定积分的应用61799

1、第十章 定积分的应用应用一 平面图形的面积1、积分的几何意义我们讲过，若且，则定积分表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b和x轴所围成的曲边梯形的面积。当<0时，定积分表示的是负面积，即表示的是f在a,b上的正负面积代数和。例如。若计算sinx在0，上的面积，则变为。2、f(x)，g(x)在a,b上所围的面积由几何意义得，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为。如果f(x)和g(x)有在积分区域a,b内交点，设为，且，则。所以此时求f(x)和g(x)在a,b上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的

2、积分区域。 例1、求，所围的面积S。 例2、求、在上所围图形的面积。例3、已知通过点(1,2)与有个交点，又a<0，求与所围的面积S，又问a,b为何值时，S取最小值？例4、求抛物线与直线所围成的图形的面积。例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l，底面是长轴为a，短轴为b的椭圆，问油灌中油面高为h时，油量是多少？（已知油的密度为）3、参数方程形式下的面积公式若所给的曲线方程为参数形式： （），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函数，且且，那么由，x轴及直线xa，xb所围图形的面积S的公式为。（） 例1、求旋轮线：（a>0）一个拱与x轴所围的图形的面积。例2、求椭圆（a>

3、0，b>0）的面积S。4、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是：，则由曲线，射线及所围的扇形面积S等于。例1、求双纽线所围图形面积S。例2、求由，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。例3、求三叶形成曲线（a>0）所围图形面积。应用二 曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。设平面曲线C由参数方程 （）给出，设是的一个划分，即，它们在曲线C上所对应的点为，。从端点开始用线段一次连接这些分点，得到曲线的一条内接折线，用来表示的长度，则内接折线总长度为曲线C的弧长S定义为内接折线的总长

4、在时的极限：如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。2、弧长公式设曲线C： （），且，在上可微且导数，在上可积，曲线C在无自交点，则曲线C的弧长S为：注：其它形式的弧长公式（1）设在a,b上可微且导数可积，则曲线（axb）的弧长S为：（2）若曲线极坐标方程，则当在上可微，且可积时，（3）空间曲线 （），弧长S为其中x(t)，y(t)，z(t)在上可微，导数，在上可积且曲线C在 上无自交点。例1、求圆周，的弧长S。例2、求抛物线，的弧长S。例3、求椭圆（b>a>0）的弧长S。3、弧长的微分设C： （）是光滑曲线（，在连续且）；且无自交点。若把公式中的积分上限改为t，就得到曲线C，由端

5、点到动点的一段弧长。由上限函数的可微性知存在，4、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长有关，并且曲率与成正比，与成反比。即一般曲线的弯曲程度可用，其中：曲线段的平均变化率；：曲线段上切线方向的角度；：曲线段的弧长。例1、半径为R的圆：。对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？，称为曲线在A点的曲率，即5、曲率的计算记二阶可微，则在点x处的曲率为：因为，所以，又因为所以例1、求在任一点的曲率。6、曲率圆和曲率半径过点（x，y(x)）且与yy（x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径

6、。如何求曲线上一点（x，y(x)）处的曲率圆呢？因为，则（a,b）在过（x，y(x)）的法线上：。例1、求在点（0,0）的曲率圆方程？应用三 旋转体的体积和侧面积（一）一般体积公式：设一几何体夹在xa和xb（a<b）这两个平行平面之间，用垂直于X轴的平面去截此几何体，设载面与X轴交点为（x，0），可得的截面面积为S（x），如果S(x)是a,b上的（R）可积函数，则该几何体的体积V等于：。例1、求底面积为S，高为h的斜柱体的体积V。例2、求底面积为S，高为h的圆锥体的体积V。例3、求由椭球面所围的几何体体积。(a,b,c>0)（二）旋转体的体积设yy(x)于a,b（R）可积，曲线yy

7、(x)，axb，绕x轴产生旋转体的截面积为S(x)，则例4、求抛物线，0x1分别绕x轴和y轴所产生的旋转体体积。（三）旋转体的侧面积设yy(x)于a,b上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积：例5、求半径为r的球面面积S。应用四 物理方面（一）质量有一根不均匀的细棒，常ba，密度为，求棒的质量M，则M（二）质心（重心）重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。从最简单的两个质点的系统说起。设质点，的质量分别为，想像它们为一细杆所连接，这时若重心在点C，则C点用一物支起来，杆是平衡的。这不难理解。为计算重心，不妨把杆放在x轴上，设，和C点坐

8、标依次为，在C点所用支起的力应等于作用在，处的重力，的和。因此它们为原点O的力矩之和应为0，即0，所以如果不是两个原点，而是有限多个，质量分别为，横坐标分别为，则重心。如果原点不是放在X轴上，而是在平面上，并设坐标为，原量分别为，则该重心为（），有以下公式：，下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：设曲线方程为（），存在且（设原心为均匀分布，即密度为常数，这时重心由圆形的形状完全决定，所以均匀物体的质心也叫形心）。曲线的重心坐标（）有近似公式：，记，则时，。具体地，如果曲线方程段为，（），在a,b连续，则此曲线段的质心坐标为，其中为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是x的连续函数，（）那么完全类似地可得曲线段质心坐标为：，其中，为曲线段的质量。例：求以r为半径的半圆弧的