《线性代数》电子教程4(矩阵的定义及运算)

1、1线线 性性 代代 数数 电子教案之四2主要内容主要内容第四讲第四讲 矩阵及其运算矩阵及其运算v矩阵的概念；矩阵的概念；v零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特 殊矩阵；殊矩阵；v矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘 法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵 的行列式以及他们的运算规律的行列式以及他们的运算规律.基本要求基本要求v理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；v熟

2、练掌握矩阵的运算及其运算规律熟练掌握矩阵的运算及其运算规律.3一、矩阵的定义与记号一、矩阵的定义与记号第一节第一节 矩阵矩阵1.定义定义 由由 个数个数nm ), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaij 排成的排成的 行行 列的数表列的数表mnmnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为 行行 列矩阵列矩阵，简称，简称 矩阵矩阵.mnnm 为表示这为表示这个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作体字母表示它，记作4 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211这这 个数称为个数称为矩阵矩阵 的元

3、素的元素，简称为元，数，简称为元，数 位于矩阵的第位于矩阵的第 行第行第 列，称为矩阵的列，称为矩阵的 元元.nm Aijaij),(ji以以数数 为为 元的矩阵可简记作元的矩阵可简记作 或或 .ija),(ji)(ijanmija )(nm 矩阵矩阵 也记作也记作A.nmA 注意注意（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别个不同的概念，注意区别.（2）矩阵的行数和列数不一定相等）矩阵的行数和列数不一定相等.5二、小结二、小结v在线性代数里，

4、矩阵是一个主要工具，也是在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是 一个主要的研究对象一个主要的研究对象.v1850年由西尔维斯特（年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵首先提出矩阵 的概念的概念v矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社 会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的 位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、 模糊识别，以及计算机层析模糊识别，以及计算机层析X射线照相术等方面，射线照相术等方面， 都有广泛的应用都有广泛的应用v1858年卡莱（年卡

5、莱（A. Cayley）建立了矩阵运算规则建立了矩阵运算规则6一、矩阵的加减法一、矩阵的加减法第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算1. 定义定义 两个两个同为同为 的矩阵相加（减）后得一的矩阵相加（减）后得一 矩阵，其元素为两矩阵矩阵，其元素为两矩阵对应元素对应元素的和（差）的和（差）.nm nm ,)(nmijaA ,)(nmijbB nmijijbaBA )(nmijijbaBA )(特别注意特别注意只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法能进行加（减）法.7例如例如 102526151522,102030121720BA BA 42322

6、7 054322BA20455682. 矩阵的加减法矩阵的加减法_运算规则运算规则交换律交换律：ABBA 结合律结合律：)()(CBACBA 设矩阵设矩阵 记记),(ijaA )(ijaA A 称为矩阵称为矩阵 的的负矩阵负矩阵.A)( BABA AOAAO OAAAA )( 9二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）1. 定义定义nmijaA )(nmijkakA )( mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211 阶矩阵阶矩阵 与一个数与一个数 相乘后得一相乘后得一 矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这

7、个数.nm knm A记作记作.AkkA或或说明说明AaAij )()1(矩阵矩阵 的负矩阵；的负矩阵；A )(ijkkE 纯量矩阵纯量矩阵. 10例如例如 AB4 102030121720A4 80 68 484080120112.矩阵的数乘矩阵的数乘_运算规则运算规则)()(AA AAA )( BABA )( AA 1 OA 0 说明说明 矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为 矩阵的线性运算矩阵的线性运算.12三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）1.概念的引入概念的引入某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表某家电公司

8、向三个商店发送四种产品的数量如下表 505040500107020502030A13 这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：千克）如下千克）如下 2018302230164030B问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量问：该公司向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？分别是多少？14 C甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售价售价 重量重量1820225016203030 26802020305030204030 3700332 51041405700AB 505040500107020502030A 201830223016403

9、0B152.定义定义.ABC 定义如下：定义如下：,)(smijaA ,)(nsijbB 若若,)(nmijcABC 则则其中其中sjisjijiijbababac 2211.1 skkjikba设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，Asm B是一个是一个ns 矩矩阵，阵， 与与 的乘积是一个的乘积是一个 矩阵矩阵 ，记作，记作ABCnm ), 2 , 1;, 2 , 1(njmi 说明：说明： 的的 元元 就是就是 的第的第 行元素与行元素与 的的第第 列元素对应乘积之和列元素对应乘积之和.C),(jiijcABij16特别注意特别注意_乘积不可交换乘积不可交换 可乘的前提是可乘的前提是 的的列列

10、数等于数等于 的的行行数数.ABAB 乘积乘积一般一般不可以交换，不可以交换，AB1） 为为 矩阵，但矩阵，但 无意义；无意义；,3112 BAAB32 BA2）,2332 BAAB为为和和BA均有意义，但均有意义，但AB2阶矩阵，阶矩阵，BA为为3阶矩阵，不相等；阶矩阵，不相等；3） 010111010201010111010101若若,BAAB 则称矩阵则称矩阵 乘积可交换乘积可交换.BA、17例题例题例例5 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵，矩阵， 的列数等的列数等于于 的行数，所以矩阵的行数

11、，所以矩阵 与与 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 20121301 43110231101418例题例题例例5 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵，矩阵， 的列数等的列数等于于 的行数，所以矩阵的行数，所以矩阵 与与 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 9 20121301 43110231101419例题例题例例5 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵，矩阵， 的列数等

12、的列数等于于 的行数，所以矩阵的行数，所以矩阵 与与 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 92 431102311014 2012130120例题例题例例5 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵，矩阵， 的列数等的列数等于于 的行数，所以矩阵的行数，所以矩阵 与与 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 92 1 9911 20121301 43110231101421例例6 求矩阵求矩阵与与的乘积的乘积 及及 2142A 6342BAB.BA解解 AB 2142 634

13、2 16 32 816 BA 6342 2142 0 00 0说明说明 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即1）若若, 0 AB, 0 A且且不能推出不能推出;0 B2）若若, 0)( YXA, 0 A且且不能推出不能推出.YX 22矩阵的乘法矩阵的乘法_运算规则运算规则 )()(BCABCA CABAACB )(为数为数 ),()()(BABAAB ,)(ACABCBA ,nmAEAAEAnm 矩矩阵阵对对任任意意 .AEAEA 或简写成或简写成 纯量矩阵与方阵的乘积纯量矩阵与方阵的乘

14、积 )()()()(kEAEAkkAEAkAkEnnnnn 说明说明 第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是第五条规则表明，纯量矩阵与方阵都是可交换的可交换的23方阵的幂方阵的幂定义定义设是阶方阵，定义设是阶方阵，定义AnAA 1112AAA 11AAAkk 说明说明 此定义表明，此定义表明， 就是就是 个个 连乘，并且显然，连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义只有方阵，它的幂才有意义.kAkA运算规则运算规则为正整数为正整数其中其中klklkAAA kllkAA )( 特别注意特别注意 kAB)(kkBA一般来说，一般来说， 与与 不相等不相等.24方阵的多项式方阵的多项式设设mmaaaa

15、2210)(称为称为方阵方阵 的的 次多项式次多项式.)(A Am 为数为数 的的 次多次多项式，记项式，记 m同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的：同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的：设设 是是 的两个多项式，则的两个多项式，则)()(AgAf、A)()()()(AfAgAgAf mmAaAaAaEaA 2210)( 由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式分解因式. 如如EAAAf32)(2 )(3(EAEA 25)()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBAA )()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBA

16、A BBAABABABA)()()( 22BABBAA 说明说明 当当 与与 可交换时，有类似与数的乘法公式可交换时，有类似与数的乘法公式.AB 与与 为同阶方阵：为同阶方阵：AB265. 行矩阵与列矩阵的乘积行矩阵与列矩阵的乘积 nnbbbaaa2121),( 设设iniinnbabababa 12211 nnaaabbb,2121 则则 nnnnnnababababababababab21222121211127四、矩阵的转置四、矩阵的转置1. 定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .即即AT

17、AA,)(nmijaA 若若,)(mnijTbA 则则其中其中,jiijab ., 2 , 1;, 2 , 1mjni 例如例如则的转置矩阵为则的转置矩阵为23 TA021113 设矩阵设矩阵,113021 A282. 对称矩阵对称矩阵n设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即nijaA)( AAT njiaajiij, 2 , 1, 那么那么 称为对称矩阵，简称对称阵称为对称矩阵，简称对称阵.A例如例如AAT 对称阵的特点是：对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴，它的元素以对角线为对称轴，对应相等对应相等.,5682603783102704 A293. 矩阵的转置矩阵的转置

18、_运算规则运算规则 AATT )(TTTBABA )( 为为数数kkAkATT,)( TTTABAB )( 30例例8 已知已知,231102 A 102324171B求求.)(TAB解法解法1 AB 231102 102324171 0143 17 13 10 TAB)( 1031314170解法解法2 TTAB 131027241 213012 1031314170此例验证了矩阵此例验证了矩阵的转置运算规则的转置运算规则4 TAB)(31五、方阵的行列式五、方阵的行列式1. 定义定义由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为置不变），

19、称为方阵方阵 的行列式的行列式，记作，记作 或或nAAA.det A特别注意特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数数表表，而行列式则是一个，而行列式则是一个数数.方阵与它的行列式又是紧密相关的，行列式是方方阵与它的行列式又是紧密相关的，行列式是方阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数；阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数；同时，行列式是方阵特性的重要标志同时，行列式是方阵特性的重要标志.322. 由由 确定确定 _运算规则运算规则AAdet;AAT ;,为为数数 AAn .,同阶方阵同阶方阵与与BABAAB 证明证明注意注意2221

20、12121111222112121111222221211212111122211211222112112222212112121111bbbabaaabababababababbbbaaaababababa BABA )1nijkakA)( 但但nnnAkkA )2)3BAAB 但但BABAAB 332. 2. 有关概念有关概念实矩阵与复矩阵：实矩阵与复矩阵： 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵；除特别说明外，都；除特别说明外，都指实矩阵指实矩阵.行矩阵（行向量）：行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，记作只有一行的矩阵，记

21、作),(21naaaA 列矩阵（列向量）：列矩阵（列向量）： 只有一列的矩阵，记作只有一列的矩阵，记作 mbbbB21 矩阵矩阵n 1 矩阵矩阵1 m34方阵：方阵： 行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵称为的矩阵称为 阶矩阵阶矩阵或或 阶方阵阶方阵.nnnn阶矩阵阶矩阵 也记作也记作A.nA同型矩阵同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是就称它们是同型矩阵同型矩阵.矩阵相等：矩阵相等： 如果如果 与与 是是同型矩阵同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即并且它们的对应元素相等，即)(ijaA )(ijbB ), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijij 那么就称那么就称矩阵矩阵 与矩阵与矩阵 相等相等，记作，记作AB.BA 35三、几个特殊矩阵三、几个特殊矩阵单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线单位矩阵（单位阵）：从左上