题、精心选一选每题 7分，共35分1.方程组的解是3jn-b4n-16=0, 5m-6ri'33=C.m=7 rn=-LTH =4 r2.在一次小组竞赛中， 遇到了这样的情况：如果每组 7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人问竞赛人数和小组的组数各是多少？假设设人数为x，组数为y,根据题意，可列方程组7y=x+3f7x=yfC.9y=st+5.7y=+3r十5_3.买甲、乙两种纯洁水共用 250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种

46、水的桶数的75%设买甲种水x桶、乙种水y桶，那么所列方程组中正确的选项是6s：-i-9j=2-50rSs：+6y,=25Qr =75 廉了.4.一个两位数被9除余2,如果把它的十位与个位交换位置，那么所得的两位数被9除余5，设个位数字为X，十位数字为y，那么下面正确的选项是以下选项中ki、k2都为整数A.1应二9加+210/杠二 9A 汁 5|lfe+7=9A|-210/七二%厂5c-llOy+工二滋什2° 110w+尸 汁 5110y-9Jcl-216廿二 9屆-5种.5. 用面值I元的纸币换成面值为I角或5角的硬币，那么换法共有A. 4B. 3C. 2D. 1二、用心填一填每题 7分，共35分1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.那么轮船在静水中的速度为 ，水流速度为 .2. 一队工人制造某种工件，假设平均每人一天做 5件，那么全队一天就比定额少完成30件；假设平均每人一天做7件，那么全队一天就超额