复数的代数形式及运算

1、第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1计算：（1）； （2）。解：（1）原式=。（其中=）。（2）原式=i+i4×249+2=i+i2=-1+i.2设f(x, y)=x2y-3xy+y2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）f(2-i, 2-i)-1的值。解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8=2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-

2、4i；（2）若x=y，则f(x, y)=x3-2x2-x+8，又x=2-i，(x-2)2=(-i)2，即x2-4x+9=0，而x3-2x2-x+8=(x2-4x+9)(x+2)-2x-10, f(2-i, 2-i)=0-2(2-i)-10=-14+2i,f(2-i, 2-i)-1=.（3）(1-)10=1-C·+C·()2-C·()3+，(1-)10的展开式中奇数项之和为复数(1-)10的实数。又(1-)10=-2·=21010=210=210=-29+29，(1-)10的展开式中各奇数项的和为-29。3求同时满足下列两个条件的所有复数z：（1）是实数，

3、且1<6；（2）z的实部和虚部都是整数解：设t=，则tR，且z2-t·z+10=0，由1<6得1<t6, =t2-40<0，则z就是方程z2-t·z+10=0的两个虚根，即z=，由题意都是整数，得t=2或6，所以当t=2时，z=1±3i，当t=6时，z=3±i解法二：设z=x+yi(x, yZ)，由，则R，得=0，解得y=0或x2+y2=10，当y=0时，由基本不等式可知：2或2-，于已知1<6矛盾，故y0。当x2+y2=10时，=2x，由1<6，得<x3，又因为x, yZ，所以，或，所以，z=1±3i

4、或z=3±i题型2 复数代数形式的综合应用1设等比数列z1, z2, z3, , zn其中z1=1, z2=a+bi，z3=b+ai(a, bR且a>0).（1）求a, b的值；（2）试求使z1+z2+zn=0的最小自然数n；（3）对（2）中的自然数n，求z1·z2··zn的值。解：（1） z1, z2, z3成等比数列，z=z1z3，即(a+bi)2=b+ai，a2-b2+2abi=b+ai, (a>0)，解得a=, b=。（2）z1=1, z2=，公比q=。于是zn=()n-1。z1+z2+zn=1+q+q2+qn-1=0，qn=()n=

5、(-i)n()n=1，即n即是3的倍数又是4的倍数。故n的最小值为12。（3）z1z2z12=1·()·()2()11=()1+2+11=.2求(1-)10的展开式中的所有奇数项的和。解：(1-)10的展开式中的所有奇数项的和S=；而偶数项之和为，因此所有奇数项的和，即为(1-)10的实部，(1-)10=-2×()10=(-2)10()10=210()=-29+，(1-)10的展开式中所有奇数项之和为-512.3计算：解：原式=4求复数7-24i的平方根解：设复数7-24i的平方根为x+yi(x、yR)，则(x+yi)2=7-24i，即x2-y2+2xyi=7-2

6、4i. 复数7-24i的平方根为4-3i或-4+3i. 解法二：（配方法）7-24i=(16-9)-2×4×3i=(4-3i)2. 7-24i的平方根为±(4-3i)，即为-4+3i或4-3i.5已知z=1+i，且=1-i(a、bR)，求a、b的值解：将已知等式变形为z2+az+b=(1-I)(z2-z+1). (z2-z+1)(1-i)=(1+i)2-(1+i)+1(1-i) =i(1-i)=1+i,又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,由两个复数相等的充要条件得：a=-1, b=2.6计算.解： 原式=(-1)12=1&#

7、183;(-2i)6=-64.7已知复数z=, =z+ai(aR), 当时，求z的取值范围解：z=，|z|=, 又，|2而=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(aR)，则(a-1)23-a-1, 1-a1+. 故a的取值范围是1-, 1+8设复数z1,z2满足z1·z2+2i(z1-z2)+1=0, -z1=2i，求z1, z2解：-z1=2i, =z1+2i，z2=-2i. 将其代入已知条件，得z1(-2i)+2i(z1-+2i)+1=0. 设z1=a+bi(a、bR)代入上式，得a2+b2-2b-3-2ai=0. z1=3i, z2=-5i，或z1=-i, z2=-i.

8、9已知复数z满足|z|=, z2的虚部为2（1）求复数z；（2）设z, z2, z-z2在复平面上的对应点分别是A，B，C，求ABC的面积解：（1）设z=a+bi(a, bR)，则由已知条件得a2+b2=2, 2ab=2, a=b=1，或a=b=-1，即z=1-i或z=-1=i. （2）由（1）得，当z=1+i时，z2=2i, z-z2=1-i. A(1, 1), B(0, 2), C(1, -1), 由图形易知SABC=110已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i, z2=a-2-i，其中I为虚数单位，aR, 若|z1-|<|z1|，求a的取值范围解：由题意得z1=于是|z1-|=

9、|4-a+2i|=. |z1|=, 由，得a2-8a+7<0, 1<a<7.11已知z、为复数，(1+3i)z为纯虚数，=，且|=5，求解：设z=a+bi(a, bR), 则(1+3i)z=(a-3b)+(3a+b)i由题意，得a=3b0. |=, |z|=. 将a=3b代入，解得a=±15, b=±5. 故=±=±(7-i).解法二：由题意，设(1+3i)z=ki, k0且kR. 则=. |=5, k=±50. 故=±(7-I)12已知复数z=1+i，求实数a, b使ax+2b=(a+2z)2.解：z=1+i, a

10、z+2b=(a+2b)+(a-2b)i, (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)I=(a2+4a)+4(a+2)i. a, b都是实数，由az+2b=(a+2z)2得两式相加，整理得a2+6a+8=0，解得a1=-2, a2=-4，对应得b1=-1, b2=2. 所求实数为a=-2, b=-1或a=-4, b=2.13设复数z满足4z+2=3+i. =sin-icos(R). 求z的值和|z-|的取值范围解：设z=a+bi(a, bR)，则=a-bi，代入4z+2=3+i，得4(a+bi)+2(a-bi)=3+i z=|z-|=. -1sin(-)1, 02-2sin(-)4. 0|z-|2.14设z是虚数，=z+是实数，且-1<<2（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数（3）求-u2的最小值解：（1）设z=a+bi, a,bR,且b0, 则=a+bi+=. 是实数，b