分类讨论与一元二次不等式

1、思想方法选讲之二分类讨论与含参数的一元二次不等式基础知识预备：解下列一元二次不等式（1）x26x+8<0 （2）(x+5)(32x)6 （3）1+2x+x20 （4）（5） （6）1+2x+x20（7）(x2x6)(1x2)0数学思想渗透：含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点。含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）

2、对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根表示的形如的形式时，往往需要对其根分三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。为了提高解题效率，往往还要结合二次函数的图像，进而准确求解。一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于的不等式。解： 当即时，方程有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为。 当即时，方程有两个相等的实数根，则该不等式的解集为。 当即时，方程无实数根，则该不等式的解集为。注：本题由于方程根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。例2 解关于的不等式。解： 当即时，上述不等式可化简为，此

3、时不等式的解集为。 当即时，。（1）当，即时，若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为。（2）当，即时，若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为。（3）当>0，即时，若即，则此时不等式的解集为。若即，则此时不等式的解集为。注：当二次项系数有参数且有可能为零时，首先需要对二次项是否为零进行讨论。本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情况不确定，因此需要对其判别式进行讨论。二、对根的大小情况分类讨论例3 解关于的不等式。解：将二次项系数化正可得，即方程的根为：。下面对方程根的大小进行讨论 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为 当，即时，各

4、根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为 当，即时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为注：本题虽然是一元三次不等式求解问题，但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如的形式，利用数轴，通过对三个根大小的分类讨论，来进行不等式求解。例4 解的不等式。解： 当时，原不等式可化简为，此时不等式的解集为 当时，原不等式可转化为（1）当时，有若即，此时不等式的解集为。若即，此时不等式的解集为.若即，此时不等式的解集为。（2）当时，有，且，此时不等式的解集

5、为。注：本题在对二次项系数是否为零进行讨论的基础上，由于本题的一元二次不等式可以进行因式分解，因此需要对其根的大小进行讨论。特别注意在从化简到的过程中，由于不等式两边同时除了，因此需要对是否非零以及正负情况加以分类分析。例5解关于的不等式 分析：原不等式可化为，因为不能因式分解，所以也就不知道函数与轴是否有交点，则需要对判别式进行分类讨论，又因为的开口方向不定，还需对二次项系数进行分类讨论，积于这两个原因，参数在数轴上应有三个敏感点，一是由得到两个点，另一个为，这样参数在数轴上将被分成以下几个区间：（-，-1）（-1，0）（0，1）（1，+），具体解法如下解：当时 ，函数开口向下且与轴没有交点

6、原不等式的解集为当时 ，函数开口向下且与轴有一个交点原不等式的解集为当时 ，函数开口向下且与轴有两个交点原不等式的解为当时 原不等式化为 当时 ，函数开口向上且与轴有两个交点原不等式的解为。当时 ，函数开口向上，且与轴只有一个交点原不等式的解集为当时 ，函数开口向上且与轴没有交点原不等式的解集为R综上所述：当时 原不等式的解集为当时 原不等式的解集为当时 原不等式的解集为当时 原不等式化为 原不等式的解集为当时 原不等式的解集为。当时 原不等式的解集为当时 原不等式的解集为R结论：由以上例子可以看出，对于参数没有限定范围的含参一元二次不等式其解法主要分两种情况。一种是能够进行因式分解的，此类无需对进行讨论，只需依据二次项系数及根的大小找出参数的敏感点，依据其敏感点将参数在数轴上划开，而后从左至右逐项讨论。另一种情况是不能因式分解的不等式则需依据及二次项的系数找出参数的敏感点，之后依据其敏感点从左至右逐项讨论。总结：利用分类讨论的方法求解含参数一元二次不等式问题时，往往需要进行一次以上的分类讨论。一般情况下，若二次项系数有参数的，先对二次项系数是否为零进