充分条件和必要条件教案

1、充分条件和必要条件【教学目标】知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.过程与方法：充要条件是重要的数学概念它主要讨论命题的条件和结论的关系通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。【教学重点】充分条件、必要条件和充要条件的概念【教学难点】充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.【教学

2、方法】自主、合作、探究【教学过程】创设情境 激发求知（多媒体展示）情境一当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？ 情境二播放音乐没有共产党就没有新中国，让学生说出其歌名.学生活动 探究新知判断下列命题是真命题还是假命题（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.（上述三个问题的设计意图为：复习巩固上节课知识；顺其自然，引入本节课的内容。）生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题（对于命题“若 则 ”，有时是真命题，有时是假命题如何

3、判断其真假呢？看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题 对于命题“若 则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成立换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 ）模型构建 数学理论1.充分条件与必要条件定义（板书） 一般地，如果已知，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition) 师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系（学生口答）生：“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，“”是“”成立的

4、必要不充分条件.运用理论 解决问题例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1) p：x=y；q：x2=y2.（2）p：三角形ABC的三条边相等；q：三角形ABC的三个角相等解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件， x2=y2是x=y的必要不充分条件.(2) p是q的充分条件且是必要条件，q是p的充分条件且是必要条件. (设计意图:对所学理论直接应用;引入充要条件的概念.) 模型构建 数学理论2充要条件定义（板书）一般地，如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary cond

5、ition)记作.师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法.模型构建 数学理论3用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书)Step1:认清条件和结论；Step2:考察和的真假；Step3:下结论.运用理论 解决问题例2.用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表BA是B的什么条件B是 的什么条件是有理数是实数        、 是奇数是偶数                    是4的倍数是6的倍数 

6、60; （学生活动，教师引导学生作出下面回答）因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件；由 知 且 ，所以 是的充分非必要条件；由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件；易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”的既非充分又非必要条件；

7、(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识)例3.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空： (1) “|x-2|<3”是“0<x<5”的 条件； (2)“x20”是“x0”的 条件;（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的 条件.分析：(1)应首先对|x-2|<3进行化简,然后再进行判断,还可以从集合的角度加以理解;(必要不充分条件)(2)可以直接判断,更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件)(3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)(设计意图：对所学理论进一步

8、应用;通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)模型构建 数学理论4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书)（1）先简化命题;（2）集合法;（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可.运用理论 巩固练习基础训练（感受、理解）课本（苏教版选修1-1）第8页练习l、2. （基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成.）能力训练（思考、运用）1.用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;解析：“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；共产党是新中国成立

9、必须具备的条件；2直线和平面，的一个充分条件是（ ）A. B.C. D. 3在中，问:p是q的什么条件？p是m的什么条件？p是n的什么条件？分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C.第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查.当然本题的第3个问也可以用举反例的方法加以判别.这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟通.）（师生互动，共同完成）解：1、C；2、p是q的充要条件，p是m的充要条件，p是n的既不充分也不必要条件.（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件

10、和充要条件的本质.）创新提高（探究、拓展）1是否存在实数，使得是的充分条件？2是否存在实数，使得是的必要条件？（1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题）提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念.（2）判断充分、必要条件的一个算法： 认清条件和结论； 考察和的真假； 下结论.（3）判别方法和策略： 先

11、简化命题； 集合法； 将命题转化为等价的逆否命题后再判断; 否定一个命题只要举出一个反例即可.布置作业 合情推理【教学目标】掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。【教学重点】归纳推理及方法的总结。【教学难点】归纳推理的含义及其具体应用。【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】一.问题情境(1)原理初探引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（

12、图片展示-阿基米德的灵感）A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。思考：整个过程对你有什么启发？启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 “歌德巴赫猜想”。思考：其他偶数是否也有类似的规律？讨论：组织学生进行交流、探讨。检验：2和4可以吗？为什么不行？归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。3.数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简

13、称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：（由学生完成）4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，结论：凸n 边形的内角和是（n2）×1800。例3 探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！”5.提高巩固探索：先让学生独立进行思考。活动：“千里走单骑”鼓励学生说出自己

14、的解题思路。活动：“圆桌会议”鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心能力培养（例2拓展）思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧和。技巧:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧:当分子分母都在变化时,往往

15、统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明7.布置作业类比推理【教学目标】通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越

16、可靠。正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。【教学重点】了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理【教学难点】用类比进行推理，做出猜想。【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】一问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式

17、的性质猜想不等式的性质。等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) abÞa+cb+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) abÞ acbc;(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) abÞa2b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点

18、的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比

19、推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.巩固提高1(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-2类比平面内直角

20、三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形 3个面两两垂直的四面体C90°3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c PDFPDEEDF90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S3（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_ 课堂小结1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性

21、质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）演绎推理【教学目标】1. 了解演绎推理 的含义。2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。【教学重点】正确地运用演绎推理 进行简单的推理【教学难点】了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】一 复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想

22、二 问题情境。 观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属, 所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数,所以，tan 是 周期函数。提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？二学生活动 ：1.所有的金属都能导电 大前提铜是金属, -小前提所以，铜能够导电 结论2.一切奇数都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇数，小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. 结论3.三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数, 小前提所以，tan 是 周期函数。结论三， 建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.四，数学运用解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）