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文档简介

1、5 因式分解定理 6 重因式教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积教学重点：不可约多项式 重因式课时：4教学方式：讲授式教学内容：一、不可约多项式1、定义：数域上次数的多项式称为不可约多项式，如果不能表成数域上的两个次数比低的多项式的乘积。问：为什么一定要强调数域呢？例：注：1、不可约多项式，的因式只有非零常数与自身的非零常数倍。2、与任意多项式之间的关系只可能有两种关系：或者，或者。事实上，若，那么，所以或者。2、重要性质（定理5）：（1）（2）二、因式分解及唯一性定理数域上每一个次数的多项式均可分解成数域上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果有两个分解式则必有且适当排列因式的次序

2、后有 证明：先证分解式的存在性。我们对的次数作用数学归纳法。、因为一次多项式都是不可约的，所以时结论成立。、设，并假设结论对于次数低于的多项式已经成立。如果是不可约多项式，结论是显然的，无妨设不是不可约的，即有，。由归纳假设和都可以分解成数域上一些不可约多项式的乘积。把，的分解式和起来就得到的一个分解式。由归纳法原理，结论普遍成立。再证唯一性。设可以分解成不可约多项式的乘积如果还有另一个分解式其中都是不可约多项式，于是 我们对作归纳法。当，是不可约多项式，由定义必有且。现在设不可约多项式的个数为时唯一性已证。由，因此必能整除其中的一个，无妨设因为也是不可约多项式，所以 在式两边消去，就有由归纳

3、法假设，有，即， 并且适当排列次序之后有，即 合起来即为所要证的。三、标准分解式，1、标准分解式把的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幂的形式：最小公倍式定义：多项式称为与的最小公倍式，如果1、，；2、若，则有。命题：设是两个非零多项式，则证明：设，则，并且。于是，；（或）。若，我们证明。可得，由于，所以。设，则有于是是与的最小公倍式。2、多项式的最大公因式的求法二把写成标准分解式，就是同时在的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于中所带的方幂较小的那一个。四、重因式1、定义：不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而不能整除，此时记作。注

4、：当时，根本不是的因式； 当时，是的单因式；当时，称是的重因式。2、如何判断一个多项式有无重因式方法一：可用标准分解式。（不常用）方法二：用微商设有多项式，我们规定它的微商是。微商的基本运算规则；。其理论依据为定理6 如果不可约多项式是的重因式 ，则是的重因式。推论1 如果不可约多项式是的重因式，则是的因式，但不是的因式。推论2不可约多项式是的重因式是与的公因式。推论3：3、去掉重因式的方法：若，则。于是例1 判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数。 ； .解： ，而，所以无重因式。 ，由辗转相除法得从而是的三重因式，是的二重因式。例2 求有重因式的条件，并确定重数。解：当时，多项式

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