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文档简介

1、收稿日期 :2006-03-30作者简介 :徐希扬 (1962, 男 , 江苏新沂市人 , 临沂师范学院蒙山校区高级讲师 . 双曲线平行弦的两个性质徐 希 扬(临沂师范学院蒙山校区 , 山东费县 273400中图分类号 :O123. 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488-7395(2006 15-0027-01 笔者通过对双曲线的探究 , 发现了它的平行弦 之间的两个新颖有趣的性质 .图 1 双曲线性质 1 如图 1, 过双曲线 2a 2-2b2=1(a 0, b0 的顶点 A 的弦 AQ 交 y轴于点 R , O 则|OP |2=2|AQ |.证 设 OP 的参数方 程为x =t co

2、s, y =t sin ,t 为参数 .将 x , y 代入双曲线方程并整理 , 得(b 2cos 2-a 2sin 2 t 2=a 2b 2.显然 b 2cos 2-a 2sin 2 0, |OP |2=t p 2=22b 2cos 2-a 2sin 2(1因为 AQ OP , 于是可设 AQ 的参数方程为 x =-a +t cosy =t sin (t 为参数 (2将 x , y 代入双曲线方程并整理 , 得(b 2cos 2-a 2sin 2 t 2-2ab 2cos t =0, |AQ |=|t Q |=2b 2cos 2-a 2sin 2(3在 (2 中令 x =0, 得|AR |=

3、|t R |=cos (4由 (1 , (3 , (4 可得|OP |2=3|AR | |AQ |.性质 2 如图 2, MN 是过双曲线2a 2-2b2=1(a 图 2 双曲线0, b 0 F 的弦 , O 弦 OP , 则|.证 设 OP 的 参 数 方程为x =t cos, y =t sin ,t 为参数 .由性质 1的证明可知|OP |2=22b 2cos 2-a 2sin 2(1因为 MN 过焦点 F (-c ,0 , 且 MN OP , 于是 可设 MN 的参数方程为x =-c +t cos, y =t sin ,t 为参数 .将 x , y 代入双曲线方程并化简整理 , 得(b 2cos 2-a 2sin 2 t 2-2b 2c cos t +b 4=0.由韦达定理得t 1+t 2=2b 2cos 2-a 2sin 2, t 1t 2=4b 2cos 2-a 2sin 2, (t 1-t 2 2=(t 1+t 2 2-4t 1t 2 =(2b 2cos 2-a 2sin 2 2-4b 2cos 2-a 2sin 2 =24(b 2cos 2-a 2sin 2 2, |MN |=|t 1-t 2|=2b 2cos

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