天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准经管类

1、2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准（经管类）一. 填空题（本题15分，每小题3分）:1. 设，则=6.2. 设函数连续且不等于0，又，则. 3. 半径为R的无盖半球形容器中装满水，然后慢慢地使容器倾斜，则流出的水量V=.4. 设函数可微，且,.又设平面区域，则.5. 设函数在点处二阶可导，且，则二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设函数有连续的导数，且，则（D）(A)1, (B)e, (C) (D) 2. 设函数在点x=0的一个邻域内有定义，且满足，则有 （ B ）(A) 在点x=0处不一定可导(B) 在点x=0处可导，且 (C) 在点x=0处可导，且 (D) 在点x

2、=0处取得极小值3. 设连续函数在区间和上的图形分别是直径为1的上半圆周和下班圆周，在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周。如果，那么非负的范围是（A ）(A)整个 (B)仅为(C)仅为 (D)仅为4. 设函数在区间上连续，且.记，则 （ B ）(A) (B) (C) (D) 5. 设在有连续的二阶导数，并且满足，则（B）(A)0， (B)1， (C)2， (D)3三. 设，n=1,2,，.求极限。解：由已知 4分因此，。 7分四. 设函数由方程确定，且可导，试求的极值。解：方程两边对x求导 2分由于，解得 （1）当时，代入方程：解得， 4分这时，。（1）式的两边对x求导由 可知在

3、处取得极大值，其极大值为 7分五. 求积分解 令 ，则 3分 7分关于的另一解法。令,，则因此， 六. 设是的一个原函数，且，求。解:由题设及，得 ， 2分则 因，故 4分解得 因此，从而 7分七. 求积分，其中n为正整数解：应用分部积分法 2分 4分 7分八. 设曲线C与曲线和的位置如图是曲线上的任意一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线和围成的图形记为A，过点P垂直于y轴的直线与曲线和围城的图形记为B。若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线的方程。解：设曲线的方程为，。A和B分别绕y旋转而得到的旋转体体积记为和 ，则，应用薄壳法 3分（或者，用另一种方法：）由题设，对任意的x&

4、gt;0有=，即约去后，两端对x求导，得，解得 5分令，则。因此，曲线的方程为或 7分九. 假设函数满足且对于，证明 存在，且证： 根据微积分基本定理由已知且当时，即是增函数，故当时2分所以 5分可见单增且有上界，因而存在，且 7分十. 设函数在区间可导，且，单调增加，证明证 令则。求导，得， 3分则。再求导，得 5分于是，函数在区间单调增加。由，得，即 7分十一.一个半径为的小球嵌入一个半径为1的球中，二球面的交线恰为一个半径为r的圆（即小球的大圆，如右图）。问当r为何值时，位于小球内，大球外的那部分立体的体积达到最大?解：如图，设小球的球心为，以大球球心为原点，水平方向为x轴，方向为y轴建立直角坐标系。半个小球的体积。大球（单位球）中以为高的球缺体积为因此，位于小球内，大球外的那部分立体的体积为 3分 5分令，得唯一驻点。而此实际问题的最大值存在，因此，当时，位于小球内，大球外的那部分立体的体积达到最大。 7分十二.设是以原点和三点（0,1,0），（1,1,1），（0,1,1）为顶点的四面体。（1） 将表示为“先z次y后x”的三次积分。（2） 试证明解：（1）可表示为故, 2分证：（2）设，则，且 4分。 7分