数据建模方法

1、数据建模方法数据建模方法12数据建模方法数据建模方法 数据的插值方法数据的插值方法； 数据的拟合方法；数据的拟合方法； 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题。案例分析：黄河小浪底调水调沙问题。 数据的描述性分析数据的描述性分析； 2022-3-231 1 数据的描述性分析数据的描述性分析1.1 1.1 集中趋势的描述集中趋势的描述1.2 1.2 离散程度的描述离散程度的描述1.3 1.3 数据描述的数据描述的MATLABMATLAB常用命令常用命令2022-3-24 描述集中趋势的指标分为两类：描述集中趋势的指标分为两类：数值平均数值平均数和位置平均数数和位置平均数(1)(1)数值平均数数值平均数

2、1.1. 1.1. 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述算术平均数、调和平均数和几何平均数算术平均数、调和平均数和几何平均数 算术平均数是研究数据集中趋势的最算术平均数是研究数据集中趋势的最主要的测度值之一主要的测度值之一,包括简单算术平均数包括简单算术平均数和加权算术平均数和加权算术平均数2022-3-251.1. 1.1. 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述2022-3-261.1 1.1 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述 调和平均数调和平均数是各数值倒数的算术平均数的倒是各数值倒数的算术平均数的倒数调和平均数可分为简单调和平均数与加权调数调和平均数可分为简单调和平均数与加权调和平均

3、数和平均数2022-3-271.1 1.1 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述2022-3-281.1 1.1 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述2022-3-291.1 1.1 数据集中趋势的描述数据集中趋势的描述(2) 位置平均数位置平均数 位置平均数是表示一组数据位置关系的位置平均数是表示一组数据位置关系的指标，主要包括指标，主要包括中位数和分位数中位数和分位数(3) 众众 数数 众数是指在一组数据中出现次数最多的众数是指在一组数据中出现次数最多的那个数值那个数值.2022-3-2101.2 1.2 离散程度的描述离散程度的描述 在统计学中，通常是把反映总体中的各个在统计学中，通常是

4、把反映总体中的各个个体数值之间差异程度的指标称为离散程个体数值之间差异程度的指标称为离散程度反映离散程度的指标有绝对数和相对数两度反映离散程度的指标有绝对数和相对数两类类1. 1. 离散程度的绝对指标离散程度的绝对指标 极差：极差：四分位差：四分位差：2022-3-2111.2 1.2 离散程度的描述离散程度的描述平均差：平均差： 简单式：简单式：11nDiMxxn 加权式：加权式：11kDiikiiiMf xxf标准差：标准差：211()1niisxxn方差：方差：2022-3-2121.3 1.3 数据描述的数据描述的MATLABMATLAB常用命令常用命令2022-3-2132 2 数据

5、的插值方法数据的插值方法2.1 一般多项式插值一般多项式插值2.2 牛顿插值牛顿插值2.3 分段线性插值分段线性插值2.4 样条插值样条插值2.5 用用MATLAB解插值问题解插值问题2022-3-214 1. 多项式插值的一般提法多项式插值的一般提法2.1. 2.1. 一般多项式插值一般多项式插值2022-3-2数学建模实用教程高教出版社数学建模实用教程高教出版社15 2 .拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式2.1. 2.1. 一般多项式插值一般多项式插值（1）一阶拉格朗日插值）一阶拉格朗日插值2022-3-2162.1. 2.1. 一般多项式插值一般多项式插值（2）2阶拉格朗日插值阶拉格朗日

6、插值2022-3-2172.1. 2.1. 一般多项式插值一般多项式插值（3）n阶拉格朗日插值阶拉格朗日插值2022-3-218 1. 函数的差商函数的差商2.2 2.2 牛顿插值牛顿插值2022-3-219 2 牛顿插值公式牛顿插值公式2.2 2.2 牛顿插值牛顿插值（1）一次牛顿插值多项式）一次牛顿插值多项式2022-3-2202.2 2.2 牛顿插值牛顿插值（2）二次牛顿插值多项式）二次牛顿插值多项式2022-3-2212.2 2.2 牛顿插值牛顿插值（3）n 次牛顿插值多项式次牛顿插值多项式2022-3-222 1. 插值多项式的振荡插值多项式的振荡2.3 2.3 分段线性插值分段线性

7、插值2022-3-2232 .分段线性插值分段线性插值2.3 2.3 分段线性插值分段线性插值2022-3-2241. 样条函数的概念样条函数的概念2.4 2.4 样条插值样条插值2022-3-2252. 三次样条插值三次样条插值2.4 2.4 样条插值样条插值2022-3-2261. 一维插值一维插值2.5 2.5 用用MATLABMATLAB解插值问题解插值问题2022-3-2272 . 二维插值二维插值2.5 2.5 用用MATLABMATLAB解插值问题解插值问题这么简单啊！这么简单啊！2022-3-228问题的提出问题的提出【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插值问题机翼断面的轮廓线插

8、值问题2022-3-229模型的分析与假设模型的分析与假设【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插值问题机翼断面的轮廓线插值问题2022-3-230【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插值问题机翼断面的轮廓线插值问题模型的建立与求解模型的建立与求解 为了得到加工所需要的数据，需要计算为了得到加工所需要的数据，需要计算机翼断面的轮廓线插值点的值，还要设法保机翼断面的轮廓线插值点的值，还要设法保证连接点处的光滑性不妨用分段线性插值证连接点处的光滑性不妨用分段线性插值和三次样条插值方法计算，并加以比较。和三次样条插值方法计算，并加以比较。 看看有什么看看有什么区别区别?x0=0 0.03 0.18 0.3

9、1 0.90 1.5 3.3 4.4 7.3 10.1 17.1 20.0;y1=0 0.5 1.5 2.0 3.3 4.1 5.3 5.6 5.7 5.1 1.8 0; y2=0 -0.5 -1.5 -2.0 -3.3 -4.1 -5.3 -5.6 -5.7 -5.1 -1.8 0; x=0:0.1:20;y1_in=interp1(x0,y1,x);y2_in=interp1(x0,y2,x);y1_sp=spline(x0,y1,x);y2_sp=spline(x0,y2,x);x,y1_in,y2_in, y1_sp,y2_sp,subplot(2,1,1),plot(x, y1_in

10、,k+,x, y2_in,r),grid on,title(piecewise linear)subplot(2,1,2),plot(x,y1_sp,k+,x,y2_sp,r),grid on,title(spline)MATLABMATLAB程序程序【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插值问题机翼断面的轮廓线插值问题2022-3-232【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插值问题机翼断面的轮廓线插值问题分段线性插值机翼断面的轮廓线分段线性插值机翼断面的轮廓线样条曲线插值机翼断面的轮廓线样条曲线插值机翼断面的轮廓线2022-3-233结果分析与应用结果分析与应用【案例案例1 1】机翼断面的轮廓线插

11、值问题机翼断面的轮廓线插值问题2022-3-2343 3 数据的拟合方法数据的拟合方法3.1 数据拟合的一般提法数据拟合的一般提法3.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法3.3 用用MATLAB做曲线拟合问题做曲线拟合问题2022-3-2353.1 3.1 数据拟合的一般提法数据拟合的一般提法2022-3-2363.2 3.2 数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法2022-3-2373.3 3.3 用用MATLABMATLAB做曲线拟合问题做曲线拟合问题1.1.用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合a=polyfit(x,y,m)2.2.多项式在多项式在x x处的值处

12、的值y y可用以下命令计算可用以下命令计算 y=polyvaly=polyval（a a，x x）输出拟合多项式系数输出拟合多项式系数a=a1, am , am+1 (数组数组) )）输入同长度输入同长度的数组的数组X，Y拟合多项拟合多项式次数式次数2022-3-238【案例案例2 2】 汽车刹车距离问题汽车刹车距离问题1 1问题的提出问题的提出 通常情况下，车速越快，刹车距离就越长为了通常情况下，车速越快，刹车距离就越长为了研究二者之间的数量规律，做了一个刹车实验：用同研究二者之间的数量规律，做了一个刹车实验：用同一辆汽车，同一位司机驾驶，在同一条道路上和相同一辆汽车，同一位司机驾驶，在同一

13、条道路上和相同的气候等条件下，对不同的车速测量其刹车距离测的气候等条件下，对不同的车速测量其刹车距离测量结果数据如下表量结果数据如下表. 从问题的机理上分析，利用这组检测数据，试建从问题的机理上分析，利用这组检测数据，试建立汽车刹车距离与车速之间关系的数学模型立汽车刹车距离与车速之间关系的数学模型2022-3-239【案例案例2 2】 汽车刹车距离问题汽车刹车距离问题2. 2. 模型的分析与假设模型的分析与假设2022-3-240【案例案例2 2】 汽车刹车距离问题汽车刹车距离问题. . 模型的建立与求解模型的建立与求解v=20:20:140/3.6; v2=v.2;x=v;v2; d=6.5

14、,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5; a=xd;k1=a(1), k2=a(2)dd=x*a MATLABMATLAB程序程序【案例案例2 2】 汽车刹车距离问题汽车刹车距离问题2022-3-242【案例案例2 2】 汽车刹车距离问题汽车刹车距离问题. . 结果分析与应用结果分析与应用4 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题2022-3-2432022-3-2444 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题4.1 4.1 问题的提出问题的提出 2004年年6月月19日日7月月13日，黄河进行了第日，黄河进行了第三

15、次调水调沙试验三次调水调沙试验5。试验范围包括万家寨、三。试验范围包括万家寨、三门峡、小浪底门峡、小浪底3座水库在内长座水库在内长2 000 km的黄河中的黄河中下游河道。下游河道。 试验首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水试验首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功造洪峰进行调沙试验获得成功 整个试验期为整个试验期为20多天，小浪底从月多天，小浪底从月19日开日开始预泄放水，直到月始预泄放水，直到月13日恢复正常供水结束日恢复正常供水结束下面由小浪底观测站从下面由小浪底观测站从6月月29日到

16、日到7月月10日检测到日检测到的试验数据的试验数据日期日期6.296.296.306.307.17.17.27.27.37.37.47.4时间时间8:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:008:0020:00流量流量180019002100220023002400250026002650270027202650含沙量含沙量326075859098100102108112115116日期日期7.57.57.67.67.77.77.87.87.97.97.107.10时间时间8:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:0

17、08:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:0020:00流量流量26002500230022002000185018201800175015001000900含沙量含沙量11812011810580605030262085表表1: 试验观测数据单位：水流为试验观测数据单位：水流为m3/s，含沙量为，含沙量为kg/m32022-3-2454 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题2022-3-246 现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题

18、： (1) 给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法；给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法； (2) 确定排沙量与水流量的变化关系确定排沙量与水流量的变化关系4.2 4.2 模型的建立与求解模型的建立与求解1. 任意时刻的排沙量插值任意时刻的排沙量插值4 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题)(xSy )24, 2 , 1( iti8 12*(0,1,23)ixiiix(0,1,2, ,23)iy i下面构造三次样条函数下面构造三次样条函数试验数据时间是每天的早试验数据时间是每天的早8 8点和晚点和晚8 8点，点，间隔都是间隔都是1212个小时，共个小时，共24

19、24个点个点为了计算方便，令为了计算方便，令以以为插值节点其相应的排沙量为为插值节点其相应的排沙量为对应关系如下表：对应关系如下表：2022-3-2474 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题 插值数据对应关系插值数据对应关系 单位：排沙量为单位：排沙量为kg/s日期日期6.296.296.306.307.17.17.27.27.37.37.47.4时间时间8:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:020:00 08:008:0020:020:00 08:008:0020:020

20、:00 0节点节点820324456688092104116128140排沙排沙量量57600 114000157500187000207000235200250000 265200286200302400312800307400日期日期7.57.57.67.67.77.77.87.87.97.97.107.10时间时间8:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:0020:008:008:0020:020:00 08:008:0020:020:00 08:008:0020:020:00 0节点节点152164176188200212224236

21、248260272284排沙排沙量量306800 30000027140023100016000011100091000 540004550030000800045002022-3-2484 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题8,284)(xSy 在区间在区间上，已有上，已有24个互不相同的结点，个互不相同的结点，所满足的条件为：所满足的条件为： 函数函数( )(0,1,23)iiS xyi) 1, 1 , 0(,1njxxjj)(xS)(xSj)(xS8,284（1 1）（2 2）在每个小区间）在每个小区间上上是不超过三次多项式，记为是不超过三次多项式，记为（3

22、 3）在在上二阶连续可导上二阶连续可导2022-3-2494 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题1,kkxx s x sx在区间在区间上，上，是不超过三次多项式，故是不超过三次多项式，故是线性函数，令是线性函数，令,0,1,23kkmsxk由拉格朗日线性插值公式，得由拉格朗日线性插值公式，得 11kkkkkkxxxxsxmmhh2022-3-2504 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题其中，1,0,1,23kkkhxx k对上式求导得对上式求导得 11,kkkkkmmsxxxxh故由泰勒公式有：故由泰勒公式有： 2311,26,0,1

23、,22kkkkkkkkkkkmmms xys xx xx xx xhxx xk2022-3-2514 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题将将1kxx代入，可解得代入，可解得112,0,1,226kkkkkkkyyhsxmmkh s x1,kkxx回代得到回代得到在在上的表达式：上的表达式： 2311112,626,0,1,22kkkkkkkkkkkkkkkkyyhmmms xymmxxxxxxhhxxxk,km s x只要能求出只要能求出就能完全确定。就能完全确定。2022-3-2524 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题4 案例分析

24、：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题t0=8:12:24*12;sll=1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900;hsl=32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 118 105 80 60 50 30 26 20 8 5;psl0=sll.*hsl; %计算相应时刻的排沙量t=8:284;pp=spline(t0,psl0

25、);psl=ppval(pp,t); plot(t0,psl0,k+,t,psl,b)title(三次样条插值),xlabel(时间t),ylabel(排沙量)MATLABMATLAB程序程序黄河黄河小浪小浪底排底排沙量沙量3次次样条样条插值插值2022-3-2544 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题 3232320.06848842.32685217.8857600,8200.068482044.792204172.420114000,20322.594727264.2362721436.132728000,272284xxxxxxxxs xxxxx 即得到某

26、一时刻的排沙量函数关系式，计算任意时即得到某一时刻的排沙量函数关系式，计算任意时刻的排沙量如刻的排沙量如6月月29日日10时排沙量：时排沙量： 3210|0.06848 10 842.326 10 85217.8 10 85760064866xs xkg2.函数函数)(xSy 的解析式：的解析式： 2022-3-2554 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题4 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题a=pp.breaks;b=pp.coefs;syms x c ffor i=1:23c=(x-a(i)3 (x-a(i)2 (x-a(i) 1

27、 ;f=c*b(i,:);s(i)=int(f,a(i),a(i+1);endzpsl=sum(s)*3600;zpsl=vpa(zpsl)MATLABMATLAB程序程序203228412238202723600*( )( )( )SS x dxSx dxSx dx111.844 10S 3.3.计算总排沙量计算总排沙量=184396665744kg.kgkg即从即从6月月29日至日至7月月10日小浪底水库排沙日小浪底水库排沙总量大约为总量大约为1.844亿吨亿吨.2022-3-2574 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题4. 任意时刻的排沙量拟合分析任意时刻的

28、排沙量拟合分析1( )mkkkS xa x), 1 ,0(mkak224242110 ( )mkiikiiiikSxya xy 设拟合函数为设拟合函数为, ,确定待定常数确定待定常数使得使得有最小值有最小值 2022-3-2584 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题经经MATLABMATLAB计算后发现，当计算后发现，当6m 时，即取时，即取六次多项式拟合效果最佳六次多项式拟合效果最佳运行后结果如下：运行后结果如下：4 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题t0=8:12:24*12;sll=1800 1900 2100 2200 230

29、0 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900;hsl=32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 118 120 118 105 80 60 50 30 26 20 8 5;psl0=sll.*hsl; t=8:284;p1,s1=polyfit(t0,psl0,6);psl=polyval(p1,t,s1);plot(t0,psl0,k+,t,psl,b)syms xf=-7.0604e-008*x6+6.4

30、7518e-005*x5-0.0220872167*x4+3.471151934*x3-268.5208933089*x2+11542.0573888171*x-25206.9874405895;zpsl=int(f,8,284);zpsl=3600*vpa(zpsl)MATLABMATLAB程序程序黄河黄河小浪小浪底排底排沙量沙量六次六次多项多项式拟式拟合合2022-3-2604 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题(2)(2)函数函数)(xSy 的解析式：的解析式： 6543274293485128897108105194230.0100448196215252

31、000000717xxxxxxxs 28483600*( 5Ss x dxkg111.849 10S (3)(3)总的排沙量为总的排沙量为kgkg， 即从即从6月月29日至日至7月月10日小浪底水库排沙总量大约为日小浪底水库排沙总量大约为1.848亿吨亿吨, 此与上面插值分析的计算结果此与上面插值分析的计算结果（1.844亿吨）亿吨）基本一致基本一致.2022-3-2614 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题5 排沙量与流量关系的拟合分析排沙量与流量关系的拟合分析 对于研究排沙量与流量的关系，从试验数据可对于研究排沙量与流量的关系，从试验

32、数据可以看出，开始排沙量是随着流量的增加而增长，而以看出，开始排沙量是随着流量的增加而增长，而后是随着流量的减少而减少后是随着流量的减少而减少 显然，变化规律并非是线性的关系，把问题分显然，变化规律并非是线性的关系，把问题分为两部分，从开始流量增加到最大值为两部分，从开始流量增加到最大值2720m3/s（即增长的过程）为一段，从流量的最大值到结束（即增长的过程）为一段，从流量的最大值到结束为第二段，分别来研究流量与排沙量的关系为第二段，分别来研究流量与排沙量的关系2022-3-2624 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题 表表3: 第一阶段试验观测数据单位：流量为

33、第一阶段试验观测数据单位：流量为m3/s，含沙量为，含沙量为kg/m3序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111流量流量18001900210022002300240025002600265027002720含沙量含沙量326075859098100102108112115表表4: 第二阶段试验观测数据第二阶段试验观测数据 单位：流量为单位：流量为m3/s，含沙量为，含沙量为kg/m3序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313流量流量2650260025002300220020001850182018001

34、75015001000900含沙量含沙量116118120118105806050403220852022-3-2634 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题流流量量与与排排沙沙量量实实验验数数据据2022-3-2644 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题当当3m时，即取指数为三次多项式，则时，即取指数为三次多项式，则1111111111123012311111ln,0,1,2,3kkkkkiiiiiiiiiiixaxaxaxay xk求解：求解：01592353.8315,0.0728,3.0323 10 ,4.2230 10aaaa

35、 拟合指数函数：拟合指数函数： 93524.223 103.0323 100.072853.5315xxxy xe2022-3-2654 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题147.5288S 误差误差拟合效拟合效果下图果下图所示所示2022-3-2664 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题类似地，当类似地，当2m取指数为二次多项式拟合，则正规方程组：取指数为二次多项式拟合，则正规方程组： 时，时，11111111120121111ln0,1,2kkkkiiiiiiiiixaxaxay xk求解求解:60126.1088,0.00826

36、2,1.5799 10 .aaa 拟合函数：拟合函数： 621.5799 100.0082626.1088xxy xe2022-3-2674 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题误差为378.6902S 拟合效拟合效果如图果如图所示所示 2022-3-2684 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例分析：黄河小浪底调水调沙问题 从上面的指数为三次和二次多项式拟合效果从上面的指数为三次和二次多项式拟合效果来看，三次效果显著基本可以看出排沙量来看，三次效果显著基本可以看出排沙量与流量的关系与流量的关系 对于第二阶段，可以类似地处理采用对于第二阶段，可以类似地处理采用最小二乘法分别作指数为三次、四次、五次最小二乘法分别作指数为三次、四次、五次和六次多项式拟合拟合效果如下图所示和六次多项式拟合拟合效果如下图所示2022-3-2694 案例分析：黄河小浪底调水调沙问题案例