圆的基本概念与性质

1、圆的有关概念和性质一 本讲学习目标1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题2、圆周角的转换和计算问题3、垂径定理在生活中的运用及其计算三 知识框架圆的定义 圆的性质 四 概念解析1、 圆的定义，有两种方式： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作，线段OA叫做半径；圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位

2、置，半径决定圆的大小。2、 与圆有关的概念：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示线段AB，BC，AC都是弦；直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC是的直径，直径是圆中最长的弦；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC都是中的弧，分别记作和；半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，如是半圆；劣弧和优弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆；弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；圆心角：定点在圆心的角

3、叫做圆心角如图1中的AOB,BOC是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数； 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的BAC,ACB都是圆周角。3、 圆的有关性质圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。垂径定理A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧；B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2所示。注意(1)直径CD，（2）CDAB,(3)AM=MB,(4)=,(5)=.若上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因

4、此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB不能为直径）。弧，弦，圆心角之间的关系A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；圆周角定理及推论A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。五 例题讲解例1题图例1. 如图所示，是O上一点，是圆心，若，求 的值.例2.如图，AB是O的直径，弦BC=5，BOC=50°

5、，OEAC，垂足为E(1) 求OE的长(2)求劣弧的长(结果精确到0.1)例2题图例3.例3题图EDBAOC 如图9所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径课堂练习1.已知O的半径为10cm,弦ABCD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )A.2cm B.14cm C.2cm或14cm D.10cm或20cm2.如图，已知：AB是O的直径，C、D是上的三等分点，AOE=，则COE是（ ）A. B. C. D. ABCDO第3题图E3.如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上

6、，AD切半圆O于点D，BCAD于点C，AB2，半圆O的半径为2，则BC的长为（ ）A2 B1 C1.5 D0.54.如图2，四边形ABCD为O的内接四边形，E为AB延长线上一点，CBE=40°，则AOC等于（ ）A.20° B. 40° C. 80° D.100°5如图，AB是O的直径，点C，D在O上，ODAC，下列结论错误的是 BOACDABODBAC BBODCOD CBADCAD DCD 6.高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）A5 B7 C D

7、ODABC 7.如图(2),已知圆心角AOB的度数为100°,则圆周角ACB的度数是( )A.80° B.100° C.120° D.130°8如图，的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，,则 等于A B C DCABO第9题图9.如图，A、B、C为0上三点，ACB20°,则BAO的度数为 _。 ADBOC第10题图10.如图，内接于0,AD是0的直径，则 度ABCO第11题图11.如图，0是的外接圆，且，求0的半径 12.如图所示,花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD,量得门框对角线AC 的长为2m.现准备打掉部分墙体,使其变为以A

8、C为直径的圆弧形门, 问要打掉墙体的面积是多少?(精确到0.1m2,)13.已知，如图：AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC450。给出以下五个结论：EBC22.50，；BDDC；AE2EC；劣弧是劣弧的2倍；AEBC。其中正确结论的序号是 。14.如图6，AB是O的直径，弦CDAB于P。 已知：CD=8cm，B=30°，求O的半径；如果弦AE交CD于F，求证：AC2=AF·AE. 课后作业1.AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tanBPD等于( )A. B. C. D.2.ABCDEO（第2题）如图，在中，的度

9、数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）ABCD3、如图3，O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（ ）BAMO· 图3 A3OM5B4OM5C3OM5D4OM5ABCDE 图44、如图4，ABC内接于O，ADBC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则O的直径是（ ）A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 5在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为 cm6.如图，ABC内接于0，BAC=120°，AB=AC=4. BD为0的直径，则BD= OBDCA图77如图7已知AB是O的直径，BC为弦，A BC=30°过圆心O作ODBC交弧BC于点D，连接DC，则DCB= °8如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则1的度数为 °°O（第8题图）CBDA图99如图9所示的半圆中，是直径，且，则的值是 10. 兴隆蔬菜