台阶设计的实现

1、数学软件课程设计台阶的设计与实现 院（系）名称 专 业 班 级 学 号 学 生 姓 名 指 导 教 师 2011年6月14日数学软件 课程设计评阅书题目台阶的设计与实现学生姓名 学号指导教师评语及成绩指导教师签名： 年 月 日答辩评语及成绩答辩教师签名： 年 月 日教研室意见 总成绩： 教研室主任签名：年 月 日课程设计任务书20102011学年第二学期专业班级： 学号： 姓名： 课程设计名称： 数学软件 设计题目： 台阶的设计与实现 完成期限：自 2011年 05 月 09 日至 2011 年 05 月 15 日共 1 周 一、 设计目的 我们在现实生活中会遇到很多问题，比如说现实生活中我们

2、天天走的台阶设计问题，实际问题是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分。在数学中我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面。运用数学软件解决实际问题就会使生活变得更加方便，台阶的设计问题就可以运用数学软件来得到解释。我们可以对数学软件的多方面应用有进一步了解和认识。 二、设计要求 1、运用MATLAB等工具。 2、对台阶设计问题的计算。 3、按照格式要求写出3000字文档。 三、参考文献 1 吕林根.解析几何M.北京：高等教育出版社,1987,4. 2 石博强，赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程M.北京：中国铁道出版社，2005，5. 3 常庚哲，史济怀.数学分析教程M.北京：高等教育

3、出版社，2003，6. 4相关人体力学分析可参考网页T 计划答辩时间 ：2011 年 6 月 22日 工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字指导教师（签字）： 教研室主任（签字）： 批准日期： 年 月 日 台阶的设计与实现摘 要MATLAB具有强大的计算功能，能够解决很多生活中的实际问题，它的应用非常广泛，在许多领域都得到了广泛应用。比如可以解决生活中经常遇见的实际问题。在这次课程设计中将利用MATLAB的运用来解决台阶的设计问题，并运用MATLAB进行编程来解决更多实际问题。关键词：台阶的设计与实现，MATLAB, 应用 1 课题描述12 设计过程22

4、.1 问题的提出22.2 问题的分析32.3数据的获得42.4模型的建立52.5模型的检验82.6模型的意义9总 结10参考文献11随着科学技术的日益发展和人们生活水平的提高，用数学软件求解问题已逐渐成为必备的基础知识。世界各大专院校的电子，电机 医学及许多相关科、系、所，都有此相关课程的开设。MATLAB成为许多工程教科书的标椎工具语言，因为它有如下的优点：（l）语法筒单、易学、好写。有强大的运算及绘图能力；有强大且多样化的各种工具箱可供使用，包括与本书密切相关的图像工具箱；有其他高级语言解决各种不同应用问题的弹性。图形句相系统 这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图

5、像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。MATLAB数学函数库这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。 (2)MATLAB应用程序接口(API) 这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用c程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写MAT文件的功能。 可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，

6、MATLAB还具有根强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。用户可以根据自己的工作任务，开发自己的工具箱。 在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把MATLAB作为内容。这几乎成了九十年代教科书与旧版书籍的区别性标志。在那里，MATLAB是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本工具。 在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到MATLAB的应用。 在设计研究单位和工业部门，MA

7、TLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具。如美国National Instruments公司信号测量、分析软件LabVIEW，Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB为主要支撑。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP，Gage公司的各种硬卡、仪器等都接受MATLAB的支持。 台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？(下文主要针对上

8、楼过程给出讨论，下楼的讨论在最后涉及) 作为解决问题的第一步，我们首先来证明这个最佳设计的存在性，下面两张图为两种不同类型的台阶 保持总高度，台阶宽度，体力消耗一定时令台阶高度h充分小，则台阶数目会充分大，最终上楼时间t趋于无穷。因此我们是不会去登此楼梯的。再令h充分大，而人腿运动能力是有限的，由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长，这种h我们同样无法接受。由于各种状态的连续变化，我们就可以断定，存在这样一个h，使得t最小。同理，台阶长度r很小时，人无法站稳，r充分大时，时间t趋于无穷。所以我们便有充足理由相信最优的r，h皆存在。分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观，下面我们将

9、用数学的观点给出尽可能合理的解答。2.2 问题的分析符号表示： M 人体质量g 重力加速度 l 人的小腿长度 v 人的正常行走速度 F 上楼过程中腿部力量 H 楼梯总体高度 h 台阶高度 r 台阶长度 P 人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率 C 人的脚长 要细致而全面的分析此问题，可以将人登楼的全过程分解处理，将上楼的每一步设为一个单元，那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程，为了抓住主要矛盾并简化问题，一些人为的假设将是必要的。 模型的假设：1，人每走一步脚的前端接触到B点。 2，人的所有重量可以看成质点并集中在O（与集中在N是等价的），其他部位

10、没有重量 3，每一步迈出同样的距离（台阶宽），并且连续前进。 4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力F，F与h有关且在h取定的情况下F大小不变且始终保持ON方向。 5，上台阶过程做功只在DN段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P恒定）上楼。 6，台阶宽度大于等于脚长运动的分解：可以将登上台阶看为两个运动过程 1.（由M到N）人若想登上台阶，向前倾斜重心将是第一步，毕竟人是前进的。要在D点发力，将M点移动到N点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近（这里将它们等同看待，速度也为v，v的方向近似水平）。为了简化计算，可以令此段做功充分小从而可以忽略（因为我们的主要矛盾是上楼，此段做功的变

11、化也是相当于平地上走5米与10米的区别，而这种差别在正常人看来是微乎其微的） 2.（N点竖直向上达到直立并回到初始状态）在此过程中所做的功为F的贡献（这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程，因为当时的主要矛盾为球的初速度，所以可以将其近似看做线性关系，然而此时的重点是这个屈申过程，因此假设与模型机理自然不同）。随后根据生物课所学知识，可以知道，人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的（伸缩方向只能沿腿的方向），因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力，方向总是沿着腿的方向，大小恒定（实际上F要随着角度的变化而变化，为了简化问题可以将其设为恒定）。由于考虑到人在2过程上升时

12、做的功实际为非保守力所做功（并不是w=mgh），一个很简单的直观，就是同样登上两米的高度我们分10步与分2步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的大小(也就是说台阶越高，我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念，假设4将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常，在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高，即功率P过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。2.3数据的获得 行走速度v的测算：首先所谓“正常速度”就是一个模糊概念，但又是客观存在的，为了尽可能得到人正常行走时的速度并要求误差尽量的小，所以这里采

13、用多次测量的方法。并且需要亲自进行实验。恰好家附近的楼门口的地面由方砖铺成，每块砖为正方形，边长为0.48米。这就为距离的测定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走，规定走过五块砖时开始记时并规定这点为距离零点（为了将加速段去掉）。最终得到11组数据 组数 距离（米） 时间（妙）1 2.4 2.03 2 2.88 2.42 3 3.36 2.78 4 3.84 3.22 5 4.32 3.57 6 4.8 3.97 7 5.28 4.47 8 5.76 4.81 9 6.24 5.19 10 6.72 5.53 11 7.2 6.05 在matlab中进行拟合得到下图。一次多项式为y=0.0

14、12909+0.83186x所以算得自己的正常行走速度为1.202m/s 。体重53公斤，小腿长0.47米，脚长0.26米，都是可以精确测量的。唯有功率P未知，但由于我们假定它的大小不变，所以在随后的模型求解中可以根据关系式将其反解出。 2.4模型的建立由假设 台阶总数即为 Hh（有分数出现时如mn 则可近似看为取每一小段时间的mn 倍。这种误差是可以被忽略的） 设BE=x 那么过程一的时间为AEv 且满足关系AE=c+x 代入可得过程一的总时间为 t1=c+xvHh 过程二的总时间为 t2=h,l,F,v,pHh 其中 为h,l,F,p的函数由于我们假设了M,N点有近似相同的高度。那么 是与

15、x无关的函数。若令总时间 T=t1+t2最小，一定要求x最小。所以可得 。我们得到结论台阶宽度应设计为近似脚长的宽度。由此，我们得到如下A图所示。并据此讨论h的变化由于我们先假设F大小恒定。若F能带动人体上移，必要求Fy至少等于mg，那么在最省力的情况下，我们取 .此时我们已将F分解。因此N点运动到S点过程中要求F所做的功只需对Fx Fy分别求功即可。 我们将运动过程细致分析并放大为B图当台阶高为h时Fy方向上的做功：设NNm的长度为变量m，当Nm由N运动到S时。M由0h变化。计算得 Fym=F2l-h+m2l用微元分析，当m变化m时。Wym+m-Wym=Fy(m)Sym+m-Sy(m)其中S

16、（m）为Om竖制直方向上运动距离。Wy(m+m)-Wy(m)=Fy(m)m2Wy(m)=12Fy(m)对m积分 Wy(h)=0hWy(m)dm=0h12Fymdm=0h12F2l-h+m2ldm=F4l(2lh-h22)2，当台阶高为h时Fx方向上的做功： Fx(m)=Fll2-2l-h+m2微元分析，增加m，我们得到Wx(m+m)-Wx(m)=Fx(m)Sxm-Sx(m+m)两边同除m，并令m0。因此Wx'(m)=-Fx(m)S'(m)其中S（m）为PmOm的长度。对m积分Wx(h)=0hWxmdm=0h-Flt2-2l-h+m22(l2-2l-h+m2)'dm由于我

17、们假定的F为h的函数(h取定时大小恒定)。所以取F=2lmg2l-h综上我们得到上楼总时间 T=t1+t2=HhWxh+Wy(h)P+Hhcv下面我们来由此式确定T的最小值，将参数 c=0.26 l=0.47 m=53 g=-9.8 v=1.2 P待定。以上计算都可交给matlab完成。计算过程如下 t:=m-Ø>sqrt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2); diff(t(m),m); e:=m->-sqrt(0.472-(2*0.47-h+m)/2)2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)2)(1/2)*(-.4700

18、000000+1/2*h-1/2*m)/0.47; int(e(m),m=0.h);Ø wy:=h-Ø>(2*0.47*h-h2/2)/(4*0.47); F:=h-Ø>(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h); wx:=h-Ø>> .4999999999*h-.2659574468*h2由此，我们发现，Wx,Wy做功基本是一样的。所以最终，总时间表示为 >f:=h->H*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h2+.5*h-.

19、2659574468*h2)+0.26*P)/(h*P*1.2);而且根据如上结果我们可以观察出人腿做功（Wx(h)+Wy(h)）与实际有效功Mgh之间的关系随h变化的过程图。其中红线为人腿做的总功，黄线为有效功Mgh。这种变化也是符合我们感觉的，例如，随h的增大，我们迈上台阶会感到越发的费力，h越大这种变化越明显。随后进行几组实验来确定P的近似取值。分别选取不同的楼梯，从下走到上按一般速率（不感到劳累），并记录下经过的时间。并根据假设与上式分别求得P，得到下表次数 台阶数 n 台阶高度 h 总高度H 时间 t 功率 P经实践证明，P并没有随总高度H以及h的变化而发生太大变化，说明我们之前的假

20、设是基本合乎情理的。这里取9次测量的平均值作为P，所以我们得到P=143.66.我们在第一种情况下对T进行分析。取H=3.4 >f:=h->3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h2+.5*h-.2659574468*h2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2); plot(f(h),h=0Ø.1.0.5);由图象，我们观察到，确实存在这样一个h使得总时间最少，也就是说任意给出某h下上楼的时间，就可以算得在此情况此功率P下,时间最小时h的理想高度。上图中，从0.19到

21、0.24米间减少的时间在0.2秒左右，而这种时间的优化由于太小（0.2秒）以致于我们可以不去考虑（可以近似看为不变）。而时间迅速减少的阶段在0.1到0.19段。那么为了使腿部用力尽量的小，我们不妨将h定在0.19米。随后我们要问，这种模型的可靠性如何，由于v P是粗略度量的，所以下面我们要对这两个参数进行灵敏度分析。 Ø plot3d(f(h,v),h=0.1.0.5,v=1.1.1.3,axes=boxed); Ø plot3d(f(h,p),h=0.1.0.5,p=140.154,axes=boxed);从三维图形可以观察出，模型还是比较可靠的。这里没有用老师上课应用的

22、灵敏分析方法是因为我只想直观的表现出解对参数的连续依赖程度。仅仅用离散数据似乎是不直观的。到这里为止，已经算得对于我来说，最佳的台阶高度应该为0.19米左右，也就是说，这个高度可以最充分而有效的利用我的正常功率，使上楼总时间最短，而不致超过限度而感到疲劳。这里顺便说明一下下楼过程，人的下楼过程在短距离内完全可以近似看为腿部做0功并完全由重力做功的过程。由于重力是保守力，那么下楼时间应该于h近似无关。但是长时间下楼为何又使我们感到疲劳呢？原因也许是下楼时的缓冲用力。毕竟人不同于木块和小球，过快的下降对腿部以及身体的冲击造成人的不适感，因此腿部总要做一些功使其缓慢下降，平稳着陆。我在这里引入缓冲时

23、间h这一变量并且h=T-Hh2hg-HhLv其中T为下楼实际总时间，L为台阶宽度，v为水平行走速度。显然 便为缓冲(延迟)时间总和。对于大部分正常人，在短的距离下楼过程中，在h正常范围内(上文算得的范围内)， 都可近似看为0。则我们只许讨论上楼的过程即可。然而，是不是h可以永远被忽略呢？答案显然是否定的。例如当H很大时就是H与h的函数了(H的影响不可忽略)，又如一些特殊人群老年人，残疾人等等 h便会相当大，这时下楼这一过程就要单独考虑了。 2.5模型的检验 由于这个以上数据的特殊性，便使模型过分特殊化了，毕竟台阶不是我一人走。然而自己是个正常人，即使考虑到众多人参数的不确定性因素，变化也不会太

24、大。经调查发现，校园内各台阶都是在0.16到0.2米之间变动，最低为科技楼前台阶，最高为四食堂前台阶。宽度都为近似脚的长度，说明模型的结论还是勉强可以的（虽不那么准确）。这就相当于对模型做了一定程度的检验（因为台阶的高度可以根据实践进行适当调整，不适当的高度一定无法存在的，或是被改造，或是在下一次建设中改进） 进一步，我们可以参考1999年6月1日起实施的建筑设计规范GB50096-1999的相关规定：“楼梯踏步宽度不应小于0.26m，踏步高度不应大于0.175m，坡度为33.94°，接近舒适性标准。”而其中的0.26一定是脚长，0.175便是最佳高度。（此结果也许是相关力学家与统计

25、学家做出的结果，应该是比较权威的数据） 误差分析：从上面的检验可以看出，计算的结果与实际确实有着差异，计算的h偏大，造成这种偏差的原因我归结为如下几点 (1) 人的体重差异 (2) 身高以及腿长的差异 (3) 人的脚长差异 (4) 身体前倾的速度（这里取为行走速度，然而过程一，只是前倾过程，其速度一定要比行走速度大，可不易测量，因此误差一定不可避免） (5) F随腿的运动而变化的函数未精确知道（将涉及复杂的人体动力学，由于所学知识有限，为化繁为简，只好假设其大小恒定。计算结果又无太大偏差，说明假设基本合理，但误差同样不可避免 (6) 人的正常功率的差异，例如：老年人与青壮年，专业运动员与普通人所能承受的运动量一定不同 因此如果能够精确知道如上数据，有理由相信计算结果的误差