全国高中数学联赛模拟卷

1、2011年全国高中数学联赛模拟卷一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，分）1、已知,点(x,y)在直线 x+2y=3上移动,当取最小值时,点(x ,y )与原点的距离是。2、设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，则。3、如图，正方体中，二面角的度数是。4、在中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。5、若正数满足，则的最大值是。6、在平面直角坐标系中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是。7、已知数列满足关系式且，则的值是。8、函数在时的最小值为。二、解答题（共3题，）9、设数列满足条件：

2、，且)求证：对于任何正整数n，都有：10、已知曲线，为正常数直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、4个点，为坐标原点。（1）若，求证：的面积为定值；（2）若的面积等于面积的，求证：11、已知、是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为，。 （）求 （）证明：对于，若，则。二 试（考试时间：150分钟 总分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本题50分）如图，O1和O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证：直线PA与BC垂直。二、（本题50分）正实数，满足。证明：三、（本题50分）对每个正整数n，定义函数（其中x表示不

3、超过x的最大整数，。试求：的值。四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？答案与解析一、填空题1、。2= 4。x =,y =时取最小值,此时=。2、4。 解： 将记做，于是有从89开始，是周期为8的周期数列。故。3、60

4、°。 解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则中，在的补角，。4、。 解：三个数成递增等差数列，设为 ，按题意必须满足。 对于给定的d，a可以取1，2，2010-2d。 故三数成递增等差数列的个数为 三数成递增等差数列的概率为 。5、。 解：由条件，有，令；则，从而原条件可化为： 令则，解得，故6、1。 解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3x上，设圆心为S（a，3a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于

5、点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。7、。解：设即故数列是公比为2的等比数列，。8、4。 解：（由调和平均值不等式）要使上式等号成立，当且仅当（1）（2）得到，即得。因为，所以当时，。所以。二、解答题9、证明：令 ,则有 ，且 于是 由算术-几何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 BACQPyOCxDBA10、解：（1）设直线：代入得：，得：，设，则有，设，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，=为定值. （2）设中点为，中点为则，所以，、重

6、合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而.11、解：（）设则又故在区间上是增函数。（）证：，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，二 试一、证明：延长PA交EF于D，则PEG和PHF分别是ACD与ABD的截线，由梅涅劳斯定理得：=1=1PO1、O2都是ABC的旁切圆，HGEC=CG=（BC+CA+AB）=BF=HBO2O1A于是由、得：FEDCB=又RtAGO1RtAHO2=而O1、A、O2三点共线，且二、证明：原不等式可变形为即 由柯西不等式以及可得即 同理 上面三式相加并利用得三、解：对任意，若，则，设则让a跑遍区间）中的所有整数，则于是下面计算画一张2k×2k的表

7、，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共个，因此=.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*则由此，记易得的取值情况如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，据定义，又当，则从则四、解：设各人上场时间分别为7t1，7t2，7t3，7t4，13t5，13t6，13t7，(ti为正整数)得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270。即求此方程满足4x38，3y20的整数解即6y4(mod 7)，3y2(mod7)，y3(mod 7)y=3，10，17，相应的x=3