数学概念的外部表征

1、数学概念的外部表征1、概述为了思考数学概念和进行交流，我们需要能以某种方式来作表示，表示的形式可以是口头语言、书面符号、图画、物理客体等。一个特定的数学概念常常可以用任意一种或多种形式表示。数学概念的外部表征是数学概念的过程与结构侧面的外化，这种表征以内部表征为基础，将内部表征以有序状态向外部呈现。它与内部表征的区别是：内部表征可以是连续的场、无序的网络，而外部表征是离散的程序块、有序的链。它是内部表征的反映，但又不能代表概念内部表征的全部。2、数学概念外部表征系统一般来说，数学概念总是存在于较大的概念体系中才能获得自身的意义，这些概念以及概念体系被嵌入下图提出的表征系统中。当我们说学生理解了

2、数学概念时，主要是指他们理解运用下图勾绘的转化程序。操作模式文字符号口语符号实际生活背景符号化表达简化列举读写上面的图，可以简化为：具体材料-操作-图象-数学符号。如果把图像作两种分解，一部分可以是静态的形象模式，另一部分可以是符号关系形式。前者归入具体材料范畴，后者归入数学符号的内容。因此，对数学概念的外部表征，应集中讨论以下两类主要问题：具体材料的表征、数学符号的表征以及如何在具体材料和适当的数学符号之间建立起有意义的联系。 （1）具体材料表征数学概念的形成过程是“具体抽象”的过程，这里的“具体”在早期可以是实际物理材料或现实背景，也可以是数学中已有的概念等理论或数学活动的过程。这里的“具

3、体材料”主要是在形成新概念之前，它们是新概念的现实原型、样例，通过对它们的共同属性抽取而获得新概念。主要包括两种情况，一种是原始原型，例如由各种实物的圆抽象出数学的圆；另一种是典型的样例，即原型或中心样例，这种原型集中体现了概念本质属性。例如，为一元二次方程的原型。（2）数学符号表征数学符号在学习数学概念时有着重要的作用。用数学符号表征数学概念实质上既反映了概念外部表征，也反映了学生的内部表征，同时反映出数学概念内部与外部表征的关系。数学符号在学生学习与理解数学概念中起到两种作用：一是通过记号使内部网络得到建构，二是通过符号使外部表征得到联系，从而完成交流。内部系统结构记号系统外部其他形式加工

4、（建构）个人功能社会功能记录（交流）然而，数学符号本身只是一种人工的约定，为了使数学概念得以理解和表征，就必须通过联系对符号本身加以理解，否则符号本身就毫无价值，有时还会阻碍学生思维的进行。因此，书写的记号必须在内部表示为数学的对象，同时，这种记号必须有相应的内部系统，是记号系统的模式和规则的集合，不能仅仅是符号的简单罗列。 总之，数学概念通过数学符号进行表征的关键是通过符号建立两类联系，假如这两种联系得到建立，那么数学概念就获得符号表征。这两种联系是：（1）通过记号和其他的表示形式的联系，完成符号的社会功能。这种功能主要是通过数学符号把已知的概念记录下来以便于他人交流，即个体把内部的数学概念用另一种方式来表征。（2）通过符号的内部系统联系的建立，来实现符号的个人功能。只有当这种联系都得到建立时，学生才能真正通过数学符号表征数学概念，从而理