衍生金融工具（高教）第九章 期权的定价

第九章期权的定价1本章导读期权虽然是标的资产的衍生资产，但是期权的定价同样要遵守资产定价的基本原理；也即期权价格就是期权未来收益的期望按照某种贴现率进行贴现，贴现率由无风险收益率和对未来收益所需要的风险溢价构成，所以风险溢价是决定期权价格的关键。在动态演进的金融市场，期权价格与标的资产价格的运动路径之间有着密切关系，通过动态调整投资策略改变两者之间的组合比例从而可以对冲风险，因此期权的风险溢价可以由标的资产的风险溢价解释。不同于远期、期货和互换等衍生资产，期权在到期日或行权日的收益与标的资产的收益之间并不是线性关系，也即影响期权未来收益的风险因素中除了标的资产收益的线性风险成分以外，还存在着一些非线性风险成分。在无套利条件下，期权定价所需要的风险溢价既要补偿线性风险因素，也要补偿非线性风险因素。关于标的资产价格与期权价格随着时间的动态运动路径，本章分为离散模型和连续模型两种类型讨论。2知识结构图期权的定价资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树标的资产价格路径的收益率形式离散随机模型的推广形式期权价格路径的离散随机模型资产价格运动路径的连续随机模型离散时间连续价格模型：标的资产价格离散路径的无穷步极限标的资产价格路径的随机微积分期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略期权定价的动态迭代方程概率测度变换和风险中性概率反向迭代过程和期权价格：无风险收益率与波动性为常数情形资产价格路径的函数变换：伊藤过程和伊藤引理3主要内容第一节资产价格运动路径的离散随机模型第二节资产价格运动路径的连续随机模型第三节期权定价的理论模型4第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树标的资产价格路径的收益率形式离散随机模型的推广形式期权价格路径的离散随机模型5第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树样本空间在二叉树模型中，某次硬币抛掷的结果如果出现正面用U表示（发生概率为），出现反面用D表示（发生概率为）。那么标的资产价格运动路径所依赖的样本空间就是这样的集合：{UU……UU,UU……UD,UU……DU,UU……DD,UD……UU,UD……UD,UD……DU,UD……DD,DU……UU,DU……UD,DU……DU,DU……DD,DD……UU,DD……UD,DD……DU,DD……DD}6第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树二叉树结构7第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树二叉树结构绝大多数情况下，因此标的资产价格路径所形成的二叉树结构可能比较复杂多样。如图9.1所示。图

9.1

标的资产价格的二叉树结构（时变的u和d）8第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树二叉树结构为了使得二叉树结构简化，有时候可以假设任意时刻，则二叉树的结构形成网状如图9.2所示。9图

9.2标的资产价格的二叉树结构（网状）第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的多步二叉树二叉树结构如果标的资产价格变化率不依赖于时间，也即和，则标的资产价格为：10图

9.3标的资产价格的二叉树结构（不变的u和d）第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的收益率形式简单收益率形式11第一节资产价格运动路径的离散随机模型标的资产价格路径的收益率形式对数收益率形式12第一节资产价格运动路径的离散随机模型离散随机模型的推广形式多步三叉树模型的收益率形式方程形式同于二叉树模型区别在于13第一节资产价格运动路径的离散随机模型离散随机模型的推广形式多步三叉树模型的随机风险因素随机风险因素可以看出随机风险因素是由两个均值为0方差为1并且不相关的两个随机因素（也即正交的基向量）按照cosθ和sinθ的比例组合而成的，幅角θ是随机风险因素向量和式中右端的第一个基向量之间的夹角。随机因素和是三叉树结构的“基石”，不依赖于某个具体的资产的价格路径，所有的资产价格路径都是在这个框架中给出。向量刻画了三叉树的确定性程度（方差大小），也即中值相对于两个尾部（上值和下值）的概率比，向量刻画了三叉树的偏度，也即两个尾部的概率比。不同的资产价格路径的随机驱动因素在和上的风险敞口不同。14第一节资产价格运动路径的离散随机模型期权价格路径的离散随机模型标的资产价格的函数变换二叉树情况三叉树情况15第一节资产价格运动路径的离散随机模型期权价格路径的离散随机模型驱动期权价格运动的非线性风险因素非线性风险因素的表达非线性风险成分并不一定要以幂函数来构造，还可以采用其他方式。但是一般的原则是使得驱动期权价格运动的随机风险因素尽可能接近线性风险成分，使得非线性风险成分尽可能小。16第二节资产价格运动路径的连续随机模型离散时间连续价格模型：标的资产价格离散路径的无穷步极限标的资产价格路径的随机微积分资产价格路径的函数变换：伊藤过程和伊藤引理17第二节资产价格运动路径的连续随机模型离散时间连续价格模型：标的资产价格离散路径的无穷步极限标的资产价格路径的指数形式18第二节资产价格运动路径的连续随机模型离散时间连续价格模型：标的资产价格离散路径的无穷步极限标的资产价格的对数正态分布在无穷步模型情况下，在时刻T的标的资产价格ST为：19第二节资产价格运动路径的连续随机模型标的资产价格路径的随机微积分布朗运动和维纳过程布朗运动(BrownianMotion)最早由物理学家提出用以刻画液体或气体中的微小颗粒的运动，并且命名以纪念植物学家罗伯特布朗(RobertBrown)最先发现这种现象。此后，数学家维纳(Wiener)给出了布朗运动的数学描述，因此也称为维纳过程(WienerProcess)。

形式上可以把[0,T]时间期间换成任意一个从时刻t到时刻t＋Δt的Δt时间间隔，记这个时间间隔内的随机序列求和的极限上式刻画的就是布朗运动或维纳过程。20第二节资产价格运动路径的连续随机模型标的资产价格路径的随机微积分布朗运动特征增量的独立性，也即对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。从这个特征可知，布朗运动符合马尔可夫过程的特征因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。增量的正态性，也即是均值为0、方差为时间间隔的正态分布随机变量。从这个特征可以看出，用方差度量的布朗运动的不确定性程度是随着时间积累的。21第二节资产价格运动路径的连续随机模型标的资产价格路径的随机微积分标的资产价格运动路径和几何布朗运动连续时间连续价格情形下的标的资产价格运动路径变化方程：22第二节资产价格运动路径的连续随机模型资产价格路径的函数变换：伊藤过程和伊藤引理伊藤过程23

伊藤过程除了可以刻画标的资产价格运动路径这一类金融变量以外，还可以刻画利率、通货膨胀率、预期收益率甚至波动性等比率型的金融变量。第二节资产价格运动路径的连续随机模型资产价格路径的函数变换：伊藤过程和伊藤引理伊藤过程的函数变换：伊藤引理24第二节资产价格运动路径的连续随机模型资产价格路径的函数变换：伊藤过程和伊藤引理标的资产价格的对数正态分布：伊藤引理的应用我们可用伊藤引理同样推导标的资产价格自然对数变化所遵循的随机过程。25第三节期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略期权定价的动态迭代方程概率测度变换和风险中性概率反向迭代过程和期权价格：无风险收益率与波动性为常数情形26第三节期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略离散二叉树模型的动态风险对冲策略1元市值中分配比例在标的资产上，其余的分配在无风险资产上，就可以复制出波动性与1元市值的看涨期权完全一样的组合，根据资产定价原理的一价定律，两个组合的预期收益率应该也相同，否则就会出现套利机会。因此有：27第三节期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略离散二叉树模型的动态风险对冲策略28第三节期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略连续时间连续价格模型的动态风险对冲策略1元市值中分配比例在标的资产上，其余的分配在无风险资产上，就可以复制出波动性与1元市值期权完全一样的组合，根据资产定价原理的一价定律，两个组合在dt时间间隔的瞬时预期收益率应该也相同，也即：29第三节期权定价的理论模型标的资产与期权的动态风险对冲策略连续时间连续价格模型的动态风险对冲策略30第三节期权定价的理论模型期权定价的动态迭代方程离散二叉树模型的风险中性概率方法31第三节期权定价的理论模型期权定价的动态迭代方程连续模型的布莱克-斯科尔斯偏微分方程32第三节期权定价的理论模型概率测度变换和风险中性概率离散二叉树模型的概率测度变换和风险中性概率下的价格运动方程33第三节