多目标问题求解

1、多目标问题求解6.6.1多目标优化模型多目标优化问题的一般表示为：其中F(x)=f1(x),f2(x),fp(x) 。. . ( ) 0min( )xs t G xJF x设某商店有A1，A2，A3三种糖果，单价分别为4,2.8和2.4元/kg，现在要筹办一次茶话会，要求买糖果的钱不超过20元，糖果总量不得少于6kg，A1和A2两种糖果总量不得少于3kg，应该如何确定最好的买糖方案？1231231231231212342 . 82 . 4m i n()42 . 82 . 42 06. .3,0 xxxxxxxxxxxxxs txxxxx6.6.2无约束多目标函数的最小二乘求解假设多目标规划问题

2、目标函数F(X)=f1(x),f2(x),fk(x),则可以按照下面的方式将其转为成单目标问题这样，可以用以前学过的无约束函数求解，22212. .min( )( )( )mMkxs t xx xfxfxfx 00min(,) , ,min(, 1, 2,)mMmMxfsearchbnd Fun x xxx f flag outfsearchbnd Fun x xxopt p pMATLAB还提供了lsqnonlin（）函数直接求解这类问题，该函数的调用格式为0 , ( ,)foptmMx nfflag clsqnonlin F x xx6.6.2无约束多目标函数的最小二乘求解22132322

3、123123412(23)sin()5mincos(4)03. . 005xxxxxxxxx exexxx stx 6.6.3多目标问题转换为单目标问题求解线性加权变换及求解1122( )( )( )( )ppf xw f xw fxw fx其中 ，且121pw ww120,1pw ww1212312312123min(4, 2.8, 2.41,1,1)42.82.4206. .3,0wwxxxxxxxx s txxxxx 最简单的变换方法是根据对两个指标的侧重情况引入加权，使得目标函数改成标量形式 ( 1* 12* 2, , , 0, 1, 2,)xlinprog wfwfA B Aeq B

4、eq xm xM x OPT p p6.6.3多目标问题转换为单目标问题求解线性规划问题的最佳妥协解m a x. .e qe qmMJC xA xBxs tAxBxxx每个目标函数 可以理解成第i方得利益分配，所以这样的最优化问题可以认为是各方利益的最大分配。步骤如下：（1）单独求解每个单目标函数的最优化问题，得出最优解（2）通过归范化构造单独的目标函数（3）最佳妥协解可以变换成下面的单目标线性规划问题直接求解( )1,2,iif xcx ip,1,2, .kf kp1212111( )ppf xc xc xc xfff ma x().e qe qmMJfxAxBxstAxBxxx6.6.3多

5、目标问题转换为单目标问题求解Function x,f,flag,cc=linprog_c(C,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)p,m=size(C);C=0;For i=1:px,f=lingprog(C(i,:),A,B,Aeq,Beq,xm,xM);c=c-C(i,:)/f;Endx,f,flag,cc=linprog_c(c,A,B,Aeq,Beq,xm,xM);例子：C=-4，-2.8，-2.4,；1 1 1；A=4 2.8 2.4;-1 -1 -1;-1 -1 0;B=20;-6;-3;Aeq=;Beq=;xm=0;0;0;xM=;x=linprog_c(C,A,B,Aeq,Be

6、q,xm,xM),C*x;6.6.3多目标问题转换为单目标问题求解线性规划问题的最小二乘解21m i n2. .e qe qmMC xdA xBxs tAxBxxx 例子：C=3,1,0,6;0,10,0,7;2,1,8,0;1,1,3,2; d=zeros(4,1);A=2,4,0,1;0,0,-5,-3;1 ,1 , 6,5;B=110;-180;250;Aeq=;Beq=;xm=0;0;0;0;Xm=;X=lsqlin(C,d,A,B,Aeq,Beq,xm,xM)C*x6.6.4多目标优化问题的Pareto解集采用离散点分析方法对例3-35中的多目标优化问题进行分析1312312123m

7、 in1,1,142.82.46.3,0ixxxxmxxxx s txxxxx f2=-1,-1,-1;Aeq=4,2.8 2.4;Beq=mi(1);xm=0;0;0;A=-1,-1,-1;-1,-1,0;B=-6;-3;mi=15:0.1:20;ni=;for m=miBeq=m;x=linprog(f1,A,B,Aeq,Beq,xm);ni=ni,-f2*x;EndPlot(mi,ni)考虑一个双目标函数的问题，可以首先得出可详解的离散点，将这些点先在二维平面上显示出来，如图6-11所示，因为原始问题是求取两个坐标系f1和f2的最小值，所以从得出的可行解离散点提取出区域左下角的一条曲线，

8、这个曲线上的点都是原问题的解，称为Pareto解集（Pareto set或Paret front）。调用函数为Paretofront（）K=paretofront（f1,f2,fp）,其中f1,f2,fp为可行解的离散点构成的列向量，K向量为标志向量，指示可行解离散点是否为Pareto解集中的点。x1,x2,x3=meshgrid(0:0.1:4);ii=find(4*x1+2.8*x2+2.4*x3=6&x1+x2=3);xx1=x1(ii);xx2=x2(ii);xx3=x3(ii);f1=4*xx1+2.8*xx2+2.4*xx3;F2=-(xx1+xx2+xx3);K=paretofront(f1,f2);Plot(f1,f2,x),hold on;polt(f1(k),f2(k),0)6.6.5极大极小问题求解假设有某一组P个目标函数fi(x),i=1,2,p,他们中的每一个均可以提取出一个最大值 而这样得出的一组最大值仍然是x的函数，现在对这些最大值进行最小化搜索，即 这类问题称为极小极大问题。x,fot,flag,c=fminimax(F,