数学竞赛第二阶段个人赛试题及参考详解

1、數學競賽第二階段個人賽試題及參考詳解班級：座號：姓名：得分：試題說明：本部份共題，每題分，滿分分，請直接在題目卷上作答。 若小朱和小王二人以相反方向繞行一圓形水池，只知小朱每分鐘可走4公尺，小王每分鐘走5公尺，若二人同時出發，試問在二人同時再回到出發點時，在途中相遇了多少次？參考詳解：設二人每t分鐘後會相遇，那圓形水池的全長可為(5+4)t=9t，再來二人每次相遇時，所走的距離長相差(5-4)t，所以，可將整個水池分成九等分，如右圖所示，由每次相遇點，可推算出第九次時會在原出發點相遇，所以途中共相遇了八次。 0 7 2 5 4 3 6 1 8 賴小毛跟一位獵人上山要去打山豬，發現獵人和山豬分別

2、在數線上20、85的位置上，若獵人獵人的速度是山豬的倍，則獵人和山豬會在數線上的那裡相遇？參考詳解：可利用青蛙解法（參考賴桑的網站），此題有陷阱，即題目上未說明獵人與山豬是否相向而行，若是相向（即面對面），相遇的點在50的位置點，但若是山豬是逃離獵人（朝同一個方向），則會在190，故此題有二個解，需同時求出。2 1 -20 85 相遇在1 1-20 85 x相遇在x，得x=190 老師要班上20位同學玩一個遊戲，叫到那一號時，所有那一號的倍數同學都要作一次動作（原起立者要坐下；原坐下者要起立），遊戲開始時，全班都坐在座位上，請問當老師玩到最後一號（號）時，班上有那幾位同學是起立的？（請將號碼列

3、出，並說明之）參考詳解：此題目與1到20中，每一個數字所擁有的正因數個數有關。一開始所有同學是坐著的，所以，有奇數個正因數的同學最後一定是站立的，而有偶數個正因數的同學則是坐下的。1：一個正因數（1）4：三個正因數（1、2、4）9：三個正因數（1、3、9）16：五個正因數（1、2、4、8、16）故只有四位同學是起立的。 有一個矩形，長為40，寬為16，先剪去一個最大的正方形，然後再繼續在剩下的紙張中再剪出最大的正方形，直到所剩下的紙張為正方形為止，則依此方法作下去，最少可剪出多少個正方形？參考詳解：輾轉相除法的外層數字和即為最少的正方形數量，共有4個，亦可用圖示法畫出。2 40 16 2 32

4、 16 8 有一位印刷工人，為了給一本書的各頁標上頁碼，他從第一頁開始，由1、2、3、4、100、101、逐步的編記下去，到最後一頁編完後，他發現總共用了3285個數字，請推算這本書的確實頁數？參考詳解：19頁： 1099頁： 100999頁： 1000X頁：總計共用去9+180+2700+4X-3996=3285，解出X=1098，故共有1098頁 有一正整數，分別用3、5、7去除後，分別會得餘數為1、2、3，試求此正整數的最小值為何？又在1000之內，共有多少個正整數？（每小題各5分）參考詳解：請參考餘式定理及整數解法合併解得以下過程：3a15b27c37c3105y52，所以最小為52，

5、11000中共有10個，最大為997（y = 9時） 設有規則的一串數列如右：，試問，第220個數字是多少？參考詳解：先看分子和分母之和，並將數字分組，如右：第一組內有一個數字，分子分母的和為2，第二組內二個數字，分字分母的和為3再依梯形數字公式可以推得1到20的數字和為，即第二十組數完，會是全部的第210項，那220項就是下一組（第二十一組）的第十個，而且分子分母的和為22，故第220項是 為了要攻城，忍者軍團準備了數根木材要用來渡過護城壕溝。然而，這時卻發生了蠢事，壕溝的寬度有1公尺，但備好的木材長度只有0.9公尺。究竟該如何渡過壕溝？（可直接在圖上作答）參考詳解：利用直角三角形，如圖所示

6、，方法不只一種喔，試試看吧。城壕溝參考詳解：橋的位置如右圖，利用A、B及橋來造一個平行四邊形，此四邊形與河之交點，即為橋的正確位罝。此題利用二點間以直線為最短。想想看還有沒有別的方法。 從A地到B地的途中，有一條大河。在這條大河的那個地方架橋，可以使A地到B地變成最短？但是橋必須與河流垂直架設。（請在右畫上直接畫出） A 橋B 段考後的第一節數學課，班上每一位同學都是緊張，因為這一次段考，每一個同學都沒能好好認真準備，當然考得不理想是顯而易見的。當老師發考卷前，跟同學說：這一次考得真不理想，如果你回答了我的問題，而且是正確的話，我就不處罰大家。班上同學正七嘴八舌的討論著。接著老師把他的問題說了出來：這一次考試考得很不理想，老師很生氣，請問老師會不會處罰同學，若是答對了，就不會處罰。請問，如果是你，該怎麼回答老師的問題才可以免去處罰？並請說明之。參考詳解：回答：老師會處罰。因為，班上考得不理想，這是事實，如果回答正確，就不處罰。若老師要處罰同學：那表示你的回答是正確的，那老師就不會處罰你了。若老師不處