直线与双曲线

1、第57课 直线与双曲线考试目标 主词填空1.双曲线的定义与方程双曲线的第一定义：已知F1、F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|PF2|=±2a，正常数2a<|F1F2|时，P的轨迹是双曲线.双曲线的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件时，P的轨迹是双曲线.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程是；中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程是.2.双曲线的几何性质设双曲线方程为：b2x2a2y2=a2·b2(a>0，b>0，c2=a2+b2)，其范围是x|a，yR，对称轴是坐标轴，对称中心是原

2、点，顶点坐标是 (±a，0)，焦点坐标是 (±c，0)，离心率是，准线方程为，渐近线方程是.3.点与双曲线的位置关系设双曲线方程为：=1，点P的坐标是(x0，y0)，则：P在双曲线上的充要条件是，P在双曲线右支所包含的区域(不包括边界线)内的充要条件是.4.直线与双曲线的位置关系设直线为l：Ax+By+C=0，双曲线方程为C：b2x2a2y2=a2b2，联立l与c消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为，那么：l与c相离的充要条件是<0；l与c相切的充要条件是=0；l与c相交于不同两点的充要条件是>0.5.双曲线方程的确定

3、求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个字母(因c2=a2+b2)，常用的方法是列方程组，解关于a、b、c的方程组，从而确定系数a、b、c.6.弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，从而|P1P2|=f(k)(k为直线P1P2的斜率，若k不存在，则更易计算).题型示例 点津归纳【例1】 根据下列条件求双曲线的标准方程.(1)两准线间的距离是2，焦距为6；(2)与椭圆x2+2y2=2共准线，且离心率为2；(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P到两焦点的距离分别为4和2，过P作实轴的垂线恰好过双曲

4、线的一个焦点.【解前点津】 (1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由2c=6及2·=2即可确定a、b、c，(2)由条件可选择方程形式为=1，(3)有两种形式.【规范解答】 (1)由2c=6及2·=2得：a2=3，b2=c2a2=93=6，故双曲线方程为 (2)由条件知双曲线的准线方程是x=±2，故得方程组：，解之：a=4，c=8从而b=4，故双曲线方程为：=1；(3)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为：=1，焦点为F(c，0)由条件可设P(c，m)=4 m=2及 解方程组得a2=1，b2=2，故此时双曲线方程为x2=1，同理可得，当焦点在y轴上时，双曲

5、线方程为y2=1.【解后归纳】 求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质，列出关于a、b、c的方程，解方程组即可确定.【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积.【解前点津】 因e=，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2y2=(0).【规范解答】 (1)e=，c2=2a2=a2+b2 a2=b2，双曲线方程可设为：x2y2=，点(4，)在双曲线上，1610=，即=

6、6，故双曲线方程为：x2y2=6.(2)由(1)知：F1(2，0)，F2(2，0)，点(3，m)在双曲线上，9m2=6，m2=3，故=1，MF1MF2.(3)F1MF2的底|F1F2|=4，F1F2的高h=|m|=，S=6.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m·x2+n·y2=1(mn<0).【例3】 已知双曲线=1的离心率e>1+，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?【解前点津】 从假设存在这样的P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果

7、. 【规范解答】 设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|·d，由双曲线第二定义得：即|PF2|=e·|PF1| 又由双曲线的第一定义得：|PF2|PF1|=2a 从中解得：|PF1|=，|PF2|=，因PF1F2中有|PF1|+|PF2|2c，2c 而e=，故由得：e22e10解之：1e1+，e>1，1<e1+这与e>1+相矛盾，符合条件的P不存在.【解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.【例4】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，

8、说明理由.(1)渐近线方程为x±2y=0；(2)点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为.【解前点津】 讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.【规范解答】 假设存在同时满足题中两条件的双曲线.(1)若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为，因渐近线为y=±，双曲线方程可化为：=1.设动点P的坐标为(x，y)，则|AP|=(x2b或x2b).由条件，若2b4即b2，则当x=4时，|AP|min=，这是不可能的.若2b>4即b>2时，则当x=2b时，|AP|min=|2b5|=，解之b=(其中<2应舍去).此时存在双

9、曲线方程为： (2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为=1(xR)，|AP|=，xR，当x=4时，|AP|min=，b2=1，此时存在双曲线方程为 y2=1.【解后归纳】 给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.若双曲线的两条渐近线是y=±x，焦点是F1(，0)，F2(，0)，那么它的两条准线间的距离是 ( )A. B. C. D.2.曲线2x2y2+6=0上的一点P到一个焦点的距离为4，则P点到较远的准线的距离为 ( )A. B.C. D.3.与椭圆=1有相同焦点且以y=±x为渐近线的双曲线方程是 ( )A

10、.=1 B.C. D.4.设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ( )A. B. C. D.5.双曲线=1与椭圆=1，一定有 ( )A.两离心率之积为1 B.相同的两条准线C.相同的两个焦点 D.实轴长=长轴长6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为 ( )A. B. C. D.7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是 ( )A.x2xyy2= B.x2+xyy2=C.xy= D.xy=8.平面内动点P到两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数2a，则动点P的轨迹是 ( )A.双曲线 B.双曲线或两条射线

11、C.两条射线 D.椭圆9.设是第三象限角，方程x2+y2sin=cos表示 ( )A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线10.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c，设直线l过(a，0)和(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为c，则双曲线的离心率为 ( )A.2 B. C. D.二、思维激活11.对于双曲线=1(a>0，b>0，c=)而言，它的准线与渐近线的交点到中心的距离等于 ，它的虚轴的端点到顶点的距离等于 .12.双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2=，则F1PF2的面积是 .13

12、.过双曲线=1的焦点F(c，0)作渐近线y=x的垂线，则垂足的坐标是 .14.已知双曲线=1(a>0，b>0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点F且与x 轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q，若APB=arctan，b=1，则a= .三、能力提高15如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、F、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围.16.A、B两点分别在双曲线=1的两条渐近线上，O为原点，且|OA|·|OB|=a2+b2=c2，求线段AB中点M的轨迹方程.17.在ABC中，BC固定，顶点A移动，设|BC|

13、=a，当三角形三内角满足：|sinCsinB|=·sinA时，求点A的轨迹方程.18.设2<m<0，在直角坐标系中，通过点M(m，0)的直线l与双曲线x2y2=4有惟一的交点P，而与双曲线的渐近线交于A、B两点.(1)求直线l的方程；(2)当m变化时，求ABO的重心轨迹方程.第2课 直线与双曲线习题解答1.A 由条件知c=且，故解之a2=82·.2.A 化双曲线为=1即=1故a=，b=准线方程为y=±2，e=由双曲线第二定义知：4=最远距离为d1+2·.3.B c=5又 且c2=a2+b2=25 联立解之：a2=9，b2=16.4.C 由条件

14、知，圆心不在双曲线的另一个顶点上，设圆心坐标为P(x，y)，左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为A1，A2，由A2(3，0)，F2(5，0)知圆心横坐标为x=(3+5)=4，故y2=16×.5.C 在双曲线中：a=3，b=，c=，在椭圆中：a=5，b=，c=，比较即得.6.B 由2··2c得.7.D 因双曲线是等轴双曲线，所以离心率e=，设P(x，y)是此双曲线上有流动坐标，由双曲线的第二定义得：平方之：x2+12x+y2+12y=(x2+y2+1+2xy2x2y)化简得xy=.8.B 当2a=|F1F2|是两条射线.9.D sin<0，cos<0，=

15、1是双曲线.10.A l：解之：e2=4或即e=2或又0<a<b，a2<b2，c2=a2+b2>2a2，e>，舍去.11.取一条准线x=，取一条渐近线y=交点为它到中心的距离为=a虚轴端点取为(0，b)顶点取(a，0)距离为.12.不妨设P在左右支上，F1为左焦点，则由定义得：|PF1|PF2|=8，又|F1F2|=10在PF1F2中由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°=100.由方程组得2|PF1|·|PF2|=36+|PF1|·|PF2|，|PF1|·|PF2

16、|=36，故F1PF2面积为S=|PF1|·|PF2|·sin60°=9.13.渐近线的垂线方程为：y=()(xc)解方程组得垂足坐标是.14.如图所示，因b=1，故双曲线方程为：=1，故F(，0)，A(a，0)，P()，B(a，0)，因为：kPA=(a)，kPB=故由两直线的夹角公式得：，解之：a=.15.设双曲线方程为=1，双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记A(c，0)，C(，h)，E(x0，y0)，其中c=|AB|，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得：x0=，点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得：=1 e2··(+1)2=1 由得1代入得：=得：解之：，双曲线离心率的取值范围是.16.设线段AB中点M(x，y)，点A在直线y=x上，点B在直线y=上，则A(x1，x1)，B(x2，x2)，由中点坐标公式知：|OA|=|x1|；|OB|=|x2|，|OA|·|OB|=|x1·x2|=c2，x1x2=±a2，又22得：4x=4x1x2，x2=±a2，=±1为线段AB中点M的轨迹方程.17.由正弦定理得：|cb|=a，故动点A到两定点B、C距离之差的绝对值是常数a，由双曲线定义得：A在双曲线上移动，