定积分与不定积分1

1、例1 估计定积分的值先求在1，1上的最大值和最小值，令得驻点，比较在驻点及区间端点处的函数值，故最大值，最小值由估值定理得， 例2 求定积分解 因为 是的一个原函数，所以，由牛顿莱布尼兹公式可知 例3 求定积分解 因为是的一个原函数，由牛顿莱布尼兹公式可知 例 4 求广义积分.解 由广义积分的计算方法可知 例 5 求广义积分.解 由广义积分的计算方法可知 例 1 求下列不定积分(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解 (1)由积分公式及性质可得 (2)将被积函数进行恒等变形，再用积分公式. (3) (4) 例 2 求下列定积分 (1) ； (2) ; (3) .解 (1)根据牛顿莱布尼兹公

2、式，得 (2) 先利用半角公式，将被积函数恒等变形，再逐项积分求原函数，最后由牛顿莱布尼兹公式求定积分值. (3) 当01时， ； 当12时， . 例1 求不定积分.解 我们注意到，因此原积分可以通过以下步骤得到解决， 一般地，有 称以上这种积分方法为第一换元积分法，又称凑微分法.常用的凑微分等式: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .例2 求不定积分解 例3 求下列不定积分(1)； (2)； (3).解(1)(2) (3)例4 求下列定积分(1)； (2).解 (1)先求不定积分 再利用牛顿莱布尼兹公式，得 = 本题也可以这样求解.换元:令，换限:, 这种方法称为定积分的换元法，它要求换元

3、的同时一定要换限.(2) 2. 第二换元积分法例5 求不定积分解 令代入上式，得 一般地， 其中是的反函数.这种积分法称为第二换元积分法，它可以解决根式函数的积分.例6 求解 先求不定积分，利用第二换元积分法，令 ，则 ,于是 由牛顿莱布尼兹公式，得 本题也可以使用定积分的换元法，并注意换元一定换限. 这种方法省略了变量还原的过程，较易.一般的这里与 分别是对应于 的a与 b的值 分部积分法分部积分法主要解决的是两个不同类型的函数乘积的积分问题 即 两边积分得 即 这个公式称为分部积分公式.使用该公式的关键是如何选择 和 .例7 求不定积分解 例8 求不定积分解 例9 求不定积分解 例10 计

4、算不定积分解 例11 求定积分解 先求不定积分，由分部积分公式，得 再利用牛顿莱布尼兹公式，得 本题也可以采用下面的书写形式： =1 积分表的使用 将一些函数的不定积分汇集成表，叫做积分表 例12求解这个被积函数属于类型由附表中公式63，将代入即得 例13 求解 该积分无法在附表中直接找到,可以通过下面的变量替换得到解决.设 于是 利用附表中公式 将,代入即得 再将变量还原,得 例1求抛物线及所围成图形的面积解 两条抛物线所围成的平面图形如图5-7解方程组 0x得交点的横坐标 ，.该图形属于情况1，故所求面积 B(8,4)0A(2,-2)xy例2计算抛物线与直线所围成图形的面积解如图5-8解方程组求得交点的纵坐标为，该图形属于情况2，所以所求面积 定积分在经济上的应用 例3 某商品一年的销售速度为()，求此产品前3个月的销售总量.解 由变化率求总量，可以通过定积分解决，故所有销售总量为 (件)即 此产品前3个月共销售300件.例4 已知生产某产品的边际成本和边际收入分别为 (万元/百台) (万元/百台)其中和分别是总成本函数和总收入函数.(1) 若固定成本万元，求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2) 产量为多少时，总利润最大？最大总利润是多少？解 (1)总成本为固定成本与可变成本之和，即 这里，既是积分限，又是积分变量，为区别情况，故改写为