数值分析课件第四章_线性方程组的迭代解法

1、第四章第四章 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法第四章第四章 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法引言引言4.1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数向量的范数向量的范数222212|nxxxx证明（2）: 22211max |max |kkk nk nxxnx 2|xxnx所以|211nxxxx 证明（1）: |max|max111knkknkxnxx |1xnxx所以222212|nxxxx212|xxnx所以|211nxxxx 证明（3）: 222121|xxxx2222221121232221|()()()()()0nnnnn xxxxxxxxxxxx矩阵的范数矩阵的范数基础知识

2、回顾基础知识回顾Axx()0AI x0AI11AAA迭代法的基本思想：迭代法的基本思想： 3612363311420238321321321xxxxxxxxx )3636(121)334(111)2023(81213312321xxxxxxxxx 01231261110114828300B 12361133820f任取初始值，如取任取初始值，如取x(0)=(0,0,0)T，代入，代入x=B0 x+f右边，右边，若等式成立则求得方程组的解，否则，得新值若等式成立则求得方程组的解，否则，得新值x(1)=(x1(1),x2(1),x3(1)T=(2.5,3,3)T，再将，再将x(1)代入，反代入，反

3、复计算，得一向量序列复计算，得一向量序列x(k)和一般的计算公式和一般的计算公式（迭代公式）：（迭代公式）： )3636(121)334(111)2023(81)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx4.2 Jacobi迭代法迭代法4.3 GaussSeidel迭代法迭代法4.4 迭代法的收敛性迭代法的收敛性fBxxkk )()1(fBxx *)(*)()1(xxBxxkk *)()(xxkk 令令,2, 1 ,0 k)()1(kkB )1(2kB )0(1 kB为为非非零零常常数数向向量量注注意意*)0()0(xx 1lim0kkB(0

4、)(0)kkkBB*limkkxxB*kxx|1|*|)0()1()(xxBBxxkk |1|*|)1()()( kkkxxBBxx（1）（2）*lim)(xxkk |11|*|)()1()(kkkxxBxx |1|*|)1()()( kkkxxBBxx|1|*|)0()1()(xxBBxxkk |1|*|)0()1()(xxBBxxkk |1|*|)1()()( kkkxxBBxxu（2）式）式说明，说明，|B|越小，越小， x(k) 收敛越快，可作误差收敛越快，可作误差估计式。估计式。fBxxkk )()1(nnrJJJJ 21iinniiiJ 110lim kkBlim0kkJlim0k

5、ik1| i 1|max1 iri 111122111221321xxx)(1ULDBJ 100010001 022101220 022101220)det(JBI 221122det3 0 0 10|)max(|)( JBULDBG1)( 1122011001 000100220 GB 2003202200 2 12|)max(|)( GB nijjijiiaa0niaaijijii, 3 , 2 , 1| niaaijijii, 3 , 2 , 11|1 0002122222211111112nnnnnnnnJaaaaaaaaaaaaB JB ijijiiiaa|1max1 )(1ULDB

6、J 0)det( GBI 0)(det1 ULDI 0)(det)det(1 ULDLD 0)(det ULD ULDBG1)( ijijiiaa| nijijijijiiaaa111| nijijnijijijijaaa1111|)1|(| 则则有有如如果果, 1| nijijijijiiaaa111| 为为严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵则则)(ULD 0)(det ULD 从从而而, 1| 所以所以, 1)( GB 即即4.5 松弛迭代法松弛迭代法bLDUxLDxkk1)(1)1()()( GS迭代法GS法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速。45. 1 取取 321242124 321xxx 320ULDBSG1)( 1321042004 000200120 5 . 03/10625. 025. 0025. 05 . 00bLDfSG1)( 1321042004 320 3/25 . 00Tx)1 , 1 , 1()0( 取取初初值值bLDxUDLDxkk1)(1)1()()1()( 45. 1 取取4.6 误差分析误差分析 220001. 111121xx 0001. 220001. 111121xxbbAAxx 1AAAAxxx 1A-1A-1 A 1211111131211211nnnnnHn 5/